費馬大定理的初等證明方法

張朝相， 艾小川， 黃開林， 馬迪生

(1. 中國石油天然氣股份有限公司 吐哈油田分公司， 四川 成都 610081；2. 海軍工程大學 理學院， 湖北 武漢 430033；3. 四川永能油氣技術開發有限公司， 四川 成都 610017；4. 中國石油天然氣股份有限公司 西南油氣田分公司， 四川 成都 610255)

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費馬大定理的初等證明方法

張朝相1， 艾小川2， 黃開林3， 馬迪生4

(1. 中國石油天然氣股份有限公司 吐哈油田分公司， 四川 成都 610081；2. 海軍工程大學 理學院， 湖北 武漢 430033；3. 四川永能油氣技術開發有限公司， 四川 成都 610017；4. 中國石油天然氣股份有限公司 西南油氣田分公司， 四川 成都 610255)

給出不定方程Xn+Yn=Zn在n為奇素數時，無正整數解的初等證明方法，即用初等數學方法證明了費馬大定理.通過實例分析，結果顯示文中證明方法的正確.

費馬大定理； 初等數學方法； 因式分解； 多項式互素

1 預備知識

費馬大定理也稱“費馬猜想”，是十七世紀法國數學家費馬提出的，他認為：一整數3次冪不能表為兩個整數的同次冪之和；一個整數4次冪不能表為兩個整數的同次冪之和；一般地講，當n>2，一個整數的n次冪表為兩個整數的同次冪之和，這是不可能的.即對于Xn+Yn=Zn，當n>2時，不定方程無全正整數解.

“費馬猜想”包含兩層意義：1) 當p(p為任意奇素數)時，X，Y，Z中一定有一個不為整數；2) 當n=4p時，出現兩個方程，(Xp)4+(Yp)4=(Zp)4，(X4)p+(Y4)p=(Z4)p，若X，Y為正整數，必須首先是Zp，Z4不為整數，而后得Z不為整數.因此，只要證明當n=4，n=p時，Z不為整數即可.以前有種觀點，只要證明n=4的“費馬猜想”成立，隨之n=4p的“費馬猜想”也成立， 這是概念上的錯誤[1].

“費馬猜想”被提出后，經無數人辨證，先后證得n=3，n=4，n=5，n=7，以及一些有限數時費馬大定理成立.最終，在1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯所證明.但懷爾斯的證明高深冗長.費馬在提出猜想的同時又說，他有一個絕妙的證明方法，只是“邊頁太小，寫不下了”.他的證明到底是個怎樣的證明，至今仍是一個謎.但可以肯定，費馬處于當時的數學發展水平，他的證明肯定不是類似懷爾斯的證明，而是一個較為初等的方法[2].

在懷爾斯的證明之后，世界上仍有不少數學志士為此而著迷，極具代表性的是美國數學家科林·邁克拉蒂.2003年，他稱有比懷爾斯的更簡單的方法，并先后在美國和加拿大的數學報告會上發表，取得極大的進展.但他使用近代的“群論”思想，這與費馬所稱的方法仍是相去甚遠[3].

2 費馬定理的證明

2.1 對Z進行因式分解

令n為任意奇素數k，當k≥3時，有

(1)

設式(1)有一組正整數解X0，Y0，Z0，且Z0是最小的正整數解，則式(1)變換為

(2)

2.2Z0的求解

Z因式分解后，求解Z0，由于有

(3)

上式右端共(k+1)+1=k+2項，經移項并消項可得

(4)

1) 第1項為

2) 第2項為

3) 第k-2項為

4) 第k-1項為

2.3 引理及其證明

引理1 自然數集合中任意相鄰兩數a和b，若ai=a+i，bi=b-i，ai+1=a+(i+1)，bi+1=b-(i+1)，則存在關系式[aibi-ai+1bi+1]為等差數列(i=0，1，2，3，…)，且ab>aibi> ai+1bi+1，ab為最大值.

證明：參見參考文獻[1].

引理3 am-1=(a-1)(am-1+am-2+…+1) ；若 a≡1(modmk)， mk|a-1，因為a≡1(modm)，所以 am-1+am-2+…+1≡m≡0(modm)， 也就有m|am-1+am-2+…+1， 因此mk+1|am-1， 即 am≡ 1(modmk+1)，k>0 ， m≥3的奇素數.

證明:參見參考文獻[1].

推論1 am-1=(a-1)(am-1+am-2+…+1 ) ；若am-1+am-2+…+1≡m≡0(modm)；m|am-1+am-2+…+1； 因為am-1+am-2+…+1≡0(modm)； 所以m|a-1，即m2|am-1，am≡1(modm2).

注1 引理和推論不同，引理有mk+1|am-1，k≥1，而推論僅有m2|am-1，m≥3的奇素數[4-8].

證明:參見參考文獻[1].

2.4 實例證明

實例1 證明1： 假設d0=1，X0，Y0為一偶一奇，或同為奇數，引入(-1)e(e=1，2，3，…，k-1)e是y0的冪指數，則有

(5)

將X0=X1，Y0=Y1代入上式，并兩端同減1可得

(6)

證明2：當d0=k時，有

(7)

(8)

(9)

(10)

上式兩端同減2k-1后，再同除以2k-1,可得

(11)

費馬定理表明：am-1≡1(modm)； (a，m)=1； 若 a=bm， 則為 (bm-1)m≡1(modm2)

根據對費馬定理的解釋，式(11)中(2k-1-1)只能是2k-1≡1(modk1)，即k|2k-1-1 ；2k-1-1=kC2(C2是2k-1-1除以k 的倍數)，(k， C2)=1 .則式(11)可變換為

(12)

設上式中括號內代數和為∑C1，則式(12)可改為

(13)

(14)

k2b3=ka3， b3=a3/k.

實例2 假設Z0為偶數， X0，Y0為奇數，Z01為偶數，則有

(15)

將X1，Y1代入式(2)可得

(16)

(17)

上式兩端同減1，右端提取公因數(kk-1)2，可得

(18)

設中括號內代數和為∑C3，則有

(19)

(20)

因為(k，∑C3)=1，所以b4為既約分數.

(21)

同前面的分析一樣，可以證明Z02為無理數，Z0為無理數，Z0無最小正整數解和正整數解.

3 結論

上面已證明 Xk+Yk=Zk無全正整數解，若將n進行素因數分解，則有

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(責任編輯： 黃曉楠 英文審校： 黃心中)

Elementary Proof of Fermat Theorem

ZHANG Chaoxiang1， AI Xiaochuan2，HUANG Kailin3， MA Disheng4

(1. Tuha Oilfield Company， China National Petroleum Corporation， Chengdu 610081， China；2. College of Science, Naval University of Engineering, Wuhan 430033， China；3. Sichuan Yongneng Petroleum Technology Development Limited Company， Chengdu 610017， China；4. Southwest Oil and Gasfield Company， China National Petroleum Corporation， Chengdu 610255， Chian)

In this paper， an elementary proof method is given for the indefinite equation，Xn+Yn=Zn， which has no positive integer solution when n is an odd prime number， namely， it proves Fermat theorem with an elementary mathematical method. In addition， an example analysis is also given， and the results show that the proof method is correct.

Fermat theorem； elementary mathematical method； factorization； relatively prime of polynomials

10.11830/ISSN.1000-5013.201606026

2016-11-06

張朝相(1942-)，男，高級工程師，主要從事數論的研究.E-mail:zhangchaoxiang99@sohu.com.

四川省杰出青年科研基金資助項目(2011JQ0055)

O 156.1

A

1000-5013(2016)06-0786-05