整數冪模p剩余的差的均值

呂 葉，徐哲峰

(西北大學 數學學院， 陜西 西安 710127)

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·數理科學·

整數冪模p剩余的差的均值

呂 葉，徐哲峰

(西北大學 數學學院， 陜西 西安 710127)

設p是奇素數, l,m為滿足l?m(mod p-1)的正整數，利用三角和的方法研究了整數的m次冪模p剩余與l次冪模p剩余之差的2k次均值，并得到漸近公式。

m次冪模p剩余；均值；三角和；漸近公式

S(n,δ)=#{a:1≤a≤n-1,(a,n)=1，

并給出了

S(n,δ)=

Sm,n,λ,δ={a:1≤a≤λn,(a,n)=1,|a-(am)n|≤δn}。

在文獻[3]中，徐哲峰對|a-(am)n|的均值分布問題進行了深入的研究，推廣了文獻[1-2]中的結論，獲得了如下的漸近公式

其中ω(n)表示n的不同素因子的個數。

本文對文獻[3]中的問題進行了一種推廣，利用三角和方法研究了整數m次冪模p剩余與l次冪模p剩余之差的2k次均值，獲得了一些較強的漸近公式。主要結論如下。

定理1 設p是奇素數，k為非負整數，l,m為滿足l?m(mod p-1)的正整數，則有漸近公式

在定理1中取l=1，便獲得了文獻[3]中當λ=δ=1，n=p且k為偶數時的相應結論，即如下的推論。

推論1 設p為奇素數，m≥2為整數，則有漸近公式

推論1 設p為奇素數，k為非負整數，則有漸近公式

1 一些引理

引理1 設p為奇素數，l為正整數，r為滿足1≤r≤p的整數，則有

其中e(y)=e2πiy。

證 明 參見文獻[3]引理3。

引理2 設q≥1及t≥2均為整數，多項式f(x)=a1xr1+…+atxrt，其中r1,…,rt為一組不相等的非零整數，且滿足(a1,…,at, q)=1，則有估計式

證 明 參見文獻[4]定理1。

引理3 設s,r為滿足1≤s,r≤p-1的整數l,m為滿足l?m(mod p-1)的正整數，則有如下估計式

證 明 因為1≤s,r≤p-1，所以(s,r,p)=1，又因為l?m(mod p-1),則由引理2可得

引理4 設a,b為整數，p為奇素數且a,b,p滿足p?(a,b)，則對任意的滿足m≥2,α≥1的整數有

其中，ω(n)表示n的不同素因子的個數。

證 明 參見文獻[3]引理1。

引理5 設r,s為整數l,m為滿足l?m(mod p-1)的正整數，則有如下的兩個估計

(1)

(2)

證 明 首先來完成式(1)的證明。

(i)當m≥2時，在引理4中令b=p,α=1可得

則有如下估計

然后利用Jordan不等式

可得

(3)

(ii)當m=1時，由于p?s，則

同理可得

(4)

那么，由式(3) (4),可得對任意正整數m，有

這便證明了引理5中式(1)的結論。

現在來完成引理5中式(2)的證明。

由引理3和Jordan不等式可得

2 定理1的證明

這個部分我們來完成定理1的證明。首先，由三角不等式得到

Ω+Ψ+Υ+θ。

現在我們來逐個處理每一項。首先計算Ω。利用引理2可得

其次估計Ψ。由引理1有

由式(1)可得

同理可得

下面我們來估計θ。利用引理1，有

θ=

由引理5的式(2)可得

結合以上關于Ω,Ψ,Υ,θ的結果可得

這樣就完成了定理1的證明。

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(編 輯 亢小玉)

The mean value of the remainder of the integer power modp

Lü Ye， XU Zhefeng

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

Letpbe an odd prime, letl,mbe integers withl?m(modp-1), this paper uses the method of triangle sum to study the 2k-th power mean value of the difference of the integer′sm-th power modpresidual and itsl-th power modpresidual, and then get the asymptotic formula.

m-th power modp; mean value; triangle sum; asymptotic formula

2016-02-26

國家自然科學基金資助項目(11471258)

呂葉，女，陜西寶雞人，從事基礎數論的研究。

O156.4

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-05-001