“勾股定理”中的數學思想

楊翠芹

“勾股定理”中的數學思想

楊翠芹

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請在每題后的直線上填出該例運用了何種數學思想.

【例1】已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，求第三邊長.

【點評】在題目沒有指明斜邊、直角邊的情況下，要先確定斜邊、直角邊.

本例運用了（填數學思想）.

【例2】已知，如圖，折疊長方形的一邊AD使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC= 10 cm，求ED的長.

【分析】先求出BF、CF，再設EF=ED=x，則CE=8-x,在Rt△CEF中可根據勾股定理列方程.

解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠C=90°，∵△AEF由△AED折疊得到的，∴△AEF≌△AED，AF=AD=10, EF=ED，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF=CF=BC-BF=10-6=4，設EF= ED=x，則CE=8-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，∴x=5，即ED=5.

【點評】折疊問題的本質是軸對稱（全等性、對稱性），要找出隱含的折疊前后的位置關系和數量關系，然后再應用勾股定理列方程.

本例運用了（填數學思想）.

【例3】如圖，用硬紙板做成了兩個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，又做了一個以c為直角邊的等腰直角三角形，你能將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形嗎？（1）如果能，請你畫出拼好的示意圖，寫出它是什么圖形？（2）用這個圖形證明勾股定理．（3）假設有若干個兩直角邊的長分別為a和b的直角三角形，你能運用它們拼出其他能證明勾股定理的圖形嗎？如果能，請畫出拼后的示意圖．（無需證明）

【分析】勾股定理的證明要運用拼圖法來做，以形求數，數形結合.

（1）解：如圖，可拼成直角梯形.

（2）證明：∵S梯形=2×（a+b）（a+b），∴（a+b）（a+b），即a2+b2=c2.

（3）解：可以，所拼圖形如下：

【點評】這道題關鍵要熟練掌握課本勾股定理證明涉及的幾種常見的圖形以及證明過程和等面積法，抓住思想.

【例4】如圖有兩棵樹，一棵高7米，另一棵高2米，兩樹相距24米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？

【分析】首先要把實際問題化為包含直角三角形的數學問題，再聯系圖形直接用勾股定理解答.

解：由題意得AE=7-2=5，DE=24，在Rt△ AED中，由勾股定理得AD=

答：小鳥至少飛了25米.

【點評】解答勾股定理的實際應用題，首先要審清題意，然后找出試題情景中涉及的直角三角形，再結合勾股定理便可以求出了.

本例運用了（填數學思想）.

【例5】如圖，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E為斜邊AB上的點，且∠DCE=45°.

求證：DE2=AD2+BE2.

【分析】要證明三邊的關系，就要將邊轉移到一個三角形中，可以通過旋轉構造直角三角形，運用勾股定理.

證明：把△ACD繞點C逆時針旋轉90°得△BCF，則△ACD≌△BCF，BF=AD,CF=CD,∠CBF=∠CAD=45°,∠DCF=90°.∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,∴∠DCE=∠FCE=45°，∵CF=CD,∠DCE=∠FCE=45°,CE=CE，∴△CDE≌△CFE，∴FE=DE，∵在等腰△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CBA=45°，∴∠EBF=∠CBA+∠CBF=90°，在Rt△EBF中，由勾股定理得：FE2=BF2+BE2，∵FE=DE,BF=AD，∴DE2=AD2+BE2.

【點評】勾股定理是求線段關系的一種很重要的方法,若圖形缺少直角條件,可通過作輔助垂線的方法,構造直角三角形.這題關鍵要利用旋轉變換，將三邊轉移到一個三角形中，并構造直角三角形.

本例運用了（填數學思想）.

（作者單位：江蘇省常州市武進區雪堰初級中學）

責任編輯：沈紅艷見習編輯：李詩