斜率匹配波形延拓法抑制EMD端點效應

李志彬,劉宏立,馬子驥,李艷福,肖小兵

(湖南大學 電氣與信息工程學院, 湖南 長沙 410082)

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·信息科學·

斜率匹配波形延拓法抑制EMD端點效應

李志彬,劉宏立,馬子驥,李艷福,肖小兵

(湖南大學 電氣與信息工程學院, 湖南 長沙 410082)

提出一種抑制EMD端點效應的新方法——斜率匹配波形延拓法。該方法充分考慮了信號邊緣處的變化趨勢以及信號的內部特征,以信號端點處曲線的斜率作為參考,從信號內部尋找斜率最接近的子波進行匹配,根據匹配子波及其前后波形對信號端點進行波形延拓。仿真和實測信號的分析結果表明,該方法能夠有效地抑制端點效應。關 鍵 詞：經驗模態分解;端點效應;斜率匹配;波形延拓

1998年,由Huang等人[1]提出的Hilbert-Huang變換(HHT)是一種信號時頻分析新方法。該方法通過經驗模態分解(Empirical mode decomposition,EMD)，將信號分解為多個本征模態函數(Intrinsic mode function,IMF),對這些IMF分量進行Hilbert變換就可以得到Hilbert譜。EMD分解是基于信號本身的自適應分解,得到的IMF分量包含了信號真實的物理信息,其Hilbert譜反映出了信號的瞬時特征。HHT具有良好的時頻分辨率,在故障診斷和信號分析等領域有著廣泛的應用[2-3]。

EMD分解過程中,一個重要的過程就是構造信號的上下包絡線,求出信號的瞬時平均值。通過提取信號的極大值和極小值點,分別進行三次樣條插值擬合來求得信號的包絡線是目前主要的處理方法。由于無法確定信號的端點是否為極值點,在進行三次樣條插值擬合的過程中會出現邊界擺動較大的情況,并且隨著EMD的分解過程逐漸擴散到信號內部,最終破壞整個數據,造成分解結果嚴重失真。這就是EMD存在的端點效應問題。

目前,已有多種端點延拓方法被提出,根據改進原理,可分為極值延拓、數據預測延拓和波形延拓。極值延拓是根據信號端點附近極值點的大小和位置,在數據兩端向外各延拓一定數量的極值點,此類方法有多項式擬合延拓法[4]、邊界局部特征尺度延拓法[5]、極值延拓法[6]、極值斜率延拓法[7]、最小二乘-鏡像延拓法[8]和極值平移法[9]等。極值延拓的算法相對簡單,對抑制端點效應有一定效果。但是，僅以端點附近的極值作為延拓依據,并不能真實地反映數據本身的變化趨勢。數據預測延拓的基本思路是利用信號本身的特征,采用數據序列預測的方法來向外延拓數據。此類方法有神經網絡法[10]、鏡像與支持向量機回歸延拓法[11]等。數據預測延拓得到的結果比較準確,但算法相對復雜,計算效率低。波形延拓,是以信號內部的波形特征為依據,尋找合適的特征波在信號兩端加以延拓。此類方法有邊界局部特征尺度延拓法、極值延拓法和最小二乘-鏡像延拓法等[4-9]。波形延拓得到的數據和原始數據有較好的一致性,但不同延拓方法對數據的選擇標準也有很大的不同,效果也不一樣。

本文分析了EMD方法和端點效應,對比總結了現有的抑制端點效應的方法,針對端點問題,從信號邊緣的曲線走勢和信號內部的波形特性入手,提出了基于斜率匹配的波形延拓法。通過仿真和實測信號的分析,與其他延拓方法進行了對比,驗證了本文方法能有效抑制端點效應。

1 EMD和端點效應

1.1 EMD方法簡介

經驗模態分解(EMD)是把一個信號分解為若干個本征模態函數(IMF)分量之和,但每個IMF分量都必須滿足兩個條件,即信號的極值點與零點的個數相等或只差一個,并且根據信號的極大值和極小值得到的上下包絡線,其均值為零。EMD分解就是將滿足這兩個條件的信號分量篩選出來。設原信號為x(t),具體步驟如下:

