理想液體元流能量方程推導的對比分析式教學模式探索

吳磊

摘 要 水力學是一門技術基礎課，它是力學的一個分支。能量方程是水力學歷史上建立最早、應用最廣的動力學方程之一，它應用能量守恒定律揭示了液體流動過程中的能量變化規(guī)律，在液體動力學中占據(jù)重要地位。能量方程是水力學課程教學體系的重要內(nèi)容，是貫穿水力學基礎理論教學和工程實踐應用的靈魂，引申到其他流體如氣體也同樣適用。因此，為了讓學生更好地理解和掌握能量方程的推導過程，有必要開展對比分析式教學改革探索，加強學生對伯努利方程推導過程和工程應用的理解和掌握，推進水力學重難點的教學模式創(chuàng)新，提高水力學教學質(zhì)量。

關鍵詞 理想液體 方程推導 對比分析

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.10.046

Abstract Hydraulics is a basic course of technology， which is a branch of mechanics. Energy equation is set up one of the earliest and the most widely used dynamic equation of hydraulic history. It is the application of the law of conservation of energy to reveal the energy variation in the process of the liquid flow and liquid dynamics in occupy an important position. Energy equation is an important part of the teaching system of hydraulics， and it is the soul that runs through the basic theory teaching and engineering practice of hydraulics， and it can also be applied to other fluids such as gas. Therefore， in order to make students better understand and master the derivation process of the energy equation， it is necessary to carry out comparative analysis of teaching reform， strengthen students understanding of Bernoulli equation inferential reasoning process and engineering application and master， promote hydraulics problems of teaching mode innovation， in order to improve the teaching quality of the hydraulic.

Keywords ideal liquid； derivation of equation； comparison and analysis

作為一門重要的技術基礎課，水力學（流體力學）是高等工科院校大多數(shù)專業(yè)開設的必修課，廣泛應用于水利、土木建筑、給排水、水文環(huán)境、機械、動力、動能、化工、石油、航空、航海、計量、控制、地質(zhì)勘探等專業(yè)。水力學是建立在流體力學基礎之上的一門既有較強理論性又有較強工程實際意義的應用力學課程。水力學課程強調(diào)理論緊密聯(lián)系工程實際，它的主要任務是研究液體（主要是水）的平衡和機械運動規(guī)律及其工程應用，它具有理論性強、經(jīng)驗公式多，概念抽象，推導復雜，且易混淆等特點。水力學與其他各門力學課程一樣，一直以來都是學生認為最為難學的課程之一，它對學生的高等數(shù)學、大學物理、工程力學以及綜合分析處理問題的能力要求較高。作為水利等工科專業(yè)的技術基礎課，水力學是學生專業(yè)能力形成與未來職業(yè)發(fā)展必不可少的依托，它不僅是后續(xù)專業(yè)課學習的理論基礎，而且也是解決工程實例的技術依據(jù)，因而這門課具有極強的理論性與工程實踐性。

在各種水力學（流體力學）教材中，能量方程又稱伯努利方程，其推導過程有多種途徑。本文從動力學關系出發(fā)，分別從“微元體”與“元流”兩個切入點應用牛頓第二定律推導伯努利方程，對比分析理想流體作定常流動時伯努利方程的推導過程，為伯努利方程的專題性教學改革探索提供支撐。

1 能量方程的微元體推導過程

伯努利方程“微元體”推導過程以理想液體運動微分方程為基礎。根據(jù)牛頓第二定律，建立理想流體受力及運動之間的動力學關系，導出理想液體運動微分方程，通過對軸方向的運動微分方程進行變形、化簡，并引入限定條件，沿流線積分得能量方程。因此能量方程“微元體”推導過程的基本思路為：（1）取“微元體”；（2）受力分析；（3）導出動力學關系；（4）變形化簡；（5）引入限定條件；（6）沿流線積分。

1.1 取“微元體”

在某一瞬時在運動無黏性（理想）液體中取出棱邊為，，的一微小平行六面體。六面體中心為，該點壓強為（）（圖1）。

1.2 受力分析

作用在流體上力，按其作用方式分為表面力和質(zhì)量力。以方向為例，對“微元體”進行受力分析，對表面力取泰勒（Taylor）級數(shù)展開式的前兩項。

a.表面力（以方向為例）包括壓應力和剪應力

b. 質(zhì)量力

1.3 導出動力學關系

由牛頓第二定律，作用在微元六面體上的合外力在某坐標軸方向投影的代數(shù)和等于此流體微元質(zhì)量乘以其在同軸方向的分加速度。以軸方向為例，有

（5）

上式即理想流體運動微分方程式，又稱歐拉運動微分方程式。該式是牛頓第二定律的流體力學表達式，是理想流體運動的基本控制方程式，是研究理想流體各種運動規(guī)律的基礎。其物理意義可表示為作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力與表面力之代數(shù)和等于其加速度，適用于無黏性流體，可壓縮流體及不可壓縮流體，恒定流及非恒定流。

