基于Kriging模型的橋梁結構易損性分析

袁萬城，王建國，龐于濤，賈麗君

(同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

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基于Kriging模型的橋梁結構易損性分析

袁萬城，王建國，龐于濤，賈麗君

(同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

地震易損性用來描述不同強度地震作用下超越某一極限狀態或性能的概率，通常采用蒙特卡羅(MC)、拉丁超立方(LHS)方法來生成易損性曲線，但是，這兩種方法計算量很大。本文通過引入Kriging模型代替計算量較大的增量動力分析方法(IDA)對某三跨連續梁橋進行易損性分析，發現該方法能夠顯著減小計算量。以LHS易損性曲線為參考，對該方法的準確性進行了研究，發現通過該方法計算得到的易損性曲線精度較好。最后，本文對比分析不同均勻設計樣本得到的Kriging易損性曲線，發現文中所使用的U15(157)均勻設計樣本已經具有能夠收斂的結果。

易損性；Kriging模型；橋梁結構；數學計算方法；均勻設計；拉丁超立方

地震是一種隨機性強、破壞嚴重的偶然荷載，橋梁結構遭受強震作用后將造成慘重的直接災害以及次生災害。國外在遭受了如Nothridge地震以及Kobe地震所帶來的慘重損失后，開始提出基于性能的地震工程框架[1]。易損性分析為該工程框架的一個重要組成部分，用來描述橋梁結構在不同強度地震作用下超越某一極限狀態或性能的概率[2]，并與地震危險性分析共同作為地震風險評估的依據[3]。

地震易損性的分析方法包括專家易損性方法、經驗易損性方法和理論易損性方法。專家易損性方法不可避免受主觀因素影響；經驗易損性方法的獲得和應用則受地震災害記錄及工程場地差異的影響而存在局限性；從而理論易損性方法被廣泛應用。針對理論易損性分析，龐于濤等[4-5]利用增量動力分析(incremental dynamic analysis，IDA)，鐘劍等[6-7]利用概率地震需求分析(probabilistic seismic demand model，PSDA)得到動力需求模型，馮清海及龐于濤等[4-5, 8]利用人工神經網絡預測結構的概率能力，然后進行易損性分析。蒙特卡羅方法(Monte Carlo，MC)、拉丁超立方(Latin hypercube sampling，LHS)方法常用來對某一極限狀態生成易損性曲線，但是當包含結構參數的不確定性時，特別是采用IDA方法時，計算量非常大，為易損性曲線求解帶來極大的不便。

在過去30～40年間，隨著數值方法的廣泛應用，軟計算方法開始在工程界使用。在保證一定計算精度的前提下，軟計算方法將顯著提高計算效率。Chouicha等[9-10]等將軟計算引入到地震液化模擬中；Lagaros等[11-12]則在結構設計優化和結構可靠度分析中應用了人工神經網絡。而軟計算在易損性分析中應用卻較少，目前的研究也僅在能力計算方面提高計算效率[13]。在軟計算的各個模型中，Kriging[14]模型作為一種估計方差最小的無偏估計模型，具有全局近似與局部誤差相結合的特點，它的有效性不依賴于隨機誤差的存在，對非線性程度較高和局部響應突變問題具有良好的擬合效果，因此Kriging模型可用來進行全局或局部的近似，并且，該模型已多次應用于復雜問題的近似計算[15-18]，并取得了較高計算精度。

本文采用訓練成熟的Kriging模型代替易損性分析中計算量較大的IDA計算進行易損性分析，并以LHS易損性曲線檢驗該方法的計算精度；另外，通過對比不同均勻設計樣本數的Kriging易損性曲線來分析其收斂性。

1 本文算法

1.1 Kriging模型理論

,...,q

(1)

f(x)為由文獻[14]中多項式組成的回歸函數向量，β:,l為相應的回歸系數；zl(x)=r(x)Tγ*為均值為零方差為σl2的隨機變量，r(x)為描述局部相關性的向量，γ*為局部相關系數。并且β:,l、γ*由下式求得

γ*=R-1(Y-Fβ)

β=(FTR-1F)-1FTR-1Y

(2)

式中：F為樣本矩陣，R為描述隨機變量之間相關性的矩陣。文獻[11]中提供了指數型(EXP)、高斯型(GAUSS)、線性(LIN)、樣條型(SPLIN)等7種相關系數模型，例如在采用高斯相關系數模型時，第i、j兩隨機變量間的相關系數為

(3)

同樣的方法可以確定所有的相關系數，利用隨機樣本的輸入變量與對應的響應確定回歸系數β和相關系數θ后，整體Kriging模型即可確定，并且文獻[19, 20]給出了求解β、θ的解析法和數值法。

1.2 均勻設計概述

在多參數、多水平的試驗中均勻設計能夠顯著減小試驗樣本數，在橋梁易損性研究中涉及到材料以及結構等多個不確定因素，按照常規方法則需要大量的試驗，而按照均勻設計可以大大減小試驗次數，并能夠充分反映參數的隨機性。

