軸向載荷作用下H形懸臂梁穩定性能研究

王文浩,茍文選，楊 帆，閆五柱

(1.西北工業大學力學與土木建筑學院，陜西 西安 710129；2.太原科技大學機械工程學院，山西 太原 030024)

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軸向載荷作用下H形懸臂梁穩定性能研究

王文浩1,2,茍文選1，楊 帆1，閆五柱1

(1.西北工業大學力學與土木建筑學院，陜西 西安 710129；2.太原科技大學機械工程學院，山西 太原 030024)

受壓的H形截面梁或柱是機械設備中普遍采用的結構構件，對其承載力的準確預測有重要的意義。本文采用解析法和有限元分析方法，分別計算了屈曲臨界載荷和考慮初始缺陷的后屈曲承載力。通過分析得出主要結論：第一，考慮初始缺陷的后屈曲分析結果比較接近實際情況，與不考慮初始缺陷的臨界載荷相比更接近規范計算值。第二，適用于歐拉公式的細長壓桿屈曲后強度不會提高，因此屈曲后強度不能提供安全儲備。第三，有限元解與規范計算值的差別是由于規范值考慮了安全系數。本文得出的結論可供機械工程設計人員參考。

懸臂梁；屈曲；后屈曲

0 前言

H形梁、柱和工字形梁結構廣泛應用于重型機械行業中[1]，如龍門架、架橋機、塔式起重機、桅桿起重機以及軌道的主要結構部件，橋式起重機主梁，桁架式起重機上下弦桿，門式起重機支腿以及振動設備底座[2]等。其中H形截面由于沿兩主軸方向的截面抗彎模量比較接近，主要用于受壓構件和沿兩個主軸平面受彎的構件；工字形截面由于截面較高，一般僅用于在其腹板平面內受彎的構件。然而在實際工程中，純粹的受壓或者受彎構件是很少見的，因此工字梁也有受壓的要求。作為機械工程主要結構的受壓梁和柱主要工作在彈性階段，因此基于線彈性理論的受壓桿屈曲臨界載荷分析比較常見，基于大變形理論的幾何非線性和材料非線性后屈曲分析較為少見。但由于工程機械本身的工作特點，如露天作業多、超載時有發生以及工作環境的復雜性，大型工程機械在工作狀態或非工作狀態下可能會遭受到強風，地震，山洪，地質滑坡等超過工作載荷，使其結構應力超過彈性極限的載荷作用。2008年5月12日，四川汶川8.0級強震波及西安，全市1200多臺塔吊，30%塔吊不同程度出現了故障和損壞而被迫停用，其中使用高度較高的20臺塔吊受到嚴重損壞[3-4]。可見為機械結構的關鍵承力部件保留一定的安全儲備是非常有必要的。由于鋼結構通常具有較好的塑性變形能力[5]，通過設計達到一定的安全儲備是可行的[6]。本文以一普通H形梁為例，分析了在軸向壓縮載荷作用下的屈曲性能，作為安全儲備，對后屈曲性能也進行了相應的分析。

1 問題描述

圖1 H形截面懸臂梁Fig.1 H-section cantilever beam

本文建立的H形懸臂梁，為工程機械中常用的H形梁，其長度、截面尺寸、受力形式和約束情況如圖1所示，坐標系采用笛卡爾固定坐標系，服從右手螺旋法則，左端為固定端，右端為自由端。梁材料采用普通碳素鋼Q235鋼，彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7.85 g/mm3。載荷P作用于A點，沿梁軸線方向作用，當P達到某一值時候，梁發生屈曲，該梁是否具有更高的后屈曲強度，尚需進一步判斷。由實際情況可知，任何力都應作用在一定的分布面積上，A點作用的集中載荷P與實際情況不符，根據彈性力學[7]圣維南原理集中力P會對梁端部的局部區域內產生與均勻作用的分布力不同的效果，但是在離端部較遠的區域內這種影響可以忽略不計。據此以集中力代替分布力不會對屈曲形式及承載力有顯著影響。 目前預測構件屈曲載荷及后屈曲強度這類問題的方法主要有解析法和數值法。解析方法包括能求出精確解的解析方法和建立在一定的假設條件和適當簡化基礎上的工程算法，規范往往采用后者。數值方法目前較多采用商業有限元軟件進行計算。下面將采用以上方法進行分析。

