基于改進(jìn)的信息熵為權(quán)重的模糊多屬性決策

摘 要：本文針對(duì)未知權(quán)重的模糊多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行了討論，給出了以梯形模糊數(shù)得到屬性值為元素的模糊決策矩陣，并將其規(guī)范歸一化，基于信息熵的定義給出了新的熵權(quán)的算式，總結(jié)了基于此方法的模糊多屬性決策的算法，并實(shí)踐于項(xiàng)目投資的實(shí)例中，驗(yàn)證了該方法是行之有效的。

關(guān)鍵詞：模糊決策矩陣 信息熵 熵權(quán) 模糊多屬性決策

中圖分類號(hào)：G421 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）09（b）-0022-03

多屬性決策（Multiple attribute Decision Making，MADM）是指決策者按照已知的決策準(zhǔn)則，對(duì)一組離散、有限的方案進(jìn)行評(píng)價(jià)和選擇的問(wèn)題。由于MADM廣泛存在于社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域，如項(xiàng)目的投資、人才的考核、政策的制定、效益的評(píng)估、戰(zhàn)略的部署等等，所以長(zhǎng)久以來(lái)MADM問(wèn)題一直是決策分析的研究熱點(diǎn)之一。但現(xiàn)實(shí)的許多決策問(wèn)題中，決策者常常會(huì)遇到一些難以準(zhǔn)確描述的事物，即事物表現(xiàn)出一種亦此亦彼且不滿足排中律的模糊性。模糊集和多屬性決策相結(jié)合形成了模糊多屬性決策（FMADM），成為當(dāng)今最有發(fā)展前途、最前沿的研究領(lǐng)域之一。面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜、千變?nèi)f化的工程系統(tǒng)，模糊決策矩陣是描述決策者對(duì)方案或者屬性偏好的一個(gè)非常普遍、可行、合理、及強(qiáng)有力的重要工具。且決策者的最終目標(biāo)就是對(duì)方案集X中的元素進(jìn)行排序或擇優(yōu)，故對(duì)基于模糊決策矩陣（包括AHP中的模糊判斷矩陣）MADM方法的研究具有明顯的現(xiàn)實(shí)意義和理論意義。

而在多屬性模糊決策中，關(guān)于不同屬性的權(quán)重的取值歷來(lái)是模糊多屬性決策問(wèn)題中的重要一環(huán)。權(quán)重的選擇只靠選擇者的主觀評(píng)斷或者專家系統(tǒng)，已經(jīng)很難具有說(shuō)服力。雖然關(guān)于變權(quán)的定義也多有出現(xiàn)，但大多是定義在基礎(chǔ)權(quán)重上的不同迭代算法，雖實(shí)現(xiàn)了權(quán)重的變化，但也脫離不了開(kāi)始的基礎(chǔ)權(quán)重，和本身系統(tǒng)的屬性值關(guān)聯(lián)不大，不能很好的體現(xiàn)可選擇對(duì)象自身的含義。而在信息論中，信息熵是基礎(chǔ)概念，來(lái)描述信息系統(tǒng)的不確定性的大小。它是關(guān)于通訊系統(tǒng)的描述函數(shù)，熵值越大，表明系統(tǒng)越不確定性大，無(wú)序性大，反之說(shuō)明系統(tǒng)確定性大。信息論中的模型本身就是一個(gè)多屬性系統(tǒng)，因此，可以將信息熵和多屬性決策進(jìn)行結(jié)合。本文討論了基于信息熵定義的一種依靠模糊決策矩陣生成的權(quán)重方法，并在其基礎(chǔ)上予以改進(jìn)，并形成多屬性的模糊決策的算法，具體解決了關(guān)于項(xiàng)目投資的多屬性模糊決策問(wèn)題。

1 多屬性模糊決策的相關(guān)理論

定義1.1[1]：記為決策方案集合。為多屬性評(píng)價(jià)指標(biāo)集合，對(duì)于待定的方案相對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)屬性進(jìn)行評(píng)估得到的屬性值為元素構(gòu)成的矩陣稱作是多屬性決策的決策矩陣，經(jīng)過(guò)一定的規(guī)范化方法得到的規(guī)范化指標(biāo)構(gòu)成的矩陣叫做規(guī)范化決策矩陣，可記作。

其中，指標(biāo)屬性采取模糊方法取得的屬性值得到的決策矩陣叫做模糊決策矩陣。本文采取梯形模糊數(shù)來(lái)選擇指標(biāo)屬性值。

定義1.2[2]：記，，稱為梯形模糊數(shù)。其隸屬度函數(shù)，可以表示為：

。則模糊決策矩陣的元素為：

。表明個(gè)可選擇對(duì)象，個(gè)評(píng)價(jià)屬性。模糊決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化后的矩陣記為，其中。

