一種新型非線性時變模型：模糊變參數系統

張洪楊， 梁悅， 班曉軍， 吳奮

(1.哈爾濱工業大學 控制理論與制導技術研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001；2.北卡羅萊納州立大學 機械與宇航工程系，美國 羅利 27695-7910)

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一種新型非線性時變模型：模糊變參數系統

張洪楊1， 梁悅1， 班曉軍1， 吳奮2

(1.哈爾濱工業大學 控制理論與制導技術研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001；2.北卡羅萊納州立大學 機械與宇航工程系，美國 羅利 27695-7910)

為了研究非線性時變模型，提出了模糊變參數系統。它是一種集T-S模糊系統和線性變參數系統諸多優點為一體的新型非線性時變模型，它繼承了T-S模糊模型能有效處理非線性系統的優點，又保持了線性變參數模型處理時變系統的優勢。模糊變參數系統不僅克服了傳統T-S模糊模型在處理時變系統時模糊規則劇增的弱點，也擴展了線性變參數系統理論的適用范圍，為解決非線性時變系統的控制問題提供了新思路。在以上模型的基礎上，給出了零平衡點全局漸進穩定的一個充分條件以及設計一種T-S全狀態反饋控制律的充分條件，數值仿真驗證了結果的有效性。

T-S模糊系統；線性變參數系統；模糊變參數系統；二次李亞普諾夫穩定；非線性時變系統

0 引 言

非線性時變系統是控制理論的一個重要研究領域。實際工程中尤其是國防領域中出現的新裝備、新系統更是迫使控制理論工作者展開非線性時變系統方面的研究。例如，在飛行器控制領域，考慮到燃料的消耗和氣動參數的變化，嚴格上講所有的飛行器都是非線性時變系統。而且，這種時變特性會隨著飛行器速度、航程、飛行空域的增加而尤顯突出。

由于T-S模糊系統具有相對簡潔明了的結構以及在一定條件下具有萬能逼近器的特性，至今，T-S模糊控制問題仍然是非線性控制領域國內外研究熱點之一[1-5]。基于該系統的解析結構分析[6]，模型逼近性能[7]，穩定性分析[8-10]及控制律綜合[11-15]，魯棒性能分析以及魯棒控制律綜合[16]，濾波器設計[18]，增益調度控制[18-20]等問題都得到了廣泛研究。這些豐富的研究成果強有力地推動了T-S模糊控制理論的發展與應用。然而，到目前為止，大部分研究主要基于參數恒定的T-S模糊系統，即構成非線性模型的局部線性系統的系統矩陣均為常數矩陣。這種常規的T-S系統具有很好的處理非線性特性的能力，但是在處理時變特性的時候卻有局限性，這主要體現在以下兩個方面：

1)規則數目劇增，不利于系統分析與綜合

為了處理時變特性，需要將與時間有關的參數作為條件變量引入到模糊規則中，這勢必會增加模糊規則數。按照經典的并行補償設計方法，描述被控對象的規則數增加則相應的T-S模糊控制律的規則數目也增加。那么相應的閉環系統的規則數目會倍增。而現有的T-S模糊系統的穩定性分析和綜合方法一般都歸結到求解一組線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)，那么規則數的增加將會直接導致線性矩陣不等式數目的急劇增加，大幅度增加計算量，進而提高控制系統分析與綜合的計算復雜度。

2)對時變特性的“近似”描述

正如一般情況下T-S模糊模型是對非線性系統的一種近似描述，一旦把時變參數作為模糊變量引入到條件變量中，一般情況下也是對系統時變特性的一種近似描述，這無疑會引入模型誤差，也會給系統分析與控制律綜合帶來更多保守性。

綜上所述，盡管T-S模糊系統能有效處理非線性被控對象，但在處理被控對象的時變特性方面具有局限性。

而另一方面，上個世紀90年代以來，基于線性變參數系統(linear parameter varying systems，LPV)的理論[21-22]得到了長足發展。該理論主要是解決以下線性時變系統的分析與綜合問題：

其中θ(t)∈Rm是隨時間變化的獨立于系統狀態變量的參數。借助于凸優化理論，各種基于線性變參數系統的問題都得到了很廣泛的研究。例如穩定性分析、鎮定問題、保證輸出輸入性能的控制律綜合問題等，其理論框架基本成熟。一般情況下，這些問題最后都歸結到求解一組依賴參數θ(t)的線性矩陣不等式。目前，該理論已將線性定?？刂评碚摪l展到了線性時變控制理論，能有效處理線性時變系統的控制系統分析與綜合問題。但該理論構建在線性時變模型的基礎上，其處理非線性對象的能力有限。僅管在一定條件下可以將非線性模型轉化為一種“偽線性變參數模型”的形式，但會帶來分析設計上的保守性。所以從理論上講，我們需要將現有的線性變參數理論推廣到非線性領域。