2 精確解析方法

該方法采用材料力學中分析壓桿穩定性能的原理，先進行失穩類型的判斷，然后確定計算方法，經過判斷如果屬于細長桿受壓，可以直接采用歐拉公式[8]計算得到精確解析結果(以下簡稱解析解)。

首先計算基本的幾何參數。橫截面形心主軸最小慣性矩

橫截面面積

A=150×250-(150-15)×

(250-15×2)=7 800mm2

橫截面最小慣性半徑

失穩類型的判斷。根據文獻[9]，計算壓桿的柔度值。

(1)

式中，λ為壓桿的柔度或長細比；μ為壓桿的長度因數，本文H形梁為懸臂梁，這里取2.0；l為壓桿的幾何長度；i為橫截面最小慣性半徑。

將以上計算結果代入式(1)得

根據桿件穩定性理論，細長壓桿失穩后承載力不能進一步增加。對于考慮初始缺陷的后屈曲計算目前尚沒有精確地解析方法。

3 數值分析

本文采用有限元軟件ANSYS和ABAQUS進行分析，為減少文字冗余，具體過程描述以ANSYS為例，對ABAQUS只將計算結果列出。

3.1 有限元模型建立

本文采用梁單元來模擬H形懸臂梁，梁單元采用精度較高的三節點beam189單元。沿梁長度方向劃分10個單元，網格大小為250mm，單元共計10個，節點20個。通過收斂性檢查10個單元所得結果是足夠精確的。建立的有限元模型如圖2所示。

圖2 H形懸臂梁有限元模型Fig.2 FEM model of H-section cantilever

3.1.1 定義材料屬性

本文選用H形懸臂梁材料密度為7.85g/cm3, 彈性模量為2.06E+5Mp, 泊松比為0.2，,用如下ANSYS命令定義材料屬性：mp,dens,1,7.85e3 ；mp,ex,1,2.06e11；mp,nuxy,1,0.2。

3.1.2 施加載荷和邊界條件

在有限元模型梁的右端A點施加集中力P=1 MN，在梁的左端施加固定端約束，A端自由，如圖3所示。

圖3 H形懸臂梁有限元載荷及約束條件Fig.3 FEM load and constraint condition of H-section cantilever beam

3.2 有限元分析

本文首先對H形懸臂梁進行屈曲模態計算即計算其臨界力。然后進行后屈曲分析計算其屈曲后強度。

3.2.1 臨界載荷

ANSYS中進行屈曲分析過程與ABAQUS中不同，不能直接進行屈曲計算，需要先進行靜力分析，然后再進行模態計算。

在有限元模型建完后，先輸入命令

antype,0

solve

進行求解完成靜力計算，然后，輸入命令

antype,1

bucopt,lanb,2,0

solve

求解屈曲模態，提取前兩階模態。

通過有限元分析計算得到H形懸臂梁的屈曲模態如圖4所示。從圖中可以看出第二階屈曲模態的屈曲因子大約是第1階模態的屈曲因子的7倍，所以第2階模態及以后的模態所占比重很小，發生的可能性很小，實際的屈曲模態應與第1階模態比較接近，以第1階屈曲模態作為H形懸臂梁的臨界失穩模態。計算得屈曲載荷為

圖4 H形懸臂梁屈曲模態Fig.4 buckling mode of H-section cantilever beam

3.2.2 后屈曲載荷

后屈曲分析是在屈曲模態分析的基礎上，在上文計算出的第1階模態變形的基礎上乘以一個縮放系數(2階以上模態產生的影響忽略不計)，疊加到原結構的每一個坐標點上，作為結構的位移初始擾動[10]。這個初始擾動也稱為初始偏心，以此來代表本文H形梁的初始缺陷，此處初始偏心取H形梁截面較小尺寸的5%，即：150×5%=7.5 mm，考慮尚有安裝偏差、構件加工誤差等其它因素，將其一并計入初始偏心距中，故取為10 mm，縮放系數取0.01，相當于梁的最大偏移值為10 mm。然后去掉原模型上的力，施加新的載荷進行非線性迭代計算，直到收斂。

后屈曲分析中主要的設置包括首先使用命令nlgeom,1打開大變形，然后進行弧長法設置和弧長法終止準則：

arclen,1

arctrm,l

進行載荷子步設置

nsubst,200,,,1

提交ANSYS計算

solve.