定義1.3[3]：成本性屬性指標(biāo)是指屬性值越小對(duì)系統(tǒng)越有益的屬性，比如投資成本，政治經(jīng)濟(jì)影響程度，技術(shù)手段強(qiáng)弱，風(fēng)險(xiǎn)分析等等。規(guī)范化成本型指標(biāo)公式可定義如下：

。

因?yàn)楸疚倪x取的是梯形模糊數(shù)，且。

則上述算式可變?yōu)椋?/p>

定義1.4：效益型屬性指屬性值越大對(duì)整個(gè)選擇月有益的屬性指標(biāo)。比如經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)分析，社會(huì)效益，可靠性分析等等，對(duì)于效益型屬性指標(biāo)的規(guī)范化公式可如下定義：

，

本文則可轉(zhuǎn)化為。

定義1.5[3]：固定型指標(biāo)指標(biāo)指指標(biāo)穩(wěn)定，趨近某個(gè)固定值時(shí)候?qū)τ谶x擇越有益的屬性指標(biāo)，比如電子元件使用時(shí)間，期貨上市時(shí)間等等。

規(guī)范化公式為：。

定義1.6[4]：歸一化規(guī)范化矩陣：

，

梯形模糊數(shù)的數(shù)學(xué)期望即。

2 熵權(quán)的定義及其改進(jìn)

定義2.1[5]：熵是熱力學(xué)中的概念，在信息論中熵是針對(duì)于系統(tǒng)、通訊不確定性的一種度量。

考慮一個(gè)概率空間，個(gè)概率實(shí)驗(yàn)離散信源熵。

由定義可知信息熵，且當(dāng)概率等概分布時(shí)候，熵值最大（本文取自然對(duì)數(shù)）。

由于熵的定義不符合權(quán)值的取值范圍，因此，要對(duì)上述熵值進(jìn)行改進(jìn)。

定義2.2[4]定義熵為。第個(gè)屬性的分散程度可表示為，代表指標(biāo)重要程度。第個(gè)指標(biāo)分散的程度越高，表明該指標(biāo)重要性越大，越容易選擇，反之亦然。

定義2.3：定義熵權(quán)，。明顯可得。

這種定義的熵權(quán)不僅是可變權(quán)重，而且具有基于模糊決策矩陣的可變性和普遍性，但是在文獻(xiàn)[7]中，作者指出該定義方式，當(dāng)熵值時(shí)，即分散度時(shí)，容易由熵值得微小差別而導(dǎo)致熵權(quán)的劇烈變化，因此對(duì)其可以進(jìn)行改進(jìn)。

從而得到的，

比較大小仍可得結(jié)果是。

分析兩種結(jié)果可知，第二種改進(jìn)的熵權(quán)計(jì)算均勻熵值，改進(jìn)后的權(quán)值更符合實(shí)際，能有效的規(guī)免熵權(quán)的大幅度變化。從實(shí)際來(lái)看方案的投入最小，風(fēng)險(xiǎn)最小，收益第二，相對(duì)優(yōu)選，而則投入最大，風(fēng)險(xiǎn)最大，收益最小，當(dāng)然是末選，也符合實(shí)際情況。

6 結(jié)語(yǔ)

模糊多屬性決策問(wèn)題已經(jīng)日益成為模糊決策的重要議題，本文基于信息熵的定義給出了新的熵權(quán)的算式，給出了以梯形模糊數(shù)得到屬性值為元素的模糊決策矩陣，并將其規(guī)范歸一化，屬性值加權(quán)得到的模糊數(shù)進(jìn)行排序，并作用于實(shí)例，得到了良好的驗(yàn)證，為模糊多屬性決策問(wèn)題的研究補(bǔ)充了新的探索方法。

參考文獻(xiàn)

[1]左軍.多目標(biāo)決策分析[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，1991.

[2]胡寶清.模糊理論基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2004.

[3]余勝春.基于信息熵的多屬性參數(shù)系統(tǒng)決策方法[J].數(shù)學(xué)雜志，2012（6）：164-167.

[4]盧志剛.基于信息熵的模糊多屬性決策供應(yīng)商選擇方法[J].計(jì)算機(jī)系統(tǒng)應(yīng)用，2012，21（8）：170-174.

[5]曹雪虹，張宗橙.信息論與編碼[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[6]毛軍軍，賈靜麗.基于一種新的信息熵的區(qū)間直覺(jué)模糊集多屬性決策分析[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，29（6）：1-4.

[7]周惠成，張改紅，王國(guó)利.基于熵權(quán)的水庫(kù)防洪調(diào)度多目標(biāo)決策方法及應(yīng)用[J].水利學(xué)報(bào)，2007，38（1）：100-136.