淺談高中立體幾何入門之兩招半

雍明亮

（廣東省廣州市從化區第二中學）

淺談高中立體幾何入門之兩招半

雍明亮

（廣東省廣州市從化區第二中學）

在空間立體幾何入門教學中，教師經常是投入多、收效少，學生上課似乎聽得似是而非，課后遇到題目就一籌莫展的嚴重現象，這極大地影響了教師和學生學習的積極性。沒有建立立體感和空間觀念、基礎知識不牢固，最終導致很多學生頭腦中沒有形成良好的立體幾何認知結構，對立體幾何入門教學給出了建議。

立體幾何；圖形；轉化

高中必修2的立體幾何部分，肩負著培養學生空間想象能力和邏輯思維重要內容。實際教學中，還是明顯感覺到大多數學生對《立體幾何》這部分內容存在畏懼心理，普遍感到困難！以至于部分學到了高三還是令許多學生望而生畏！難在何處？究其原因，無外乎如下兩點：初、高中思維模式差；平面與空間的思維跨度。

其實，我們就是生活在三維空間中，學生的空間想象并不差，與其說是空間想象能力和邏輯思維能力較差，倒不如說是觀察能力和發散思維能力的欠缺。在課堂上，為什么會有許多學生談虎色變，摸不著頭腦呢？其實，就是沒有入門，沒有掌握思維方法。針對“立體幾何入門難”這一高中數學存在的普通問題，本文給出了解決方法。

第一招：圖形——進入立體空間的敲門磚

空間立體幾何與平面幾何研究的基本對象相比多了兩個“面”，而這多出的兩個“面”，使研究的基本對象“立了起來”。在學習中，學生往往對空間概念模糊，在頭腦意識中難以形成準確、直觀的幾何模型，以至于在解題時不會畫圖或畫出圖來也不易辨認，甚至作出錯誤的圖形，阻礙了思維形成。學生感覺立體幾何入門難的一個重要原因是認識對象從平面到空間的轉變，不能很快適應。

因此，圖形的學習和理解可以說是學習立體幾何的難關。教師要從空間立體幾何入門教學方面入手：

1.重視看圖能力

在“空間幾何體”的教學中，讓學生自己動手做一些實物模型，如直線、平面、正方體、長方體、三棱錐等。通過對模型中的點、直、面之間位置關系的觀察，逐步培養自己對空間圖形的識別能力和想象能力，想象這些點、直、面在紙上的關系；同時，要掌握畫直觀圖的規則，掌握實踐、虛線的使用方法，為正確畫圖打好基礎。另一方面，對于一個幾何體，要從三視圖——主視、側視、俯視各角度去觀察，體會不同的感覺，以開闊空間視野，培養空間感。

例如，正三棱錐的三視圖中的主視、側視是難點，如果只是教師在黑板或多媒體演示，學生很難理解為什么主視圖三角形的腰長不是棱長，側視圖不是等腰三角形。通過學生自己動手做的正三棱錐模型，自己通過實物觀察和教師的引導不難解決。

2.加強畫圖能力

在“空間幾何體”的教學中，培養學生的畫圖能力，可從簡單的圖形（如直線和平面的各種位置關系）、簡單的幾何體（如正方體）畫起。由參照模型畫圖，逐步過渡到沒有模型也能準確地畫出空間圖形的直觀圖，且要畫出具有較強的立體感，并能由直觀圖想象出空間圖形。

例如，空間基本圖形的直觀圖的表示與識別，雖然是簡單，如果把握不好圖形的要點，就會造成對識別復合圖形錯誤的判斷。畫水平放置的正方形，部分學生畫成如圖的錯誤結果：

3.增強認圖能力

所謂識圖，就是指觀察、分析和認識幾何圖形，既要由復雜的幾何圖形體看出基本圖形，如點、線、面的位置關系，又要從點、線、面的位置關系聯想到具體的幾何圖形模型。既要從所給圖形中看到所畫出的部分，又要想到未畫出的部分。始終要記住在立體幾何中識圖的基本原則是“虛線看不見，實線看得見；平行能保持，垂直不保持”。

在教學過程中，教師以身作則，規范作圖，在畫立體圖，或對照平面圖，畫出翻折圖，以縮小對空間圖形的陌生感和距離感，從而悟出空間圖形與平面圖形的差異與聯系，從而正確、合理地作出圖形。

看圖、畫圖、認圖是培養學生觀察、動手、動腦的能力，只有觀察透了，能準確作圖，并能在頭腦中形成清晰的空間圖形，從“有模型”到“無模型”進而能正確分析、思考、想象各元素之間的關系，進而演繹和計算各種空間度量。對于入門的學生而言，提高觀察能力、作圖能力和想象能力是學好立體幾何的有效途徑。

在“空間幾何體”的教學中，經過對實物、幾何模型和空間圖形的觀察訓練，學生已經具備了初步的空間想象能力，但在“空間點、直線、平面的位置關系”的教學中，觀察的視角由幾何體轉向抽象的直線與平面等幾何元素的位置關系，由于幾何圖形更加復雜和抽象，空間想象能力要求更高。因此，應注意培養學生使用幾何模型的意識和應用方法。例如，利用長方體模型，探究定理，注重引導學生經歷直觀感知、操作確認、思辨論證的過程，從而提高學生幾何的直觀能力和幾何的論證能力。

