全局迭代的實時子結構試驗方法及其驗證

郭進，趙維剛，杜彥良，陳偉，徐瑞祥

(1.石家莊鐵道大學 土木工程學院，河北 石家莊 050043；2. 石家莊鐵道大學 河北省大型結構健康診斷與控制重點實驗室，河北 石家莊 050043；3.河北省減隔震技術與裝置工程技術研究中心，河北 衡水 053000)

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全局迭代的實時子結構試驗方法及其驗證

郭進1，趙維剛2，杜彥良2，陳偉1，徐瑞祥3

(1.石家莊鐵道大學 土木工程學院，河北 石家莊 050043；2. 石家莊鐵道大學 河北省大型結構健康診斷與控制重點實驗室，河北 石家莊 050043；3.河北省減隔震技術與裝置工程技術研究中心，河北 衡水 053000)

針對傳統實時子結構試驗方法存在數值積分穩定性和伺服加載時滯等問題，提出了全局迭代的實時子結構試驗方法。該方法的數值計算和試驗加載分別在動力荷載地震作用時間段內獨立進行，它們之間傳遞整個時間段的位移計算結果或試驗恢復力，迭代進行；中間子時間步不存在數據交互，這就避免了對數值積分方法顯式格式和穩定性及精度的苛刻要求，伺服加載的時滯效應也不存在。以高速鐵路32 m常用跨徑簡支梁橋的簡化模型為例，對所提試驗方法進行了驗證。結果表明隨著迭代的進行，試驗趨于收斂。經過5次迭代之后，不同工況的收斂指標值均小于2%，滿足工程精度要求。進一步分析了數值模型初始誤差對迭代次數的影響，結果表明，初始誤差越小，迭代收斂的速度越快，達到誤差限值所需的迭代次數越少。最后指出了本文方法的適用范圍。本文所提全局迭代的實時子結構試驗方法是可行和有效的，將為工程結構的試驗提供新的有效途徑。

全局迭代；實時子結構；試驗；穩定性；時滯；收斂

對于大型復雜結構、超出抗震設計規范規定的結構和使用新型材料的結構，需要通過結構試驗才能準確把握其抗震性能。傳統的結構抗震試驗可以分為擬靜力、擬動力和振動臺試驗。擬動力試驗通過計算機數值模擬和物理加載試驗的有效結合，可以慢速再現大比例模型(或足尺)結構在地震作用下的彈性—彈塑性—倒塌全過程反應，克服了擬靜力和振動臺試驗方法的不足，具有良好發展前途和廣泛應用前景[1]。由于結構控制技術的發展, 出現了與時間過程相關 (如反饋控制的主動、半主動控制裝置或TMD、TLD等)的控制裝置，慢速的擬動力子結構實驗測試無法反映這些時間相關的控制裝置的性能或減振效果。基于這一難題，Nakashima等[2]于1992年在擬動力試驗的基礎上提出了實時子結構實驗方法，該試驗方法將結構分為數值子結構和試驗子結構，將與速度、加速度相關且呈現復雜非線性的結構部分作為試驗子結構，由真實試驗模擬；結構其余部分作為數值子結構，由計算機模擬，通過作動器或振動臺等加載裝置的實時加載來使得兩者在交接處變形協調、受力平衡。隨著結構控制技術日益廣泛地應用于工程實踐，實時子結構實驗吸引了越來越多學者的關注。

1 實時子結構試驗方法的研究現狀

由于試件性能的速度相關性和試驗加載的實時性，實時子結構試驗在積分算法、加載控制方面比常規擬動力試驗更復雜，同時也產生系統時滯等問題。

在常規擬動力或常規子結構試驗中，顯式積分方法只需下一時間步位移的顯式表達；而實時子結構試驗的顯式積分方法還要求下一時間步速度的顯式表達，因此導致常規擬動力試驗中的顯式算法在實時子結構試驗方法中轉變為隱式算法。2005年Wu等[3]基于常規擬動力試驗的中心差分法，用位移的向前差分確定下一步速度，形成了實時子結構中心差分法，但這種方法比標準中心差分法的穩定性低，并且穩定性隨試件阻尼的增加而降低。事實上，在將實時子結構試驗的積分方法由隱式格式轉化為顯式格式方面，諸多學者進行了大量研究[4-9]，但均存在一個問題：發展而來的實時子結構積分方法的穩定性較原方法低，且多為條件穩定，這難以滿足自由度數目多、高階自振頻率高的大型復雜結構對于數值算法穩定性的要求。因此，尋求效率高、穩定性好的數值積分方法是目前實時子結構試驗技術的研究方向之一。