1.4 變形化簡

為了利用這組方程推導沿單個流線的伯努利方程，將理想流體運動微分方程各式分別乘以同一流線上兩鄰點間距離的投影，然后相加，得

1.5 引入限定條件

理想流體運動微分方程式是非線性偏微分方程組，只有特定條件下的積分，其中最著名的是伯努利（Bernoulli）積分。在積分之前，需要引入以下限定條件：

上述理想液體運動微分方程沿流線的積分稱為伯努利積分，又稱理想液體恒定元流能量方程。

2 伯努利方程的元流推導過程

在理想液體恒定流中取一微小流束（元流），并截取1-1和2-2斷面間的微分流段來研究。將流段近似作為柱體，過水斷面面積，該流段沿著流動方向流動（圖2）。

根據(jù)牛頓第二定律：作用在ds流段上的外力沿s 方向的合力，應等于該流段質(zhì)量與其加速度的乘積。

式（12）為不可壓縮理想液體恒定元流能量方程，是由瑞士科學家伯努利于1738年首先推導出來的，所以又稱為理想液體恒定元流伯努利方程[15]。

伯努利方程的適用于（1）無粘性流體，（2）不可壓縮流體，（3）恒定流，（4）沿流線，應用伯努利方程時必須確認四個條件同時滿足。

3 討論與分析

除了上述采用“微元體”和“元流”兩種思路推導伯努利方程以外，理想流體伯努利方程還可簡單的利用理論力學或物理學中的動能定理推導得出。從能量意義上來看，方程表示單位重量的理想流體沿流線運動時，其攜帶的總能量在所流經(jīng)的路程上任意位置時總是保持不變的，但其位勢能、壓力勢能和動能是可以相互轉化的；從幾何意義上來看，方程表示理想流體沿流線運動時，其位置水頭、壓強水頭、速度水頭可能有變化或三個水頭之間相互轉化，但其各水頭之和總是保持不變。

伯努利方程（能量方程）是從動力學的觀點討論水流各運動要素之間的關系，是能量守恒在水流運動中的具體表現(xiàn)。無論是“微元體”思想還是“元流”思想推導伯努利方程，都是從動力學基礎的牛頓第二定律出發(fā)，計算“微元體”或“元流”各點運動的瞬時狀態(tài)，并進行受力分析，列方程積分得到伯努利方程。

根據(jù)以人才培養(yǎng)為根本、以提高質(zhì)量為核心的本科教學理念，結合“水力學”課程教學目標和課程特點，制定的教學改革思路如下：（1）通過對各個專題深入分析研究和教學實驗實踐，采用由一元、二元到三元的課程體系、由可壓縮到不可壓縮、由理想到粘性這一系統(tǒng)化的理論教學體系；（2）在理論教學的過程中，注重實踐性教學改革探索。主要體現(xiàn)在上好實驗課，從直觀演示到動手操作，激發(fā)學習興趣；精心選題，貼近實際工程，創(chuàng)造現(xiàn)場氛圍；（3）吸取國內(nèi)外水力學教材精華，在理論推導中融合新的工程水力學思想和問題，拓寬學生的思維結構與知識體系；（4）在課堂上舉出應用伯努利方程能夠解決的實際例子，比如畢托管測速儀、容器中液體在重力作用下的外泄、液體從內(nèi)有超壓的容器中外泄、駐點流動、高速列車的窗玻璃發(fā)生向外破裂等，幫助學生理解方程的重要性；（5）正確處理好教學與科研的關系。以科研帶動教學，以教學中遇到的問題促進科研創(chuàng)新。

4 結論

針對水力學課程中伯努利方程地位重要、概念抽象、具有較強的數(shù)學物理思想等特點，本文就方程的推導過程對水力學研究型本科教學進行了對比分析研究，旨在提高學生的學習興趣，優(yōu)化學生的知識體系，強化學生的知識類比意識，培養(yǎng)學生的工程應用能力。得出的主要結論如下：

（1）伯努利方程是研究流體最基本最常用的基本規(guī)律之一。掌握伯努利方程的推導過程和不同條件下方程各項的物理與幾何意義是學習流體動力學專題的關鍵，為了達到授課的系統(tǒng)性和關聯(lián)性，采用對不同推導過程進行對比分析的方法進行講授，以達到學生真正理解和掌握該方程的意義和實際應用。

（2）采用“微元體”形式或“元流”形式推導伯努利方程，需要對水力學教學過程是歸結到采用三元到一元的教學體系，還是采用由一元到三元的教學體系進行探索。考慮到適合學生理解和掌握是第一要素，認為采用由一元到三元的教學體系更易于學生接受和理解，且采用對比分析式的教學方法更能保證學生對該方程真正理解和應用，實現(xiàn)水力學教學方式創(chuàng)新性改革的目標。

（3）在水力學授課過程中，首先將以學生為主體的教育理念貫穿到教學過程中，要提倡和鼓勵學生開展自主性學習與探究性學習；其次要改革實驗教學方法，提倡單獨開設實驗課，支持學生獨立設計實驗方案；再次要強化理論聯(lián)系實際的環(huán)節(jié)，提高創(chuàng)新能力的探索與實踐；最后，始終堅持工程科學與技術科學、基礎科學互相促進，互相融合，協(xié)同創(chuàng)新。

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