本文采用均勻設計方法，U15(157)為7因素15水平數的實驗設計，普通實驗設計所需試驗樣本為715=4.75×1012，正交設計樣本數減少為152=225而均勻設計僅需15個樣本即可充分反映參數隨機性。Un(nm)均勻設計表為一n行m列的矩陣。其中該矩陣的第一行為{1,2,…,n}的子集，并且該矩陣第j列的元素采用如下算法計算：

u1j=hj

i=1,2,...,n-1

(4)

1.3 本方法的計算流程

基于Kriging模型的易損性分析基本步驟如圖 1所示，1)確定隨機變量并根據均勻設計理論抽取隨機樣本；2)由隨機樣本及其對應的響應確定Kriging模型中的未知參數；3)根據Kriging模型確定相應于PGA=a的均值、標準差；4)利用MC方法抽取1×106個隨機樣本點并根據損傷級別及損傷指標確定損傷概率獲得易損性曲線；5)LHS易損性曲線檢驗計算精度；6)改變均勻設計樣本數檢驗Kriging易損性曲線的收斂性。

2 實例分析

2.1 橋梁有限元模型

本文以某三跨混凝土連續梁橋為例，進行基于Kriging模型的易損性分析。該橋跨徑布置為50 m+50 m+50 m，橋墩墩高30 m，橫截面為6.2 m×2.2 m的矩形截面。墩頂采用鉛芯橡膠支座(leader rubber bearing, LRB)承臺頂采用板式橡膠支座(sliding leader bearing, SLB)。橋墩采用C40混凝土，主梁采用C50預應力混凝土，采用HRB335鋼筋。橋墩的縱向配筋率為0.75%，配箍率為0.6%，橋梁整體布置及細部構造如圖 2所示。

使用Opensees建立橋梁結構的三維有限元模型。上部結構在地震作用下基本保持彈性，使用線彈性單元模擬；橋墩要承受較大的地震力，允許橋墩在強震作用下屈服，故采用纖維單元模擬；支座采用零長度單元模擬；并不考慮橋臺的變形及移位。橋墩混凝土材料采用Kent-Scott-Park本構模型，鋼筋采用雙線性滯回本構模型。

圖 1 Kriging易損性流程Fig.1 The procedure of fragility analysis using Kriging model

圖 2 橋梁結構總體布置及細部構造圖Fig.2 General configuration of reinforced concrete bridge and layout of the section

2.2 隨機變量與損傷指標

橋梁結構易損性分析中涉及多種不確定性因素，本文選取核心混凝土的極限抗壓強度(fc,core，fc,cover)及對應的壓應變(εc,core，εc,cover)，鋼筋的屈服強度fy及初始剛度Es為輸入隨機變量，表1列出了所考慮材料參數的統計特性。易損性分析時需要定義損傷級別以及損傷指標，本文選取支座位移及墩底曲率為輸出變量，并根據文獻[21]取四個損傷級別，損傷級別及相應的損傷指標由表 2列出，由于嚴重損傷和完全損傷不易定義，此處暫不討論。

表1 隨機變量及其分布

2.3 Kriging模型的建立

本文中的橋梁所在場地為中軟場地土，場地類別為Ⅲ類，以從PEER強震數據平臺中選取的30條Ⅲ類場地地震波來考慮地震動的隨機性。根據《公路橋梁抗震規范》中的目標反應譜對30條地震記錄進行調幅，以此作為激勵進行非線性時程分析，并忽略地震動的空間變化效應，另外，依據文獻[22, 23]選取PGA作為地震動強度(IM)的指標。

表2 損傷級別及損傷指標

Table 2 The definitions of the damage states and corresponding DI criteria

構件輕微損傷中等損傷墩底曲率μ/m-1μ>1μ>1.5LRB位移峰值s/mη>0.05η>0.15SLB位移峰值η/mη>0.10η>0.25

對表1中的隨機變量抽取7因素15水平數的實驗樣本并以上述30條經過調幅的實際地震記錄為激勵進行非線性時程分析，求得相應于每個樣本的均值與標準差，進而得出均值與標準差對于PGA的分布函數，最終根據下式建立整體Kriging模型：

y=exp(yμ+logN(0, yσ))

(5)

根據整體Kriging模型求解相應于某PGA的均值與標準差，利用蒙特卡羅(MC)方法抽取1×106個樣本點，即可計算出對應損傷級別下該PGA的損傷概率，連接多個PGA的損傷概率得到易損性曲線，如圖 3所示。

2.4 拉丁超立方(LHS)易損性曲線

為檢驗基于Kriging模型的易損性分析方法的有效性，以LHS方法對表1中隨機變量抽樣得到100個隨機樣本，并將上述30條調幅后的實際地震記錄作歸一化處理，分別調整其峰值為0.1g，0.3g，0.5g，0.7g，0.9g，然后進行非線性時程分析，從而得到某損傷級別下相應于某PGA的損傷概率，進而得到易損性曲線，與Kriging易損性曲線對比的結果如圖3所示。