時滯效應的補償是實時子結構試驗需要解決的另一個重要問題。時滯是指發送給液壓伺服作動器信號和作動器到達指定位移之間的時間滯后。由于擬動力實驗并不要求實時加載，時滯對實驗的影響并不明顯；但是實時子結構實驗對加載的實時性要求很高，這使得時滯對實驗結果的影響較大。Horiuchi等[10]認為時滯的影響可以看作結構的附加負阻尼，當負阻尼大于結構本身阻尼時，實驗將失去穩定，即實驗結果發散。Wallace等[11]確定了臨界時滯的計算方法。Darby等[12]提出了一種能準確估計線性系統試件時滯的方法。吳斌等[13-14]分析了采用OS算法和中心差分法的時滯及立方外插補償對實驗穩定性的影響。實時子結構實驗的時滯影響及其補償方法仍有待進一步研究[15]。

可以看出，目前數值積分算法和加載系統的時滯問題是實時子結構試驗技術所遇到的難題，直接針對這些難題研究其解決辦法是其中的一條途徑，也是目前大量學者正在進行的工作。但是發展實時子結構試驗的另外途徑，使其能夠避開前述難題也是極其有意義的，本文擬在這方面進行一些探索。

2 全局迭代(global iteration)的實時子結構試驗方法的原理

為避開實時子結構試驗理論方法和試驗技術的瓶頸，本文提出全局迭代的實時子結構試驗方法。不同于傳統實時子結構試驗中計算機數值計算部分在每一時間步均從子結構的伺服加載試驗中獲取反應，全局迭代實時子結構試驗方法的數值計算和伺服加載系統分別在整個地震作用時間段內獨立地進行計算或加載，它們之間傳遞整個地震作用時間內的子結構位移反應或恢復力時程，并以試驗子結構的位移或力反應進行迭代收斂的判斷。這種方法將實時子結構試驗方法中的數值計算和伺服加載試驗分為兩個相對獨立的部分，中間時間步不存在數據交互，避免了數值計算的穩定性和伺服加載時滯問題，其缺點是對子結構需進行多次伺服加載試驗。

與傳統實時子結構試驗方法相同，全局迭代的實時子結構試驗方法仍然選擇地震作用下的薄弱部位、恢復力具有復雜非線性特征的部位或構件作為試驗子結構，通過動力加載試驗直接獲取其恢復力；恢復力處于彈性或容易確定的構件作為計算子結構，通過數值計算進行模擬。

為使數值計算部分所采用的試驗子結構的位移響應時程與其試驗的恢復力相匹配，需進行迭代。以阻尼器為例，全局迭代的實時子結構試驗方法的求解流程圖如圖1。

上述方法的迭代過程以整個地震持續時間為單位進行，這是“全局迭代”的由來。

圖1所示迭代過程通過比較兩次迭代的位移時程uj(t)、uj+1(t)的差別。由于物理加載試驗系統的位移控制和傳感器的精度限制，在位移時程的較小值的區段，其相對誤差較大，不能真實反映實際差別。因此采用各個時間點的相對誤差作為收斂判斷準則是不合適的。本文選擇整個作用時間段[0,T]內的相對面積誤差ε作為收斂判斷準則：

ε=

(1)

從下文的驗證算例可以看出，收斂控制限值取2%時，位移時程可以判斷為收斂，能夠滿足工程精度要求，因此本文取ε0=2%。

全局迭代的實時子結構試驗的求解流程如下：

1)計算機進行初始數值計算。

①假定物理試驗子結構的恢復力數值模型及參數；

圖1 全局迭代的實時子結構試驗方法的求解流程圖Fig.1 Flow chart of global iteration real-time sub-structure test

2)伺服加載系統進行第j次整個地震作用時間內的連續加載。

3)計算機數值計算部分進行第j+1次整個地震作用時間內的連續計算。

4)全局迭代擬動力試驗系統進行收斂性判斷。

①根據第j次和第j+1次數值計算得到的試驗子結構的相對變形uj(t)和uj+1(t)判斷收斂性，收斂性判斷采用式(1)所示準則，若收斂，轉至步驟5；若不收斂，轉至下一步；

