再談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張為安 黃生洪

（湖北省潛江市王場中學(xué) 湖北潛江 433100）

再談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張為安 黃生洪

（湖北省潛江市王場中學(xué) 湖北潛江 433100）

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直觀，形當(dāng)數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非。”波利亞也說，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題，數(shù)學(xué)思想方法是靈魂和精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是解題過程中劈山開路的寶劍，所以在解決數(shù)學(xué)問題時，將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合，實現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，使數(shù)與形的信息相互滲透，可以拓展解題思路，使數(shù)學(xué)問題簡單化，明朗化。

下面舉例說明數(shù)形結(jié)合在解決實際問題中的妙用：

一、利用數(shù)軸求不等式中取值范圍

二、利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個數(shù)問題

例2.設(shè)方程|x2-1|=k+1，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情況。

分析：我們可以把這個問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y1=|x2-1|與y2=k+1的圖像交點個數(shù)的情況，因函數(shù)y2表示平行x軸的所有直線，從圖像可以直觀的看出：

①當(dāng)klt;-1時，y1與y2沒有交點，這時原方程無解

②當(dāng)k=-1時，y1與y2有兩個交點，原方程有兩個不同的解

③當(dāng)-1lt;klt;0時，y1與y2有四個不同的解，原方程不同解的個數(shù)有四個

④當(dāng)k=0時，y1與y2有三個交點，原方程不同解的個數(shù)有三個；

⑤當(dāng)kgt;0時，y1與y2有兩個交點，原方程不同解的個數(shù)有兩個

三、利用數(shù)軸或坐標(biāo)求最大值（或最小值）

例3.（1）如圖，在直線l的同側(cè)有A，B兩點，在直線l上找到點P、P′，使PA+PB最小，|BP′-AP′|最大；

（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點A（2，3），B（4，5），請分別在x軸，y軸上找兩點P、P′，使PA+PB最小，|BP′-AP′|最大，則P、P′的坐標(biāo)分別是____

（4）在直角坐標(biāo)系中有四點A（-8，3），B（-4，5），C（0，n），D（m，0），當(dāng)四邊形ABCD周長最短時，

分析：這是一組形異實同的題目，轉(zhuǎn)化是解決這類問題的核心，而其基礎(chǔ)知識就是運用兩點之間線段最短在不同場合有簡單到復(fù)雜的運用

（1）作A點關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，延長BA交l于點P′，則點P，P′為所求。

（2）點A關(guān)于x軸的對稱點A′（2，-3），直線A′B的解析式為y=4x-11，y=0時，，所以點

直線AB的解析式為y=x+1，與y軸的交點為（0，1）所以P′（0，1）

（3）①

②類似于（1），延長BA交x軸于P′，則

（3）作點B關(guān)于y軸的對稱點B′，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，則點B′（4，5），A′（-8，-3），則A′B′的解析式為

結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點，又是數(shù)學(xué)研究中的常用方法，數(shù)形結(jié)合是解決具體問題的寶劍，是尋求出路的突破口，數(shù)形結(jié)合最大的特點就是模式化，直觀化，用簡單直觀的圖形代替繁瑣的代數(shù)推理，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的基本而又重要的思想，可見數(shù)與形珠聯(lián)璧合，相映生輝。