豎直平面內圓周運動的極值問題分析

羅定浩 辜振軍

(湖北省利川市第一中學，湖北 利川 445400)

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豎直平面內圓周運動的極值問題分析

羅定浩 辜振軍

(湖北省利川市第一中學，湖北 利川 445400)

豎直面內的圓周運動是高中物理教學的重要內容，其中運動導致底座離地問題是一個難點，涉及受力分析、機械能守恒、牛頓運動定律、臨界極值問題，本文對這個難點問題進行分析.

圓周運動；豎直面；臨界極值問題

在物理教學中，經常會遇見一類物體在豎直平面內做圓周運動導致底座離地的題目，遇到這類題目時大多數學生認為只要小球通過最高點時底座不離地即可.但筆者認為實際情況并非如此，下面以實例具體闡述.

例1：如圖1所示，在質量為M的電動機飛輪上固定著一個質量為m的重物，它到轉軸的距離為r，為使電動機不從地面跳起，則電動機的飛輪角速度不得超過多少?

分析：重物轉到飛輪的最高點時，若重物對飛輪的作用力恰好等于電動機的重力Mg時，電動機剛要跳起從而可求解電動機的角速度．

解答：重物轉到飛輪的最高點時，電動機剛要跳起時，重物對飛輪的作用力F恰好等于電動機的重力Mg，即F=Mg．

以上是大多數資料的解答，為什么重物轉到最高點時為電動機不跳起的臨界條件?筆者認為此處分析缺乏嚴密性.分析小球在豎直面內的圓周運動，如圖2所示，由于小球在豎直面內做勻速圓周運動，故小球所受合外力Fn大小不變，始終指向圓心.當物體從最低點運動至最高點的過程中FN在豎直方向上的分量越來越小，當物體運動至最高點時FN在豎直方向上的分量最小，故物體運動至最高點時確實是底座不離開地面的臨界條件，此時電動機的角速度取極大值，但不能作為結論，請看下面問題.

圖3

例2：如圖3所示，A是半徑為r的圓形光滑軌道，固定在木板B上，豎直放置；B的左右兩側各有一光滑擋板固定在地面上，使其不能左右運動，小球C靜止放在軌道最低點，A、B、C質量相等.現給小球一水平向右的初速度v0，使小球在圓形軌道的內側做圓周運動，為保證小球能通過軌道的最高點，且不會使B離開地面，已知重力加速度為g，則初速度v0必須滿足的條件( ).

分析：小球運動至最高點對軌道恰好無壓力時是v0最小的極值臨界條件，小球運動至最高點對軌道的壓力恰好等于2mg時是A、B離地時v0的極大值臨界條件.

以上解答與很多資料一樣，小球運動至最高點時A、B不離地為極值.筆者認為并不嚴謹，換一種解法如下.

總之，物體在豎直平面內做圓周運動導致底座離地問題分析時，一定要看具體情形，不能盲目在最高、最低點取極值.同時在教學中，不要讓學生套結論，而要用嚴謹的態(tài)度去解決實際問題.