1)求出信號x(t)的所有極大值和極小值。

2)用三次樣條插值函數分別擬合x(t)的極大值點和極小值點,求出x(t)的上下包絡線。

3)求出上下包絡線的均值m11(t)，作為x(t)的局部均值,令h11(t)=x(t)-m11(t)，把h11(t)當作原信號x(t),循環前面3步k次,得到h1,k。當h1,k滿足IMF條件時,則其為x(t)的第一個IMF分量,記為c1=h1,k。

4)從原信號中減去3)中求得的IMF分量,把所得的余量信號當作原信號,循環前面4個步驟,求出其他IMF分量,即r1(t)=x(t)-c1,x(t)=r1(t)。

5)當rn(t)成為單調函數或小于某一預設值時,則原信號的EMD分解完成，分解表達式為

(1)

其中，x(t)為原信號,ci(t)為本征模態函數,rn(t)為殘余分量。

至此,原信號被分解為若干本征模態函數和一個殘余分量之和，如式(1)所示。EMD分解是一種自適應的分解方式,由數據本身出發,將原信號分解為各種不同特征波形的疊加,每個IMF分量即代表一組具有特征尺度的數據序列。

1.2 端點效應

在EMD分解過程中,需要對信號的極大值點和極小值點分別進行三次樣條插值擬合來構造上下包絡線。而信號端點并不一定是極值點,所以在進行三次樣條插值擬合時容易在端點處出現較大擺動,并會伴隨著分解過程逐步向信號內部擴散,最后造成分解得到的信號分量嚴重失真。

引用文獻[14]中的仿真信號如式(2)所示，圖1中實線為該信號原始波形,兩條虛線分別為該信號的上下包絡線。從圖1中可以看出,由于EMD的端點效應,在擬合過程中信號的包絡線在數據兩端出現了嚴重的發散,上下包絡線不能包含全部數據,由此求得的信號瞬時平均值出現誤差,導致分解結果嚴重失真。由此可見,在進行EMD分解之前對信號進行端點處理是很有必要的。

圖1 信號及其上下包絡Fig.1 Signal and its up and down envelope

(2)

2 斜率匹配波形延拓法

對端點處的數據進行延拓,關鍵就是要確定原始數據在端點處的變化趨勢,因此端點附近的數據是非常重要的參考。對于一個單調的曲線,其兩端連線的斜率可以大致反映該曲線的走勢,取信號端點和第一個極值點這兩點間連線的斜率,可作為信號端點處變化的參考趨勢。在原始信號的內部,以同類極值點為基準,取同方向且等長的一段單調曲線進行對比,找到與端點處的參考斜率最為接近的子波作為匹配到的波形,取該段子波前(后)端的一段數據對信號端點進行延拓,達到抑制端點效應的目的。基于此提出斜率匹配波形延拓法。

圖2是基于斜率匹配波形延拓法的過程，以信號左邊第一個極值點是極大值為例,S1，M1和N1分別為信號的左端點、第一個極大值點和第一個極小值點。如圖2(a)所示，當S1-M1這段曲線足夠長，即其包含的數據個數大于某個閾值tl時，則將其作為參考曲線；如圖2(b)所示，當S1-M1這段曲線包含的數據個數小于閾值tl時，則其取M1-N1這段曲線的一半,即M1-Z1作為參考曲線。取M1-Z1是考慮到它既包含了原信號的趨勢,又能增加匹配到斜率最接近子波的概率。利用參考曲線的斜率,從信號內部尋找匹配波形并取其前一段包含兩個極大值和兩個極小值的波形,將其延拓到S1左端。考慮到三次樣條插值過程中需要用到前后各兩個臨近點[4],延拓兩對極值點效果較好。下面以左端延拓為例,詳細步驟如下:

1)求極值。設原始信號為x(t),求出所有極大值和極小值,設Emax為極大值合集,Emin為極小值合集,不妨設第一個極值點為極大值點M1。

2)提取參考曲線。計算S1-M1包含的數據個數length(S1-M1)，tl表示閾值，若length(S1-M1)>tl,則取S1-M1作為參考曲線;若length(S1-M1)≤tl,則取M1-Z1作為參考曲線，計算參考曲線的斜率,記為k1。