由圖3可知，板式橡膠支座位移、鉛芯橡膠支座位移以及墩底曲率的Kriging易損性曲線，在輕微損傷和中等損傷兩損傷級別下均與LHS易損性曲線非常接近。鉛芯橡膠支座表現出比板式橡膠支座更易損壞的特性，在所關注的三個易損部位中，墩底曲率是最不易破壞的部位，板式橡膠支座的易損性介于兩者之間。

圖 3 Kriging易損性曲線與LHS易損性曲線對比Fig.3 Fragility curves obtained using Kriging model and LHS in bridge model

2.5 均勻設計樣本數對Kriging易損性收斂性的影響

為說明Kriging易損性曲線的收斂性，本文在上述易損性曲線的基礎上，由均勻設計表格U20(207)抽取隨機樣本并求得Kriging易損性曲線，以LHS易損性曲線為參考，比較不同樣本數得到的Kriging易損性曲線的收斂性，由表3中不同均勻設計樣本數Kriging易損性曲線的均方根差可知，該方法的計算精度已經較高。圖 4、5為不同均勻設計樣本點數得到的易損性曲線的對比。

表3 不同均勻樣本點數的均方根差

Table 3 Root-mean-square-error (RMSE) is calculated for different UD tables with respect to LHS

均勻樣本輕微損傷SLBLRBpier中等損傷SLBLRBpierU15(157)0.0210.0270.0220.0290.0150.034U20(207)0.0220.0210.0170.0180.0090.043

基于Kriging模型的易損性分析中，在采用U15(157)均勻設計表格時，共抽取樣本15個，利用30條地震波進行非線性時程分析共計算15×30=450次。在采用U20(207)均勻設計表格時，抽取樣本20個，計算20×30=600次。而采用LHS方法進行計算時，要達到滿意的計算精度需要抽取樣本100個，并對地震波PGA作歸一化處理并調整為5個不同的等級，需計算100×30×5=15 000次。由圖 4、圖 5可知，U15(157)，U20(207)和LHS易損性曲線非常接近，Kriging易損性計算中15個樣本的計算已具有足夠的計算精度，計算結果已收斂。

圖 4 Kriging易損性曲線收斂性-輕微損傷Fig.4 Fragility curves using different UD tables (U15(157) and U20(207)) at slight limit states

圖 5 Kriging易損性曲線收斂性-中等損傷Fig.5 Fragility curves using different UD tables (U15(157) and U20(207)) at moderate limit states

3 結論

本文通過結合均勻設計與Kriging模型來求解地震易損性曲線，并以某三跨連續梁橋為例進行基于Kriging模型的易損性分析，通過對比不同均勻設計樣本數的Kriging易損性曲線和LHS易損性曲線，得出如下結論：

1)在易損性分析時，可以采用分別模擬響應的均值與標準差Kriging模型的方法生成相應與某損傷狀態的易損性曲線。

2)與傳統的LHS易損性方法相比，采用U15(157)和U20(207)均勻表格設計Kriging模型時，計算量分別減少97%和96%，顯著提高了計算效率。

3)與LHS易損性曲線相比，本文Kriging易損性曲線的計算精度較高，輕微和中等兩損傷級別下的均方根差(RMSE)均控制在理想范圍內。

4)采用大約兩倍隨機變量數的設計樣本數(如本文中7個隨機變量的U15(157)均勻樣本)計算得到的Kriging易損性曲線已經收斂。

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Seismic fragility analysis of reinforced concrete bridges using the Kriging model

YUAN Wancheng, WANG Jianguo, PANG Yutao, JIA Lijun

(State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Seismic fragility is used herein to describe the probability that the structure responses exceed the performance limit state for a given seismic intensity measure. The Monte Carlo simulation and Latin hypercube sampling (LHS) are generally used to develop fragility curves. However, a relatively large number of simulations are necessary when considering a series of uncertainty variables. In this paper, we replaced the extremely time-consuming process associated with the IDA methods by a Kriging model. Then the method was applied to a three-span continuous beam bridges. Compared with the LHS curves, the Kriging fragility curve has a satisfactory accuracy and saves much time for curve development. A comparison of the fragility curves developed by different uniform design tables with respect to the LHS curves shows that the U15(157) uniform design sample can obtain a necessary convergence.

seismic fragility; Kriging model; bridge; surrogate model; uniform design; Latin hypercube sampling

2015-09-12.

日期：2016-05-27.

土木工程防災國家重點實驗室基金項目(SLDRCE14-B-14)；國家自然科學基金項目(51478339,51278376，91315301)；江西省科技計劃項目(20151BBG70064)；國家科技支撐計劃課題(2015BAK17B04).

袁萬城(1962-)男，教授，博士生導師，博士； 賈麗君(1967- )，女，副教授，博士.

賈麗君，E-mail：jialj@tongji.edu.cn.

10.11990/jheu.201509037

TU312.1

A

1006-7043(2016) 11-1504-06

袁萬城，王建國，龐于濤，等. 基于Kriging模型的橋梁結構易損性分析[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2016, 37(11): 1504-1509. YUAN Wancheng, WANG Jianguo, PANG Yutao, et al. Seismic fragility analysis of reinforced concrete bridges using the Kriging model[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(11): 1504-1509.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160527.1354.016.html