第二招：轉化——打開空間思維的鑰匙

1.加強三種語言的表述和轉化訓練

數學文字語言、符號語言、圖形語言在立體幾何部分結合是非常緊密的，它們在描述同一概念時形式各異，其本質屬性是相同的，它們之間可相互轉化，相輔相成。比如，立體幾何的定理大都是用文字語言表述的，而證明它們時，則需先將文字語言翻譯成圖形語言，為數學思維提供幾何直觀，進而翻譯成符號語言來推理、論證。立體幾何問題是文字和圖形，推理論證過程是符號語言。立體幾何推理證明的過程實際上是幾何的文字語言、圖形語言和符號語言的轉化過程。因此，三種語言的熟練轉化是能否學好該部分內容的基礎。

應當說立體幾何部分是訓練和培養學生三種數學語言互譯能力的極好素材和時機。如果教師在進行立體概念、定理教學過程中，忽略了三種語言相互轉化、翻譯能力的訓練，就容易造成不善于將這些文字語言與符號語言、圖形語言相聯系，只能死記硬背，從而也不可能達到真正理解，更妄談應用能力的定理解題。

例如，我們可以用圖形刻畫幾何元素的關系，輔助理解概念、定理和性質，可以避免死記硬背文字和符號的機械式學習。通過圖形中的元素關系，讓學生對照圖形敘述相關定理或性質以及定理的使用條件。

例如，用圖形表示垂直關系：

在解題中，若不能語言轉化互譯，合理畫圖，也就不能跨越解題的第一步。

如（課本習題）：三個平面兩兩相交，有三條交線，求證這三條交線交于一點或互相平行。

面對這道用文字語言表述的習題，學生往往感到難以下手，究其原因在于——畫不出圖形，不能理解題意；缺乏語言轉化互譯能力。若學生能用文字語言表述的題意翻譯成圖形語言，即：

圖1

圖2

進而用符號語言表述為：

已知：α∩β=a，β∩γ=b，α∩γ=c，

求證：a、b、c相交于一點A或a、b、c相互平行，證明就不是難事了。

若學生缺乏語言互譯能力，面對類似的題，就會無從下手。因此，在立體幾何入門的概念、定理教學中，把握時機，提高學生的文字語言、符號語言、圖形語言三種語言轉化翻譯的能力。在概念學習中反復訓練，形成語言互譯意識，那么在以后的解題過程中也就能自然而然地運用，從根本減少了學生解題過程中語言表述混亂的失誤。

當然，三種語言相互轉化翻譯的能力，不只是在概念教學中需加強，而應滲透到立體幾何教學的每個角落。它對學生的邏輯推理能力和語言組織能力將起著重要的作用。同時也將極大地改善“上課聽得懂，課下題目不會做”“同學們怕做題”“老師們怕批改”的局面。

2.空間問題向平面問題轉化

立體幾何無論是內容還是方法，都是平面幾何的延伸和拓展。把立體幾何問題轉化為平面幾何問題，是研究立體幾何問題最重要的數學思想方法之一。如，面面平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行；而線線平行常常由平面圖形的中位線或平行四邊形或平行公理得到。另外，線線、線面、面面平行與垂直的位置關系既互相依存，又在一定條件下不僅能縱向轉化：線線平行（或垂直）、線面平行（或垂直）；面面平行（或垂直），而且還可以橫向轉化：線線、線面、面面的平行；線線、線面、面面的垂直。這些轉化關系在平行或垂直的判定和性質定理中得到充分體現。平行或垂直關系的證明許多都是上述相互轉化關系去證明。

所有上述這些都充分展現了轉化的思想方法在立體幾何中的“用武之地”。教學中應充分認識與恰當運用，通過強化思維的目標意識，增強思維的敏捷性和靈活性，提高學習效率。

半招：規范——嚴謹思維習慣的保證

數學都要有規范嚴謹，只不過此處尤為突出，這只能算是半招了。

教師作為教學引領者，必須為學生做好示范。這對剛接觸立體幾何的學生來說更為重要。從畫圖到論證過程的規范書寫，都應為學生做好示范。在黑板上的示范切忌畫圖潦草，書寫隨意。對學生的作業從一開始就養成良好的習慣。

另外，培養學生的論證能力，是幾何教學中的中心任務，是一個漫長的過程。在推理過程中，“言之有理，落筆有據”，“理、據”是指課本中給出的公理、定義、定理；不能想當然自造定理，也不能隨意將習題的結論作為根據，更不能把平面幾何結論在立體幾何中不加證明地隨意使用。在教學開始使用時，規范格式，抓住典型錯誤，反復強化，讓學生養成習慣，培養學生的邏輯思維能力。

作為教學引領者的教師，要弄清培養學生各個階段的要求，以由淺入深，從易到難，循序漸進。邏輯思維的形成、空間想象力的培養，任何學生都需要一個較長的過程，在教學中，我們要做好入門教學，實時關注引導學生，學生定會在立體幾何學習中有很大的提高。

［1］楊冠夏.從立體幾何入門教學看數學語言［J］.中學數學月刊，2007（2）.

［2］杜紅全.立體幾何入門教學之我見［J］.數學教育，2010（3）.

·編輯魯翠紅