②若j≥N,迭代次數超過上限值N,轉至步驟6，否則轉至下一步；

③用j+1代替j，進行下一次迭代求解，重復步驟2、3和4；

5)全局迭代的實時子結構試驗求解收斂，獲取相應的結構反應，試驗結束。

6)求解不收斂，結束。

迭代次數超過上限值N，求解不收斂，結束。

3 驗證

為驗證上述試驗方法，以高速鐵路32 m常用跨徑簡支梁橋的簡化模型為例進行計算，主梁采用雙線整體無砟軌道箱梁，包括軌道結構和附屬設施在內的上部結構總質量約為1 500 t，由四個支座支承，每個支座承擔375 t。順橋向采用盆式滑動支座與粘滯阻尼器組合的減隔震系統。

橋墩在順橋向的剛度比支座的大很多，因此忽略橋墩的柔性。上述結構順橋向地震反應計算模型可簡化為圖2所示的單自由度體系，主梁簡化為集中質量m=3.75×105kg，相對于地面的位移記為u。支座采用理想彈塑性的非線性單元模擬，摩擦系數μ=0.01，屈服力Fy=36.77 kN，屈服位移Dy=0.003 m，初始剛度ke=1.226×104kN/m，為避免數值計算的困難，屈服后剛度取為初始剛度的0.001倍；阻尼器速度指數α0=0.35，阻尼系數c0=35 kN·(s/m)α0。

圖2 簡化的單自由度模型Fig.2 Simplified model of single degree of freedom

選擇ElCentro波作為上述單自由度結構的水平 地震動輸入，如圖 3所示。

以粘滯阻尼器為試驗子結構，其余部分進行數值計算模擬。假設初始數值計算時對阻尼器力學參數α和c的估計存在誤差，誤差大小為50%，存在四種可能的工況，如表1所示。

用所示收斂判斷準則計算四種工況各次迭代的收斂判斷指標ε，如表2所示。

從表2可以看出，對于四種工況，隨著迭代的進行，試驗子結構位移反應的相對面積誤差ε的取值趨于減小，試驗反應趨于收斂。不同工況的收斂速度不相同，但經過5次迭代之后，ε均小于2%，滿足工程精度要求。

式(1)所列收斂準則比較了兩次迭代的位移收斂情況。理論上，一般工程結構的位移趨于收斂時，結構其他反應指標(如速度、加速度等)也趨于收斂。以工況1為例，將其各次迭代的速度和加速度時程代入式(1)計算相應的相對面積誤差，列于表3。

從表3中各反應的相對面積誤差可以看出，各次迭代中位移、速度和加速度的收斂指標值具有相同的收斂趨勢。這說明本文算例中，位移的收斂指標能夠反映速度、加速度等反應的收斂情況。對于其他復雜結構，可進一步研究其他收斂指標(如平衡的或能量的收斂指標)的適用性。

圖3 ElCentro地震波Fig.3 ElCentro Ground motion record

Table 1 Four Cases with initial estimation error of damper parameters being 50%

工況1234阻尼系數c0.5c00.5c01.5c01.5c0阻尼器速度指數α0.5α01.5α00.5α01.5α0

表2 四種工況各次迭代的收斂判斷指標值

Table 2 Values of convergence index for each iteration of four cases %

工況1234第1次迭代29.8732.54154.9024.07第2次迭代12.2713.0312.036.53第3次迭代3.435.905.781.92第4次迭代1.142.602.830.63第5次迭代0.281.071.610.23

圖 4 四種工況各次迭代的位移時程圖Fig.4 Displacement time history of each iteration of four cases

Table 3 Values of convergence index for each iteration of case 1 %

反應指標位移速度加速度第1次迭代29.875.382.03第2次迭代12.272.010.82第3次迭代3.430.850.42第4次迭代1.140.430.23第5次迭代0.280.200.12

以上算例表明，本文所提出的全局迭代的實時子結構試驗方法是可行的，達到相對面積誤差ε<2%所需要的迭代次數不超過5次，可以接受。

4 迭代次數敏感性分析

上文比較了數值模型參數初始估計的誤差為50%的四種工況，為分析誤差大小對收斂次數的影響，進一步計算兩種工況：工況5和工況6，數值模型參數初始估計的誤差分別為25%、75%。粘滯阻尼器速度指數α和阻尼系數c的誤差變化關系與工況3對應，將這三種工況列于表4。將上述三種工況各次迭代的收斂判斷指標ε值列于表5。

