帶有黏性輻射流體系統(tǒng)解的正則性

孔春香

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

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·數(shù)理科學(xué)·

帶有黏性輻射流體系統(tǒng)解的正則性

孔春香

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

考慮了歐拉坐標(biāo)下一維黏性輻射流體系統(tǒng)的初始邊界值問(wèn)題，利用能量方法和一些基本不等式來(lái)估計(jì)解在H4空間中的整體存在性。在這里假設(shè)熱傳導(dǎo)系數(shù)的增長(zhǎng)指數(shù)是非負(fù)常數(shù),特別是熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)也是成立的。

黏性輻射氣體;整體解;先驗(yàn)估計(jì)

我們主要考慮通過(guò)自身耗散作用的一維可壓縮的黏性熱傳導(dǎo)氣體模型的初邊值問(wèn)題。在高溫條件下,還要考慮這種氣體模型受反作用的干擾和輻射作用的影響。根據(jù)動(dòng)量、能量和質(zhì)量守恒定律,在歐拉坐標(biāo)下,這種反作用干擾運(yùn)動(dòng)模型表示如下:

ρt+(ρu)x=0,

(1)

ρ(ut+uux)+Px=(νux)x,

(2)

(3)

ρ(zt+uzx)=(dρzx)x-ρφz。

(4)

在高溫條件下,壓力和內(nèi)部能量與密度和溫度滿足下面的關(guān)系:

(5)

這里正常數(shù)R,Cv,a代表完全氣體系數(shù),特殊熱量系數(shù),Stefan-Boltzmann常數(shù)。

初始條件:

(ρ,u,θ,z)(x,0)=(ρ0,u0,θ0,z0)(x)。

(6)

邊界條件:

(u,θx,zx)|x=0=(u,θx,zx)|x=1=0。

(7)

初始條件和邊界條件是相容的。

1 結(jié) 論

‖(ρtt,utt,θtt,ztt)(t)‖2+

‖(ρt,ut,θt,zt)(t)‖L2(0,T;H2(Ω))≤C。

2 局部解和先驗(yàn)估計(jì)

局部解的存在性文獻(xiàn)[6]已給出,本節(jié)的主要任務(wù)是通過(guò)能量方法建立解的先驗(yàn)估計(jì),從而完成解的整體存在性的證明。

則對(duì)任意固定的時(shí)間T>0,初始邊界值問(wèn)題(1)-(7)存在唯一的整體解

(ρ,u,θ,z)∈[0,1]×[0,T]滿足

‖(ρt,ut,θt,zt)(t)‖L2(0,T;H1(Ω))≤C,

C-1≤ρ(x,t),θ(x,t)≤

C,0≤z(x,t)≤1,

‖(u,ρ,θ,z)(t)‖W1,∞(0,T;[0,1])+

‖ρt‖L∞(0,T;[0,1])≤C。

引理2 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立

證 明 由方程(2)關(guān)于t求導(dǎo)得

νuxxt=ρutt+ρtut+ρtuux+ρutux+ρuuxt+Pxt。

(8)

式(8)兩邊乘以u(píng)tt,在[0,1]上積分,利用引理1, Sobolev不等式,Cauchy不等式得

取ε非常小，于是有

根據(jù)引理1和Gronwall′s不等式,完成了引理2的證明。

引理3 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立:

證 明 由方程(2)關(guān)于x求導(dǎo)得

νuxxx=ρxut+ρutx+ρxuux+

(9)

由引理1，2,Cauchy不等式，Poincare不等式得

(10)

由引理1，2，式(10)，從而有

又由方程(1)關(guān)于x,t分別求導(dǎo),由引理1，2得

引理4 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立:

(11)

證 明 方程(1)關(guān)于t求導(dǎo)數(shù),得

ρtt=-ρxtu-ρxut-ρtux-ρuxt。

由引理1，3, Cauchy不等式得

由方程(2)關(guān)于t求導(dǎo)得

νuxxt=ρutt+ρtut+ρtuux+ρutux+

ρuuxt+Pxt。

(12)

從而有

由引理1得

引理5 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立:

(13)

(14)

證 明 方程(3)可以改寫為

(Cvρ+4aθ3)θt+(Cvρ+4aθ3)uθx=

(15)

式(15)關(guān)于x，t求導(dǎo)乘以θtx，利用引理1～4,Young不等式

C(ε)[‖θt‖2‖ρxt‖2+

Cε[‖uxt‖2‖uxx‖2+

從而有

方程(4)可以重寫為

(16)

類似的由式(16)關(guān)于x,t求導(dǎo),其結(jié)果乘以ztx可以得到

利用引理1～10,在[0,t]上積分得

‖zxt‖2+‖ρxxt‖2+‖ρxx‖2]ds+

取ε充分小可得

引理6 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立

證 明 方程(2)關(guān)于t求二次導(dǎo)得

ρuttt+2ρtutt+ρttut+ρttuux+2ρtutux+

2ρtuuxt+ρuttux+2ρutuxt+ρuuxtt+

(17)

式(17)兩端乘以u(píng)tt,在[0,1]上積分,并分部積分,利用式(1),引理1～3,Cauchy不等式,嵌入定理得

因此,有

(18)

式(18)在[0,t]上積分得

利用Gronwall′s不等式，引理1～4，得到估計(jì)。

引理7 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立

證 明 由方程(1)(2)(3)得

(Cvρ+4aθ3)θt+(Cvρu+4aθ3u)θx+

(19)

式(19) 關(guān)于x求導(dǎo)得,利用引理1、Cauchy不等式、Poincare不等式得

上式在[0,t]上積分得,利用引理1～7可得

引理8 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立

證 明 由方程(1),(2)得

νρxt+Rρθρx=-ν(2ρxux+uρxx)-

(20)