3)求匹配子波斜率。依次從Emax中取出極大值點Mi,從Mi開始截取一段與參考曲線同方向且等長的子波,即Si-Mi或Mi-Zi。待匹配子波必須是單調曲線,否則直接判斷該段子波不匹配。計算出此段子波的斜率,記為ki。求出所有匹配子波的斜率,記為集合{ki},i=2,3,…。

4)波形延拓。令kx=min(abs(k1-ki)),則第x段子波的斜率匹配成功。取Mx-2-Sx(不含Sx),將其延拓到S1左端。如果Sx左端只有一個極大值點和一個極小值點,則將這對極值點延拓兩次,左端延拓完畢，否則轉(5)。

5)沒找到斜率匹配的子波,則參考信號邊緣的極值點直接進行延拓。取信號左端兩個極大值的平均值作為左端點的極大值,即M-1=M0=(M1+M2)/2;由于第一個極值點是極大值點,左端點可能比極小值還小,為了保證信號的包絡線能完全覆蓋信號,取信號左端兩個極小值的平均值和信號左端點二者中較小的一個作為左端延拓的極小值,即N-1=N0=min(X(1),(N1+N2)/2)，左端延拓完畢。第一個極值點是極小值點的情況類似。

右端延拓方法和左端類似。在實驗中,閾值tl取3的效果較好,在工程應用中可根據實際情況進行調整,tl取越大,越趨向于取到第二段曲線來進行斜率匹配。

圖2 基于斜率匹配的波形延拓法Fig.2 The border slope matching process

3 仿真信號分析

為了方便分析比較,引用文獻[17]中的調頻調幅非線性仿真信號,其表達式為

x(t)= sin(2π120t)+

(1+0.2sin(2π7.5t))×

cos(2π30t+0.5sin(2π15t))。

(3)

式中采樣頻率為1 000Hz,采樣點數為250點,原信號及其組成分量的波形如圖3所示。

圖4是式(3)中的信號沒有進行端點處理直接進行EMD分解的對比圖,上圖和中圖的實線是分解得到的IMF分量,虛線是原信號分量。下圖是兩個IMF分量和對應原信號分量的絕對誤差。可以看出,沒有進行端點處理得到的IMF分量,在數據兩端出現了大幅度擺動,相比原信號分量已經有較大誤差。

圖4 無延拓的EMD分解結果和誤差Fig.4 No extension of EMD decomposition results and error

圖5是用斜率匹配波形延拓法處理之后的EMD分解結果與原信號進行對比。相比之前沒有延拓直接分解的情況,延拓后的分解結果,其IMF分量在端點附近的擺動大幅度減小,與原信號分量相比也基本吻合,誤差很小,說明本文方法對端點效應有很好的抑制作用。

圖5 斜率匹配法EMD分解結果和誤差Fig.5 The EMD decomposition of slope matching and error

為了評價抑制效果的好壞,參考文獻[18-19]，采用以下兩個指標來評價端點效應的處理效果:

1)EMD分解所得的各個IMF分量和對應原信號分量之間的相似系數ρ,通過與原信號分量比較相似度來評價抑制效果，

ρi(xi(t),IMFi(t))=

(4)

式中，cov()表示協方差;σ()表示方差;IMFi表示信號EMD分解的第i個分量;xi為相應的原始信號分量。ρ的值越接近于1,則說明端點效應的抑制效果越好。

2)EMD分解所得的各個IMF分量和對應原信號分量之間的平均誤差為

error_IMFi=

(5)

式中，N表示信號的總個數;xi(k)表示原信號的第i個分量;IMFi(k)表示EMD分解后得到的對應分量。error_IMFi越接近于0,則說明端點效應的抑制效果越好。

采用前文提到的其他延拓方法分別對式(3)進行端點延拓和EMD分解,計算出各自的評價指標進行對比分析,對比結果如表1所示。

表1 端點效應抑制效果評價表

由表1中的參數可以看出,波形匹配延拓法對端點效應的抑制效果最好,其次是斜率匹配波形延拓法和極值延拓法,這3種方法得到的相似系數相對較大,分解誤差較小,能夠有效地抑制端點效應。最小二乘-鏡像延拓法、鏡像延拓法和邊界局部特征尺度延拓法對本例的處理效果并不是很理想,相似系數不高,分解誤差相對較大,如果要在實際工程中應用還需要加以改進。