表4 迭代次數敏感性分析的三種工況Table 4 Three cases for sensitivity analysis of iteration %

從表5可以看出，初始參數的估計誤差越小，迭代收斂的速度越快，收斂判斷指標取值達到限值所需要的迭代次數越少。

表5 迭代次數敏感性分析三種工況的收斂判斷指標值

Table 5 Values of convergence index for each iteration of three sensitivity analysis cases %

工況536第1次迭代27.98154.90278.04第2次迭代7.8912.0324.25第3次迭代3.895.787.65第4次迭代1.322.833.08第5次迭代0.691.611.80

5 方法適用性的討論

本文所提方法雖然能夠避開傳統實時子結構試驗方法存在的數值積分穩定性和伺服加載時滯等難題，但是引入了一個迭代過程，需要對子結構進行多次伺服加載試驗，因此本文方法的適用性是一個值得關注的問題。本文方法適用范圍：

1)特別適用于阻尼器作為試驗子結構的情況。由于阻尼器可以重復利用，間隔一定時間后(需要等待粘滯液體溫度下降)，后續試驗結果不受前次試驗的影響，只需準備一個試驗用阻尼器就能滿足迭代需求，可以節約試驗成本。

2)適用于各個試驗子結構的實物模型變異性較小的情況。對于對結構性能起控制作用的關鍵構件或復雜構件(如彈塑性支座、梁柱節點、墩柱塑性鉸區域等)，其在試驗中將發生不可逆的彈塑性變形甚至破壞，因此需要制作多個變異性較小的模型，以滿足迭代的需要。這就要求各試驗模型的幾何尺寸和材料特性等的差異較小。一般來說，只需對試件制作工藝稍加控制就能滿足要求，如支座采用同批次生產加工、混凝土構件采用相同的工人師傅加工并進行同批次混凝土澆筑等。

按相同設計圖紙和加工工藝生產的試驗子結構的力學行為的可能存在變異，這種變異性對于本文方法迭代過程的穩定性、迭代次數和收斂控制指標可能存在影響，這一問題有待在進一步的工作中驗證和研究。

6 結論

傳統實時子結構試驗方法存在數值積分穩定性和伺服加載時滯等問題，為避開這些難題，本文探索了另一種實時子結構試驗的途徑，取得以下成果：

1)提出全局迭代的實時子結構試驗方法的概念和基本流程，并給出了收斂判斷準則；

2)通過算例對所提方法進行驗證。結果表明，在數值模型參數初始估計的誤差為50%的四種工況下，隨著迭代進行，試驗子結構位移反應的相對面積誤差ε的取值趨于減小，試驗反應趨于收斂。不同工況收斂速度不相同，但經過5次迭代后，ε均小于2%，滿足工程精度要求，迭代次數可以接受。

3)分析了數值模型參數初始估計誤差對迭代次數的影響。比較了誤差分別為25%、50%、75%三種工況時的迭代收斂情況，結果表明初始參數的估計誤差越小，迭代收斂的速度越快，達到收斂限值所需要的迭代次數越少。

4)對所提方法的適用性進行了初步討論。

將本文方法應用于更多實際結構，對其做進一步理論及試驗的驗證和改進，是有待完成的工作。

[1]倪志偉, 紀金豹, 杜陽陽. 擬動力試驗方法的發展與展望[J]. 災害學, 2010, 25(S): 79-84. NI Zhiwei, JI Jinbao, DU Yangyang. Development and prospect of pseudo-dynamic testing[J]. Journal of catastrophology, 2010, 25(S): 79-84.

[2]NAKASHIMA M, KATO H, TAKAOKA E. Development of real-time pseudo dynamic testing[J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 1992, 21(1): 79-92.

[3]WU B, BAO H, OU J, et al. Stability and accuracy analysis of the central difference method for real-time substructure testing[J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 2005, 34(7): 705-718.

[4]CHANG S Y. Explicit pseudodynamic algorithm with unconditional stability[J]. Journal of engineering mechanics, 2002, 128(9): 935-947.

[5]吳斌, 保海娥. 實時子結構實驗Chang算法的穩定性和精度[J]. 地震工程與工程振動, 2006, 26(2): 41-48. WU Bin, BAO Hai'e. Stability and accuracy of Chang algorithm for real-time substructure testing[J]. Earthquake engineering and engineering vibration, 2006, 26(2): 41-48.

[6]ZHANG Yunfeng, SAUSE R, RICLES J M, et al. Modified predictor-corrector numerical scheme for real-time pseudo dynamic tests using state-space formulation[J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 2005, 34(3): 271-288.