式(20)關(guān)于x求二次導(dǎo)數(shù),乘以ρxxx在[0,1]×[0,t]上積分,利用上述引理1～7,Cauchy不等式得

(21)

其中由Sobolev不等式得

方程(1)關(guān)于x求二次導(dǎo)數(shù),由引理1～7和式(21), Cauchy不等式得

引理9 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立

(22)

證 明 式(9)關(guān)于x求導(dǎo)得

νuxxxx=ρxxut+2ρxutx+ρuxxt+

ρuuxxx+Rρxxxθ+3Rρxxθx+3Rρxθxx+

(23)

由式(23)、引理1～8、嵌入定理、Cauchy不等式得

由引理1～8得

由方程(3),(4)關(guān)于x求二次導(dǎo)數(shù),引理1得

‖θtxx‖≤C(‖θx‖H3+‖ux‖H2+

‖ρx‖H1+‖zx‖H1+‖θt‖H1+‖ρt‖H1)。

(24)

‖ztxx‖≤C(‖θx‖H1+‖ux‖H1+

‖ρx‖H2+‖zx‖H3+‖zt‖H1)。

(25)

或者

‖θxxxx‖≤C(‖θx‖H2+‖ux‖H2+

‖ρx‖H1+‖zx‖H1+‖θt‖H1+

‖ρt‖H1‖θtxx‖)。

(26)

‖zxxxx‖≤C(‖θx‖H1+‖ux‖H1+

‖ρx‖H2+‖zx‖H2+‖zt‖H1+‖ztxx‖)。

(27)

由式(26),(27) ,引理5得

引理10 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立

證 明 由方程(3),(4)關(guān)于t求導(dǎo)，引理1～7, 式(24)～(25)得

‖θtt‖≤C(‖ρt‖H1+‖θt‖H2+

‖ρtt‖+‖uxt‖+‖zt‖+‖ρx‖+

‖θx‖)≤C(‖θx‖H3+‖ux‖H2+

‖ρx‖H1+‖zx‖H1+‖ρt‖H1+

‖ρtt‖+‖uxt‖+‖zt‖)，

(28)

或者

‖θtxx‖≤C(‖ρt‖H1+‖θt‖H1+

‖ρtt‖+‖uxt‖+‖zt‖+‖ρx‖+

‖θx‖+‖θtt‖),

(29)

‖ztt‖≤C(‖ρt‖H1+‖θt‖+‖zt‖H2+

‖ut‖+‖zx‖)≤C(‖θx‖H1+‖ux‖H1+

‖ρx‖H2+‖zx‖H3+‖zt‖H1+

‖θt‖+‖ut‖)，

(30)

或者

‖ztxx‖≤C(‖ρt‖H1+‖θt‖+

‖zt‖H1+‖ut‖+‖zx‖+‖ztt‖)。

(31)

式(15)關(guān)于t求二次導(dǎo)數(shù),乘以θtt在[0,1]上積分,利用引理1～9、Cauchy不等式、式(28)～(30)得

Cε-1‖θx‖L∞(‖utt‖2+‖ρtt‖2+

‖ut‖2‖θt‖2)+C(‖θxtt‖2+‖θxt‖2+

‖uxt‖2+‖uxtt‖2+‖ztt‖2)≤

‖θtx‖2)+Cε-1‖θttx‖2。

在[0,t]上積分，引理1～9得

(32)

式(16)兩邊關(guān)于t求二次導(dǎo),結(jié)果乘以ztt在[0,1]上積分,分部積分,根據(jù)引理1～9,方程(1),得

從而有

(33)

由式(27)，(32)，(33),引理1～9, (13)，(14) 可得

引理11 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立

證 明 由式(24)，(25),(32)，(33),引理1～10得

‖θtxx‖≤C(‖ρt‖H1+‖θt‖H1+‖ρtt‖+

‖uxt‖+‖zt‖+‖ρx‖+‖θx‖+

‖θtt‖)≤C,

(34)

‖ztxx‖≤C(‖ρt‖H1+‖θt‖+

‖zt‖H1+‖ut‖+‖zx‖+‖ztt‖)≤C。

(35)

由式(34)-(35)-(25)-(26)得

式(20)關(guān)于x求導(dǎo),結(jié)果乘以ρxxxx在[0,1]×[0,t]上積分,利用引理1～10,Cauchy不等式得

其中由引理1～11,Sobolev不等式得

式(23)關(guān)于x求導(dǎo)數(shù),利用引理1～10,嵌入定理得

從而可得

引理12 在定理1的假設(shè)下,對(duì)?t>0,下面估計(jì)式成立:

證 明 由方程(2)關(guān)于t求導(dǎo)得

νuxxt=ρutt+ρtut+ρtuux+ρutux+ρuuxt+Pxt。

從而有

(36)

方程(1)關(guān)于x,t求導(dǎo),利用式(36),引理1～11, Cauchy不等式得

聯(lián)立以上引理,我們完成了整體解存在性的證明。

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(編 輯 亢小玉)

Regulary of solutions for radiative and reactive viscous gas dynamics

KONG Chunxiang

(College of Mathematics and Computer Science, Yan′an University, Yan′an 716000， China)

It was concerned with the initial-boundary problem of 1-D radiative and reactive viscous gas dynamics under Euler coordinate. The global existence of the solution in spaceH4is estimated by using the energy method and some basic inequalities. Assuming that the growth exponent of heat conductivity is allowed to be any nonnegative constant, in particular, constant heat conductivity is allowed.

radiative and reactive viscous gas; global solution; priori estimates

2016-04-16

陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(2014JM2-1003)；延安大學(xué)校級(jí)科研計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(YDK2015-46)

孔春香，女，河南蘭考人，從事偏微分方程研究。

O175.2

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-05-006