Dullin-Gottwald-Holm淺水波系統中具橢圓對稱的自相似解

王 昊

(西北大學 數學學院，陜西 西安 710127)

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·數理科學·

Dullin-Gottwald-Holm淺水波系統中具橢圓對稱的自相似解

王 昊

(西北大學 數學學院，陜西 西安 710127)

運用橢圓對稱和分離變量法研究了二分量Dullin-Gottwald-Holm淺水波系統,得到了具有橢圓對稱和drift結構的自相似解以及一般形式的自相似解。通過構造Emden方程,研究了解的全局存在性以及有限時間的爆破現象。

DGH淺水波系統;橢圓對稱;分離變量法;自相似解

在數學物理研究中,精確解的構造可以有效幫助刻畫系統的一些非線性現象。1993年,Makino用分離變量法得到了Euler方程和Navier-Stokes方程的徑向對稱解[1]。在徑向對稱中,所有流體粒子的速度方向均指向或遠離原點且距原點等距的粒子速度大小相同。與徑向對稱不同的是,橢圓對稱中沿不同坐標軸方向,速度分量的變化可以各不相同。受文獻[2]的啟發,本文主要研究如下的二分量Dullin-Gottwald-Holm (DGH)系統:

(1)

該系統描述了具有非零旋度的淺水波運動,可以從二維Euler方程中利用漸進展開的方法得到。其中u=u(t,x)表示x方向的流體速度,ρ=ρ(t,x)刻畫了自由表面[3-4]。當ρ=0時,二分量DGH系統(1)退化為DGH方程:

ut-utxx+γ uxxx+3u ux=σ(2uxuxx+u uxxx)。

該方程由Dullin, Gottwald和Holm在2001年所得到[5],同時指出DGH方程具有哈密頓結構,并給出了DGH方程的物理解釋。更重要的是說明了DGH方程是一類非常重要的淺水波方程,可以描述淺水波運動。它和KdV方程一樣存在光滑孤子解,也支持和Camasa-Holm方程類似的尖峰孤立子解[6-9]。

利用分離變量法,我們構造了二分量DGH系統 (1) 的具有橢圓對稱和drift結構的自相似解。此外,通過研究相應的Emden方程,我們分析了自相似解的存在性和有限時間爆破現象[10-11]。

1 具有橢圓對稱及drift結構的自相似解

構造DGH系統(1)的自相似解可分為以下幾步,首先對(1)中連續性方程關于解(ρ(t,x), u(t,x)),我們有如下結論。

引理1 對連續性方程ρt+(ρ u)x=0,存在如下形式的解

(2)

其中α,β為任意常數,f(η)≥0∈C1(R),d∈R,η=(x+d)2/a2(t)。

證 明 由自相似解的形式及橢圓對稱的性質,設連續性方程的解為

(3)

將式(3)代入連續性方程左端可得:

顯然當α=1,β=1時,ρt+u ρx+ρ ux=0。

引理得證。

定理1 設函數a(t)是Emden方程

(a) 如果ξ>0,

(4)

(b) 如果ξ<0,a0>0,

(5)

(c) 如果ξ<0,a0<0,

(6)

證 明 將式(3)代入式(1)中第一個方程,成立

ut-utxx+3u ux-σ(2uxuxx+u uxxx)+

γ uxxx+ρ ρx=ut+3u ux+ρ ρx=

至此,已證得解(4),(5),(6) 滿足DGH系統(1)。現可將原偏微分方程轉化為求解常微分方程的初值問題,即

(7)

(8)

此外,因為a (t)是Emden方程的解,我們可根據參數ξ, a0和a1的取值不同,對a (t)的性質做如下分類:

(9)

(10)

即a(t)存在下界。

(1.2)當a1<0,存在以下兩種可能:

由瑕積分性質可知,等式右邊的瑕積分收斂,但是當t→+∞時左邊無界,出現矛盾,所以a (t)無界。

由不等式(10)可得a (t)≤-(ξ/2E)1/2<0,即a (t)存在上界。我們同樣可以分為a1>0和a1<0兩種情形,采用類似于情形(1)中的分析,可得相應結論。

(3.1)當E>0時,由能量守恒方程(9)可得

即

或

且

由假設ξ<0, E>0可知ainf<0。

(3.2)當E<0時,由能量守恒方程(9)可得

即-ξ a-2(t)/2≥-E>0,則00。

令b (t)=-a (t),可構造Emden方程

證法與情形 3) 類似。

證畢。

由能量守恒方程 (9),我們分別令ξ=1>0和ξ=-1<0,可以描繪出勢能ξ a-2(t)/2的變化趨勢。

圖1 當ξ=1時，勢能曲線圖Fig.1 Curve for potential energy with ξ=1

圖2 當ξ=1時，勢能曲線圖Fig.2 Curve for potential energy with ξ=-1

2 一般形式的自相似解

在這一節中,我們主要研究二分量DGH系統(1)中具有一般形式的自相似解。

引理2 對連續性方程ρt+(ρ u)x=0,存在如下形式的解

(11)

其中α,β為任意常數且α·β=1,f(η)≥0∈C1(R),d∈R,η=(x+d)/aα(β t)。

證 明 將式(11)代入式(1)中連續性方程，可得

由α·β=1,則ρt+u ρx+ρ ux=0。

引理得證。

定理2 設函數a(s)是Emden方程

(a) 如果ξ<0時,

(12)

(b) 當ξ>0, a0>0時,

(13)

(c)當ξ>0, a0<0時,

(14)

證 明 將式(11)代入式(1)中DGH方程的左端,可得

ut-utxx+3uux-σ(2uxuxx+uuxxx)+γuxxx+

ρρx=ut+3uux+ρρx=

當β=3時,上式中間兩項可以消去,可化為

那么我們可將原偏微分方程轉化為求解常微分方程的初值問題,即

(15)

(16)

對Emden方程

中ξ, a0, a1的不同取值進行討論,可得到解的存在性及爆破現象。分析方法與定理1類似。

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(編 輯 亢小玉)

Self-similar solutions with elliptic symmetry for the Dullin-Gottwald-Holm shallow water system

WANG Hao

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

In this paper, elliptic symmetry and separation method are employed to study the two-component Dullin-Gottwald-Holm shallow water system, from which the self-similar solutions are obtained admitting the elliptic symmetry with a drift structure and self-similar solutions with general form. By constructing the Emden equation, investigations are given to show the global existence and finite-time blowup phenomenon.

Dullin-Gottwald-Holm shallow water system; elliptic symmetry; separation method; self-similar solutions

2016-03-11

國家自然科學基金資助項目(11471260)

王昊，男，陜西咸陽人，從事數學物理和可積系統的研究。

O175.2

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-05-003