異常波動源模型下巨災標準期權及任選期權的定價

朱丹

摘 要 從定量的角度分析了巨災期權的價值構成， 并在隨機利率下，考慮股票價格異常波動，利用Martingle Pricing方法推導出巨災標準期權及任選期權定價公式.

關鍵詞 巨災標準期權；任選期權；風險中性定價；波動源模型

中圖分類號 O211.63 文獻標識碼 A 文章編號 1000-2537（2016）05-0083-06

Abstract In this article，the value composition of the Catastrophe option is discussed in quantitative analysis.Under stochastic interest， we consider the models of fluctuation of stock price and obtain the pricing formula of Catastrophe common option and Catastrophe chooser option by means of Martingle approach （risk-neutral valuation）.

Key words catastrophe option； chooser option； risk-neutral valuation； models of fluctuation of stock price

“巨災”是一個隨著社會發展而不斷變化的新概念，對它至今尚缺乏統一的定性與定量認識.一般從死亡人數、損失金額、影響范圍等特點對其加以界定.約定俗成的解釋是：“巨災”是指對人民生命財產造成特別巨大的破壞損失，對區域或國家經濟社會產生嚴重影響的災害事件，如：地震與海嘯、特大洪水、特大風暴潮、特大空難等.

近年來不斷攀升的巨災風險使得傳統的保險與再保險體系難以承受損失，為分散風險，傳統保險市場不得不與資金雄厚的資本市場結合，由此引發了保險領域的不斷創新，衍生了巨災債券、巨災期權、巨災期貨等金融新品.

1996年第一支針對保險公司設計的，標的物為普通股票的巨災股票看跌期權（Cat Put Option）在美國上市.這種巨災標準期權是以某種約定的股票價格為基礎而設計的期權合同，其基本構成要素與價值組成與一般的期權不完全相同，區別在于期權持有者（保險公司）只有在巨災損失額或災難次數超過事先規定的某一范圍才能行使權力.為更好地吸引投資者，證券市場又相繼推出了巨災指數期權、巨災颶風指數期權、巨災任選期權等金融新品.隨著各類巨災風險衍生品的問世，理論界與實務界對其定價問題展開了廣泛探討，對標準巨災期權的研究比較有代表性的是國外Cox和Robert[1]利用均衡價格理論與無套利定價原理得出的巨災風險債券定價模型，Hainaut[2]考慮了索賠抵達過程中隨機季節性影響，構建了巨災風險債券定價模型，利用快速傅里葉變換對息票價格進行求解，國內周洪海[3]、龔日朝[4]等利用保險精算原理研究了巨災指數期權定價模型，李永、劉鵑[5]運用非壽險精算的方法，利用利率期限結構中的BDT模型對臺風巨災債券的損失分布進行了擬合，但這些研究多假定利率為常數且股價服從幾何布朗運動.考慮到在市場實踐中，當巨災發生時，股票價格往往會產生異常波動，本文在一種由隨機波動源和異常波動源共同作用的股票價格波動模型——波動源模型[6]下探討巨災期權定價問題，它既考慮了大量的散戶交易者的不相關交易對股票價格造成的隨機波動，又考慮到了巨災產生時對股票價格造成的異常波動，因此，它能更精確地描述巨災期權對應股票價格的波動現象，更貼近現實市場.

本文在完備市場環境下，假設股票價格服從波動源模型，市場利率為隨機利率，利用鞅論及隨機微分方程理論，給出了巨災標準期權及任選期權的價格公式.

4 結語

本文將無套利定價原理與數學領域的鞅論、隨機微分方程理論結合起來，構建一種由隨機波動源和異常波動源共同作用的股票價格波動模型——波動源模型，在隨機利率下考慮問題，得到了股價異常波動源模型下巨災標準期權及任選期權的價格公式.做為一種創新金融衍生產品， 巨災期權能為保險公司提供一種新的風險分散機制，也能在巨災發生時，為投保人減少損失.但是，我國金融市場相對于國外發達國家起步較晚，巨災期權等保險金融衍生品無論是設計、定價還是運行都缺乏相應的技術支撐，所以再保險市場進展緩慢.不過，作為自然災害多發的大國，保險市場與資本市場的有效結合是大勢所趨，研究巨災期權以及其他巨災衍生金融產品的定價問題無疑具有重要的理論及實踐價值.本文對巨災期權定價問題做了初步探討，期望能對我國金融市場提供一些有益借鑒.

參考文獻：

[1]COX H， ROBERT G. Insurance futures and hedging insurance price risk[J]. J Risk and Insur，1992，59（4）：628-644.

[2]HAINAUT D. Seasonality modelling for catastrophe bond pricing[J]. Bull Fra dAct， 2012，12（5）：129-150.

[3]周洪海.基于跳-擴散過程的重置巨災看跌期權定價[D].烏魯木爾：新疆大學， 2008.

[4]龔日朝，顏 元，劉 玲. 巨災保險模式及保費厘定方法研究[J].南華大學學報（自然科學版）， 2011，25（2）：37-44.

[5]李 永，劉 鵑.基于無套利利率模型的臺風巨災債券定價研究[J].預測， 2010，29（1）：49-53.

[6]鄭曉陽，官 暢.隨機參數股價波動源模型下可贖回可轉債定價[J].哈爾濱工程大學學報， 2011，32（1）：124-128.

[7]STEVEN S. Stochastic calculus and finance[M].New York： Springer， 1997.

[8]朱 丹，楊向群.有跳-擴散違約風險的可轉換券的鞅定價[J].數學學報， 2010，53（1）：165-170.

[9]BLACK F， SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities[J].J Polit Econ， 1973，81（May-June）：637-659.

[10]COX H， FAIRCHILD J， PEDERSEN H. Valuation of structured risk management products[J].J Math Econ， 2004，34（2）：259-272.

[11]嚴加安. 鞅與隨機積分引論[M].上海：上海科學技術出版社， 1981.

[12]許聰聰，王建鋒.股票價格服從指數O-U過程的復合期權定價方法探析[J].湖南師范大學自然科學學報， 2015，38（3）：74-79.

（編輯 HWJ）