基于以上考慮，本文提出了一種新型的非線性時變模型，稱之為模糊變參數系統(fuzzy parameter varying systems，FPV)。該系統能夠克服一般T-S模糊模型在描述時變特性時存在的局限性，結合T-S模糊系統和線性變參數系統的特點于一身，直接面向非線性時變系統，將為解決非線性時變系統的控制問題提供一種新的理論途徑。

1 模糊變參數系統

假設模糊變參數系統規則庫中共有r條規則，則第i條規則形式如下：

(1)

其中：

將式(1)所描述的系統稱為模糊變參數系統。

可以看出，系統(1)中的Ai(·)，Bi(·)，Ci(·)和Di(·)不依賴時變參數θ(t)的時候，該系統即退化為一個普通的T-S系統，體現出描述非線性被控對象的能力；當規則庫中只有一條規則或者每條規則對應的線性模型的參數都相同時，該系統又退化為一個普通的線性變參數系統，體現出處理時變特性的能力。因此，該系統是集T-S模糊系統和線性時變參數系統特點于一身，是一種描述非線性時變系統的數學模型。

值得注意的是，從理論上講，T-S系統的條件變量z(t)完全可以是與系統狀態或者輸出無關的隨時間變化的量，從而整個T-S模型可以體現出時變特性。但正如緒論以及第三節中所描述，用這種方式描述時變系統具有很大的局限性。所以只假設式(1)中的條件變量z(t)僅僅是狀態變量或輸出變量。

注：現階段的T-S模糊模型大多數是集中參數系統，但是在實際生產和過程中，狀態變量不僅與時間有關還會與空間變量相關，例如流體問題、化學反應過程等。因此狀態變量嚴格意義上也是空間變量的函數。從而可以得到偏微分模糊系統。從偏微分模型角度考慮，偏微分模糊變參數系統有r條規則組成，其中第i條規則具有如下形式：

(2)

2 T-S模糊模型與FPV模型的對比

T-S模糊模型在描述非線性時變系統的時候具有局限性。這是因為通常要將時變參數當作一個新的條件變量加入到模糊規則中。以下面用倒立擺的數學模型來說明這一點。一級倒立擺的數學模型為：

規則1：如果x1在0弧度附近，那么

規則2：如果x1在0.489π弧度附近，那么

假設以上非線性模型中的擺桿長度是時間的函數，即l=1.5+cos(t)。如果還用傳統T-S模糊模型建模，可以把擺桿長度當成一個條件變量來處理。在最簡單的情況下，可以得到4條模糊規則的T-S模糊模型：

規則1：如果x1在0弧度附近并且l在1.75 m附近，那么

規則2：如果x1在0弧度附近并且l在2.25 m附近，那么

規則3：如果x1在0.489π弧度附近并且l在1.75 m附近，那么

規則4：如果x1在0.489弧度附近并且l在2.25 m附近，那么

其中：

可以看出T-S模糊模型在描述時變系統的時候，模糊規則從2條變成了4條。這還僅僅是最簡單的情況，倘若希望進一步提高模型精度，需要對擺桿長度進行更細致的模糊劃分，勢必會得到更多的模糊規則，這將為后續的控制器設計和綜合問題帶來很大困難。

針對更為一般的非線性時變系統，應用常規T-S系統近似系統時，可行的做法是將所有不屬于狀態變量的其他隨時間變化的參數θ(t)視為條件變量，即將這些變量包含在z(t)中。此時，該系統可以描述時變非線性系統。但這種做法會將直接導致規則數目呈指數形式增長。假設z(t)中原有n個變量，對每個變量進行s個模糊劃分，則不對規則進行化簡時，完備的規則庫中會包含sn條規則。考慮新增加的時變參數，若對于時間參數θi(t)，i=1,2,…,m所在論域也進行s個模糊劃分，則不做任何規則簡化時，規則數目會增加到s(m+n)。以此計算，整體會增加sn(sm-1)條規則。假設z(t)中原有2個變量，即n=2，并對每個參數所在論域進行7個模糊劃分(這是一種很通常的做法：負大、負中、負小、零、正小、正中、正大)，即s=7。此時，規則數目會增加72×(72-1)=2 352條。該數字會隨著變量個數的增加呈指數形式增長，而FPV系統恰好能克服T-S系統這個弱點。

3 模糊變參數系統穩定性分析

穩定性分析是控制系統研究中的一項重要工作?；诙涡蚅yapunov函數，我們可以得到保證系統零平衡點全局漸進穩定的一個充分條件?？紤]如下不帶控制量的模糊變參數系統

(3)

