微分幾何背景下Dini曲面的幾何性質研究*

朱紅桃，梁馨月，梁 林

(1.云南師范大學，云南 昆明 650500；2.楚雄師范學院科技處，云南 楚雄 675000)

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微分幾何背景下Dini曲面的幾何性質研究*

朱紅桃1，梁馨月1，梁 林2

(1.云南師范大學，云南 昆明 650500；2.楚雄師范學院科技處，云南 楚雄 675000)

曲面是經典微分幾何研究的主要對象，它的性質很豐富.本文以Dini曲面為背景，以微分幾何為工具，討論了三維歐氏空間中Dini曲面的有關幾何性質，給出了Dini曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率等幾何性質；再由高斯曲率、平均曲率，得到Dini曲面的極小軌跡。

Dini曲面；主曲率；高斯曲率；極小軌跡

微分幾何是以數學分析的方法為基礎，應用微積分的理論對空間幾何性質進行研究的學科，而曲面是微分幾何研究的主要對象，它有許多豐富的性質。曲面的性質是近幾年的研究的新的熱點。袁媛、劉會立在文[1]中討論了特殊曲線的副法線曲面以及由此特殊性而得到的相關結論。梁林在文[2]中討論了曲線的副法線曲面，得到它的幾何性質。受此啟發，本文采用類比研究的方法討論了Dini曲面，得出了Dini曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率、極小軌跡。

1.預備知識

(1.1)

第一基本形式為 I=Edu2+2Fdudv+Gdv2.

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

引理3[3]曲面上一點的主曲率的計算公式為

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

2．主要結論

設曲面的參數方程為

(2.1)

其中

u,v為參數，a,b為常數，記Dini曲面為

(2.2)

定理1 Dini曲面∑的第一基本形式為

(2.3)

(a,b為常數)，對曲面方程求一階導，得

(2.4)

于是，由公式(1.2)及(2. 4)得Dini曲面∑的第一基本形式為

Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2

定理2 Dini曲面∑的第二基本形式為

(2. 5)

證明 由(2.4)知

對ru, rv求一階導，得

(2. 6)

得Dini曲面∑的第二基本形式為

求一階導得

定理4 Dini曲面的曲紋坐標網不是共軛網.

定理5 Dini曲面上的曲紋坐標網不是漸近網.

證明 由(2. 6)知

定理6 Dini曲面上的曲紋坐標網不是曲率線網.

證明 由(2. 4)(2. 6)知

定理7 Dini曲面上的曲紋坐標網不是切比雪夫網.

證明 由(2.4)知

對u,v求一階導，得Gu=0, Ev=a2sin2v≠0即得證.

(2.7)

證明 由公式(1.7)知Dini曲面的主曲率的計算公式為

又由(2. 4)和(2. 6)知

令m=a2[a2sin2vcos2v+b2cos2v(cos2v+1)],

設Dini曲面的主曲率為k1和k2，解得

(2.8)

又由(2. 4)和(2. 6)知

(2.9)

又由(2. 4)和(2. 6)得

(2.10)

證明 由定義知H=0，又由(2. 9)知

所以Dini曲面的極小軌跡為

定理12 Dini曲面具有正則性.

(2.11)

所以Dini曲面具有正則性.

(2.12)

由公式(1.3)知

[1]袁媛，劉立會.空間曲線的副法線曲面[J].東北大學學報，2012,33(10)：1517―1520.

[2]梁林.曲線的副法線曲面及其性質研究[J].楚雄師范學院學報，2015,30(03):1―4.

[3]梅向明，黃敬之.微分幾何[M].北京：高等教育出版社，2008.

(責任編輯 李艷梅)

Research on the Geometric Properties of the Dini SurfaceundertheBackgroundofDifferentialGeometry

ZHUHongtao,LIANGXinyue&LIANGLin

(Yunnan Normal University, Kunming, 650500, Yunnan Province;Science & Technology Dept., Chuxiong Normal University, Chuxiong, 675000, Yunnan Province)

Surfaceismainobjectoftheclassicdifferentialgeometry,whichhasalotofdifferentialgeometry,BasedontheDinisurfaceasthebackground,DiniinthreedimensionalEuclideanspacewerediscussedaboutthegeometricpropertiesofthesurface.GivestheDinisurfaceasymptote,maincurvature,gaussiancurvatureandmeancurvaturegeometryproperties;Againbygaussiancurvatureandmeancurvature,obtainedtheDinitinytrajectoryofthesurface.

Dinisurface;Maincurvature;Gaussiancurvature;Minimalpath

楚雄師范學院國家自然科學基金孵化項目。

2016 - 04 - 24

朱紅桃(1991―)，女，碩士研究生，研究方向：學科教學(數學)。

O186.16

A

1671 - 7406(2016)09 - 0001 - 06