4 實際信號分析

對于現實中的非平穩隨機信號,使用本方法進行延拓也能有效地抑制端點效應。圖6(a)是一段電力線載波信號,數據來源于湖南大學13舍實驗樓七樓配電箱A相的一段測量記錄,使用的示波器型號為Tektronix-DPO3034,采樣頻率為250kHz。電力線載波信號[20]中存在各種電力噪聲,是一種非平穩的隨機信號,對該信號使用本文方法進行端點延拓和EMD分解,得到的結果如圖6(b)所示,而圖6(c)則是無端點延拓直接進行EMD分解的結果。

對比圖6(b)和圖6(c)可以看出,沒有進行端點處理的EMD分解得到了一些沒有意義的分量,信號的發散現象嚴重,部分IMF分量的幅值還超過了原信號數倍。而采用了基于斜率匹配波形延拓法的EMD分解結果則很好地抑制了端點效應,成功將信號分解成從高頻到低頻的多個IMF分量。

為了進一步驗證本文方法的準確性,采用前文提到的其他延拓方法對該信號進行端點延拓和EMD分解。由于端點效應對高頻IMF分量的影響不明顯,為了便于比較,只取分解結果的最后4個IMF分量進行對比,結果如圖7所示。

圖6 電力線載波信號EMD分解Fig.6 Power line carrier signal EMD decomposition

從6種延拓方法的分解結果對比可以看出,斜率匹配波形延拓法、鏡像延拓法、最小二乘-鏡像延拓法和自適應波形匹配延拓法都得到了比較理想的分解波形,較好地抑制了端點效應的產生;而極值延拓法等其他幾種方法的分解效果并不理想,比較明顯的是出現了部分IMF分量的幅值超過原信號數倍的情況,可見端點問題已經影響到了信號內部,分解結果已經失真。表2列出了幾種延拓方法EMD分解所用時間，從表2可以看出,本文方法所用的時間最少,算法效率相對較高。

綜合分析3類延拓法,極值延拓法只關注信號邊緣附近的極值點,沒有考慮信號內部的特性,實際應用中計算精度較低,適應性較差;諸如神經網絡延拓的數據預測法的算法復雜,計算效率較低,實際工程應用很少,因此本文沒做比較;波形延拓法在考慮了原始信號的特征趨勢后對數據加以延拓,對于抑制端點效應的效果較好。通過仿真和實測信號分析,斜率匹配波形延拓法在保證EMD分解結果正確的同時,能節省更多時間和資源,計算精度和效率較高,適應性強,優于其他方法。

圖7 不同方法的電力線載波信號EMD部分分解結果Fig.7 Part of the power line carrier signal EMD decomposition with different methods

5 結 論

本文提出了一種基于斜率匹配波形延拓法的抑制EMD端點效應的方法。通過計算信號端點處曲線的斜率作為信號端點的趨勢,從信號內部找到斜率最為接近的子波作為匹配波形,通過該子波對信號端點進行波形延拓,有效抑制了三次樣條插值擬合時出現的發散問題。同時,本方法充分考慮了數據邊緣處的發展趨勢及其與數據內部存在的聯系,從而最大限度地保證延拓后的數據與原數據具有最接近的趨勢。不論是仿真信號還是實際信號,通過斜率匹配延拓后的波形都能得到較好的EMD分解結果,計算效率和效果也優于其他延拓方法,符合工程應用的要求。

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(編 輯 李 靜)

Slope matching waveform extension method suppressing the EMD end effect

LI Zhibin, LIU Hongli, MA Ziji, LI Yanfu, XIAO Xiaobing

(College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082， China)

A new method is proposed to inhibit the end effect——slope matching wave extension method. The method takes the endpoint slope of signal as reference and finds the closest matching wavelet from the signal, then it extends the wave of signal endpoint according to the matching wavelet. Analysis of the simulation signal and measured signal showed that the method can effectively inhibit the end effect.

EMD; end effect; slope matching; wave extension

2016-03-11

中央國有資本經營預算項目(財企[2013]470號)；中央高校基本科研基金資助項目(2014-004)；國家自然科學基金資助項目(61172089)

李志彬，男，福建漳州人，從事數字信號處理研究。

TN911.7

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-05-010