式中x是狀態變量，Ai(θ)∈Rn×n是系統矩陣，其它參數與式(1)中相同。

選取如下二次Lyapunov函數

V(x)=xTPx，

其中P∈Rn×n是一個正定的常數矩陣。計算V(x)沿著系統(3)的導數為

據此，可以得到下面穩定性充分條件。

定理1：如果存在正定矩陣P并且對于任意的θ∈Ω滿足下面矩陣不等式

那么系統(3)的原點是全局漸近穩定的。

進一步，考慮以下閉環系統：

(4)

[(Ai(θ)+BiKs)TP+P(Ai(θ)+BiKs)]<0,

可以知道系統(4)的原點是全局漸近穩定的條件：

存在矩陣正定矩陣P和矩陣Ks滿足

(Ai(θ)+ Bi(θ)Ks)TP+P(Ai(θ)+

Bi(θ)Ks)<0,

(5)

其中i,s=1,2,…,r。將式(5)分別左乘和右乘P-1，可以得到

(6)

可以看出上面的式子可以解出P和Ks。據此可得以下控制器綜合條件。

定理2：如果存在正定矩陣P和矩陣Qs并且對于任意的θ∈Ω滿足下面線性矩陣不等式

其中，i=1,2,…,r，s=1,2,…,r，然后取控制器

Ks=QsP，s=1,2,…,r。

則閉環系統(4)的原點是全局漸近穩定的。

注：如果Ω是凸多邊形，式(6)為有限個線性矩陣不等式。

4 數值仿真

以下我們將通過數值仿真驗證上述方法設計控制器的有效性。為了簡化起見，取n=2，r=2，Ai(θ)=Ai0+Ai1θ1。針對于如下變參數模型以及全狀態反饋控制器：

(7)

首先寫出關于式(6)的線性矩陣不等式組：

可以通過Matlab中的LMI工具箱可以解出：

然后將K1和K2代入系統(7)中，使用Matlab中的SIMULINK工具進行數值仿真，得到系統狀態圖2和圖3。

圖1 θ1(t)的圖像Fig.1 Curve of θ1(t)

圖2 初值為(1,-1)系統(7)的狀態Fig.2 State of system(7)with initial (1,-1)

圖3 初值為(20,-200)系統(7)的狀態Fig.3 State of system(7)with initial (20,-200)

從圖2可以看出當初值是(1,-1)時，狀態變量x1和x2都會收斂到0。在圖3中，初值選取為(20,-200)，也可以看到狀態變量收斂到0。

注：由于本算例沒有實際物理意義，所以圖1～圖3的縱坐標沒有單位。

5 結 論

本文提出了一種新型非線性時變模型：模糊變參數系統。該系統為解決非線性時變系統的控制問題提供了新思路，它是經典T-S模糊模型以及LPV系統的推廣和延伸。進一步，我們給出了零平衡點全局漸進穩定的一個充分條件以及設計T-S全狀態反饋控制律的充分條件。數值仿真驗證了以上結果的有效性。

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(編輯：劉琳琳)

Nonlinear time-varying model: fuzzy parameter varying system

ZHANG Hong-yang1, LIANG Yue1, BAN Xiao-jun1, WU Fen2

(1.Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Mechanical and Aerospace Engineering Department, North Carolina State University, Raleigh 27695-7910, USA)

The fuzzy parameter varying system was proposed to study nonlinear time-varying models. It is a novel nonlinear model combining the advantages of both the T-S fuzzy system and the linear parameter varying (LPV) system. It inherits the advantage of the T-S fuzzy system in dealing with nonlinear systems effectively, and maintains the advantage of LPV system when processing linear time-varying systems. Fuzzy parameter varying system not only overcomes the disadvantage of the traditional T-S fuzzy system in handing time-varying systems, but also expands the scope of application of LPV system theory. It provides a new idea for solving nonlinear time-varying control problem. Moreover, a sufficient condition is provided to guarantee the globally asymptotically stable of the equilibrium and to synthesize a T-S state feedback control law which can stabilize the closed loop fuzzy parameter varying system. Numerical simulations verify the effectiveness of our results.

T-S fuzzy system; linear parameter varying system; fuzzy parameter varying system; quadric Lyapunov stability; nonlinear time-varying system

2016-07-22

國家自然科學基金(61304006，61273095)

張洪楊(1987—)，男，博士研究生，研究方向為模糊變參數系統理論與應用；

梁 悅(1994—)，女，碩士研究生，研究方向為模糊變參數系統理論與應用；

班曉軍

10.15938/j.emc.2016.11.012

TP 273

A

1007-449X(2016)11-0086-06

班曉軍(1978—)，男，博士，教授，博士生導師，研究方向為模糊系統、魯棒增益調度控制；

吳 奮(1964—)，男，博士，教授，研究方向為魯棒增益調度控制。