[7]JUNG R Y, BENSON SHING P. Performance evaluation of a real-time pseudodynamic test system[J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 2006, 35(7): 789-810.

[8]BAYER V, DORKA U E, FüLLEKRUG U, et al. On real-time pseudo-dynamic sub-structure testing: algorithm, numerical and experimental results[J]. Aerospace science and technology, 2005, 9(3): 223-232.

[9]DARBY A P, BLAKEBOROUGH A, WILLIAMS M S. Improved control algorithm for real-time substructure testing[J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 2001, 30(3): 431-448.

[10]HORIUCHI T, INOUE M, KONNO T, et al. Real-time hybrid experimental system with actuator delay compensation and its application to a piping system with energy absorber[J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 1999, 28(10): 1121-1141.

[11]WALLACE M I, SIEBER J, NEILD S A, et al. Stability analysis of real-time dynamic substructuring using delay differential equation models[J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 2005, 34(15): 1817-1832.

[12]DARBY A P, WILLIAMS M S, BLAKEBOROUGH A. Stability and delay compensation for real-time substructure testing[J]. Journal of engineering mechanics, 2002, 128(12): 1276-1284.

[13]WU Bin, XU Guoshan, WANG Qianying, et al. Operator-splitting method for real-time substructure testing[J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 2006, 35(3): 293-314.

[14]王倩穎, 吳斌, 歐進萍. 考慮作動器時滯及其補償的實時子結構實驗穩定性分析[J]. 工程力學, 2007, 24(2): 9-14, 8. WANG Qianying, WU Bin, OU Jinping. Stability analysis of real-time substructure testing considering actuator delay and compensation[J]. Engineering mechanics, 2007, 24(2): 9-14, 8.

[15]WU Bin, WANG Qianying, BENSON S P, et al. Equivalent force control method for generalized real-time substructure testing with implicit integration[J]. Earthquake engineering & structural dynamics, 2007, 36(9): 1127-1149.

Real-time substructure test method applying global iteration and its verification

GUO Jin1, ZHAO Weigang2, DU Yanliang2, CHEN Wei1, XU Ruixiang3

(1. Department of Civil Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China; 2. Key Laboratory of Structural Health Monitoring and Control, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China; 3. Hebei Engineering Technology Research Center of Seismic Isolation Technology and Equipment, Hengshui 053000, China)

Problems such as numerical integration stability and servo-loading time delay exist in the traditional real-time substructure test method . In this paper, we propose a new real-time substructure test method to avoid these problems. The numerical calculation and load testing are performed independently in the whole time of dynamic load, with historic process of displacement in numerical calculation and resistance in loading test transferred, and with a progress of iteration existed. Without data exchange between the intermediate time steps, the requirements of explicit scheme, stability, and accuracy of numerical integration method can be avoided. Moreover, the time-delay of the actuator will also disappear. The proposed method is testing using a simplified model of a 32 m-span, simple-supported, high-speed railway bridge. The results show that the reaction tended to converge following the iteration implementation. The convergence index values of all cases are less than 2% after five iterations, meeting the engineering accuracy requirements. A further analysis is made to compare the effect of the initial estimation error of the numerical model parameters on the number of iterations. The smaller the initial parameter estimation error, the faster the convergence speed and the lesser the number of iterations needed to achieve the error limit. The proposed method is feasible and effective, and the iteration number is acceptable. Moreover, the method can provide an effective path for testing engineering structure.

global iteration; real-time substructure; testing; stability; time-delay; convergence

2016-06-02.

日期：2016-09-28.

國家自然科學基金項目(51508351, U1334209)；河北省大型結構健康診斷與控制重點實驗室開放課題(201515)；河北省大型基礎設施防災減災協同創新中心項目(Z99902).

郭進(1985-)，男，講師，博士后，博士； 趙維剛(1973-)，男，教授，碩士生導師，博士； 杜彥良(1956-)，男，教授，博士生導師，中國工程院院士.

趙維剛，E-mail：zhaoweig2002@163.com.

10.11990/jheu.201606009

U442.5

A

1006-7043(2016) 11-1498-06

郭進，趙維剛，杜彥良，等. 全局迭代的實時子結構試驗方法及其驗證[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2016, 37(11): 1498-1503. GUO Jin, ZHAO Weigang, DU Yanliang, et al. Real-time substructure test method applying global iteration and its verification[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(11): 1498-1503.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160928.1419.044.html