基于MUSIC算法的圓陣DOA估計技術及改進方法

糜坤年，張 磊

(中國船舶重工集團公司第723研究所，揚州 225001)

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基于MUSIC算法的圓陣DOA估計技術及改進方法

糜坤年，張 磊

(中國船舶重工集團公司第723研究所，揚州 225001)

介紹了基于MUSIC算法的圓陣到達方向(DOA)估計技術，即將均勻圓陣接收數據的協方差矩陣進行特征分解，把觀測數據劃分為信號子空間與噪聲子空間，并利用2個空間的正交性構造出"針狀"空間譜峰，進行信號源DOA估計；針對小信噪比和小快拍數情況下，常規MUSIC算法對入射角度相近的信號源的分辨率嚴重下降的問題，利用譜函數極大值點對方位角和仰角的二階導數小于零的特性，通過對方位角和俯仰角求二階偏導數，提出了新的空間譜函數的方法。

MUSIC算法；DOA估計；均勻圓陣

0 引 言

電磁波是雷達系統中承載信息的媒介，空間到達角是其重要的特征參量，攜帶了信號重要的信息。空間到達角描述了信號源的空間位置，用參量(θ，φ)表示，分別表示俯仰角和方位角。陣列信號處理估計是近幾十年發展起來的一門新興信號處理理論。到達方向(DOA)估計是陣列信號處理的一個重要領域，它在雷達、通信、聲納及地震方面的應用越來越受到重視。其主要目標是研究提高在處理帶寬內的空間信號的估計精度、角度分辨率和提高運算速度的各種算法。常規的空域譜分析是一類線性譜估計，這種譜估計受瑞利限約束。為了突破這個限制，國內外學者進行了大量的研究，并獲得了豐富的研究成果，其中最具革命性意義的是1979年美國Schmidt R O等人提出的多重信號分類(MUSIC)算法[1]，實現了真正意義的陣列高分辨測向。MUSIC算法從幾何角度分析了估計問題的內在結構，即通過陣列協方差矩陣的特征分解把觀測數據空間劃分為信號子空間和噪聲子空間，然后利用這2個空間的正交性構造出“針狀”空間譜峰，從而實現了DOA的超高分辨率估計。同時利用圓陣測量估計信號源的到達角信息與均勻線陣相比具有很大的優越性：第一，均勻圓陣是一個平面陣，它可以同時提供方位角和俯仰角信息；第二，均勻圓陣提供的方位角信息是360°全方位、無模糊的[2]。然而，由于受陣列孔徑的限制，MUSIC算法在信噪比較低或者是快拍數較小時，對角度相近的2個信號源的分辨率不高。為此，有學者針對該問題，提出了基于MUSIC算法的改進算法，即利用MUSIC譜函數極大值點對方位角和仰角的二階偏導數小于零的特性，通過對方位角和俯仰角求二階偏導數，構造新的空間譜函數的新方法[3]。

1 信號接收模型

M個各向同性的陣元均勻分布在一個半徑為r的圓周上，如圖1所示。采用球坐標系來表示平面波的到達方向，圓形陣列的圓心位置位于坐標系的原點，信源的俯仰角φ∈[0,π/2]是Z軸與信號源入射方向的夾角，而方位角θ∈[0,2π]是從X軸沿逆時針方向到信源入射方向在陣列平面上投影的夾角[4]。第M陣元與圓心之間的連線與X軸的夾角為：

(1)

其位置矢量為pm=(rcosγm,rsinγm,0)。

圖1 均勻圓陣結構模型

假設一遠場窄帶信號從γ=(sinφcosθ,sinφsinθ,cosφ)為一單位矢量，則信號在第m個陣元接收信號與圓心處接收信號的復包絡之間的相位差為:

ψm=e-j2πf0τm=e，

m=0,1,2,…,M-1

(2)

式中：f0為載波中心頻率；λ為載波波長。

則圓陣的方向矢量為:

α(θ,φ)=[ee…e]T

(3)

假設有D個入射遠場窄帶信號且互不相干，則可以得到第k個陣元在t時刻接收信號為:

(4)

矩陣形式：

X(t)=AS(t)+N(t)

(5)

式中：X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T；A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θD,φD)]；S(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T。

2 經典MUSIC算法

由以上討論可知，陣列接收數據的矩陣形式為：

X(t)=AS(t)+N(t)

(6)

則陣列數據的協方差矩陣為：

R=E[XXH]=AE[SSH]AH+δ2I=ARSAH+δ2I

(7)

由于信號不相干且與噪聲相互獨立，數據協方差矩陣可分解為信號、噪聲兩部分。

對R進行特征分解得：

R=ARSAH+δ2I=USΣSUSH+UnΣnUnH

(8)

又由于噪聲子空間與信號子空間正交，故有：UnA(θ,φ)=0，(θ,φ)∈{(θ1,φ1),(θ2,φ2),…,(θD,φD)}。但實際接收數據矩陣是有限長的，即數據協方差矩陣的最大似然估計為：

(9)

式中：L為快拍數。

對R進行特征分解后得到的噪聲子空間特征矢量矩陣Un。由于噪聲的存在，UnA(θ,φ)并不完全正交，由此可以定義出MUSIC空域譜表達式：

(10)

3 改進型MUSIC算法

經典MUSIC算法在信噪比較高、快拍數較多的情況下可得到良好的信號分辨率、測量精度，但在信噪比較小、快拍數較少的情況下，信號分辨率和測量精度會嚴重降低。以二維MUSIC空域譜為例，2個獨立入射信號源入射到八陣元的均勻圓陣上，陣圓半徑與載波波長關系r=2λ,θDOA分別為θ1=66°，φ1=60°；θ2=60°，φ2=60°。

如圖2所示可知，當信噪比和快拍數較大時，經典MUSIC算法的空域譜有2個尖銳的譜峰，可將2個入射角相近的信號源分離；當信噪比和快拍數較小時，基于經典MUSIC算法的空域譜的譜峰不夠尖銳(如圖2)，難以區分，無法將2個入射角相近的信號源分離開來；但通過對圖2中譜峰的觀察，可以看出：在整個譜曲面上，空域譜在取得極大值處光滑；因此可以根據光滑極大值點二階導數小于0的特性，在譜峰處分別對俯仰角和方位角求二階導數，構造新的空域譜，以增加相近信號的分辨率。

圖2 經典MUSIC算法仿真圖

假設俯仰角φ的范圍為Rφ,搜索間隔為Δφ；方位角θ的范圍為Rθ，搜索間隔為Δθ。

由二元離散函數對變量求偏導數可得，在(φk,θn)處離散函數P對自變量φ的一階偏導數為:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

由于P對φ和θ求二階偏導是相互獨立的，所以可以將原譜函數的二階導數P″表示為:

(18)

由以上公式可構成新的空域譜函數；改進方法的基本思想是對MUSIC譜函數極大值點處對方位角和俯仰角求二階偏導，并利用二階偏導小于0的特性，構成新的空域譜函數，再對新譜函數進行峰值搜索，得到信號源DOA[5-6]。

4 仿真與分析

仿真陣列采用陣元數為8的均勻圓陣，陣圓半徑r=2λ，λ為窄帶信號載波波長，噪聲為高斯白噪聲，求導點的領域l=1。

4.1 精度分析

假設有一個遠場窄帶信號源，DOA為θ1=65°，φ1=30°；L=500的條件下，經典MUSIC算法和改進算法的均方根誤差隨SNR變化比較圖見圖3。

觀察圖3(a)、(b)可知：在L=500時，經典MUSIC算法和改進型MUSIC算法測量的俯仰誤差、方位誤差均隨信噪比的增加而減小；并且在給定信噪比的情況下，2種算法的均方誤差大小相近，則2種算法有著相近的測量精度。

圖3 經典MUSIC算法和改進MUSIC算法均方根誤差比較圖

4.2 分辨率分析

假設有2個遠場窄帶信號源，DOA分別為θ1=66°，φ1=60°，θ2=60°，φ2=60°，對2個信號分別使用經典MUSIC算法和改進MUSIC算法進行空間譜估計。經典MUSIC算法和改進MUSIC算法仿真結果對比圖如圖4所示。

圖4 經典MUSIC算法和改進MUSIC算法仿真結果對比圖

觀察圖4(a)、(b)可知，在信噪比、快拍數較高的理想情況下，2種算法的空間譜都出現了2個獨立的譜峰，則均對相近信號具有良好的分辨率；但在信噪比、快拍數較低的非理想情況下，對角度相近的兩信號源進行DOA估計時(圖4(c)、(d))，經典MUSIC算法的空間譜只有一個譜峰，無法有效將2個信號源分開；但在改進MUSIC算法空間譜中，出現了2個獨立譜峰，可將2個信號源準確地分開。

5 結束語

經典MUSIC算法在信噪比較高、快拍數較大時，對信號入射角的二維空間譜估計具有良好的分辨率和測量精度，但在信噪比、快拍數較小時，其二維空間譜的分辨率會嚴重下降。本文針對該問題，提出了利用譜函數極大值點對方位角和仰角的二階導數小于零的特性，通過對方位角和俯仰角求二階偏導數，構造新空間譜函數的新方法。仿真實驗說明，改進MUSIC算法在不改變經典MUSIC算法精度的前提下，可給出更好的分辨率。

[1] 劉德樹，羅青云，張劍云.空間譜估計及應用[M].合肥：中國科學技術大學出版社，1997.

[2] 徐青.基于均勻圓陣的DOA估計算法研究[D].成都：電子科技大學學報，2008.

[3] 司偉建，藍曉宇，劉學.提高二維DOA估計分辨率的改進MUSIC算法[J].西安電子科技大學學報，2012，39(2)：138-144.

[4] 宋海巖，時潔，劉伯勝,等.穩健空間譜估計技術及其應用[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2014.

[5] 張小飛，陳華偉，仇小鋒,等.陣列信號處理及MATLAB實現[M].北京：電子工業出版社,2015.

[6] 徐振海.極化域-空域聯合譜分辨力研究[D].長沙：國防科技大學，2004.

Estimation Technology and Improved Method of Circle Array DOA Based on MUSIC Algorithm

MI Kun-nian，ZHANG Lei

(The 723 Instiute of CSIC，Yangzhou 225001，China)

This paper introduces the estimation technology of circle array direction of arrival (DOA) based on MUSIC algorithm,namely performs the characteristic decomposition to covariance matrix of the data received from uniform circle array,divides the data into signal subspace and noise subspace,and uses the orthogonality of two spaces to form the acicular space peak,performs the estimation of signal source DOA.Aiming at the problem that resolution of signal sources with adjacent incident angles decrease greatly by using conventional MUSIC algorithm in the conditions of small signal to noise ratio and snapshot number,this paper uses the characteristic that second-order partial derivative of spectrum function maximum point to azimuth angle and elevation angle is less than zero,presents a new spatial spectrum function method by taking the second-order partial derivative of azimuth angle and elevation angle.

MUSIC algorithm；direction of arrival estimation；uniform circle array

2016-03-23

TN971.1

A

CN32-1413(2016)05-0024-04

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2016.05.005