最后得ANSYS計算結果是：

ABAQUS計算結果是：

得出載荷與位移曲線如圖5所示，從載荷位移曲線可以看出H形梁受壓過程中，在臨界值時達到最大承載力，進入后屈曲階段后載荷沒有增加。

圖5 H形梁壓縮載荷位移曲線Fig.5 Compressive load-axial displacement curves of H-section beam

4 根據規范推薦公式計算

鋼結構設計規范[11]推薦的實腹式軸心受壓構件的穩定性按公式(3)計算。

(2)

式中，N為所計算構件段范圍內的軸向壓力，此處N待定；φ為彎矩作用平面內的軸心受壓構件穩定系數，此處根據規范[11]查得φ=0.303；f為鋼材的抗壓強度設計值，此處根據規范[11]查得f=215MPa。

將已知數代入公式(2)并取等號得屈曲臨界載荷為：

Nbuckling=508 131N

考慮到梁有10mm的初始偏心，以第一階模態變形為梁的初始變形，根據鋼結構設計規范[9]實腹式壓彎構件，彎矩作用平面內的穩定性采用如下公式計算：

(3)

式中， N為所計算構件段范圍內的軸向壓力；此處N待定

φx為彎矩作用平面內的軸心受壓構件穩定系數，此處根據規范[7]，查得φx=0.303；

Mx為所計算構件段范圍內的最大彎矩，此處Mx為梁端部的初始偏心乘以軸向壓力N。

則Mx=10×N

W1x為在彎矩作用平面內對較大受壓纖維的毛截面模量，此處

βmx為等效彎矩系數，對于懸臂構件βmx=1.0；γx為與截面模量相應的截面塑性發展系數，此處查規范[11]得γx=1.2；f為鋼材的抗壓強度設計值，此處查規范[11]得f=215MPa。

將已知參數代入公式(3)，同時取等式，可得

解之得按規范計算的承載力為：Ndefect=380 090N

4 討論

H形梁軸心受壓臨界失穩載荷的有限元解與解析解的比較如表1所示，可以看出有限元計算結果與解析分析結果非常接近。表2列出了規范計算值與解析解和有限元解的比較。考慮工程實際情況復雜性和預測上的困難，規范計算值取值一般比較保守，通過安全系數來提高構件的可靠性，本文H形梁采用Q235鋼塑性較好，由文獻[9]可知桿件安全因數的參考數值對于塑性材料一般取ns=1.2～2.5。由表2可知，解析解、有限元解與規范計算值的比值分別為1.36、1.36、1.35均位于1.2～2.5之間。

表1 H形梁軸心受壓臨界載荷有限元解與解析解的比較

表2 H形梁規范計算值與解析解和有限元解的比較

對于屈曲后強度的解析解現有方法計算結果不夠準確，現將有限元計算結果列于表3。后屈曲有限元計算已經考慮了構件的初始缺陷的影響，在這種情況下，本質上屬于壓彎構件的非線性大變形計算，由上文可知安全系數為ns=1.2～2.5。表4列出了有限元解與規范計算值的對比結果。從表4中可得有限元解與規范計算值得比值分別為1.47、1.44，均位于1.2～2.5范圍內。

表3 H形梁軸心受壓考慮初始缺陷的有限元結果比較

表4 H形梁后屈曲有限元解與規范計算值比較

通過分析可知，考慮初始缺陷的臨界載荷明顯低于未考慮缺陷的臨界載荷值。由解析分析顯示，該梁屬于細長壓桿，這種類型的構件在軸向壓力達到臨界值后，就喪失了承載力，所以臨界值是承載力的上限，構件屈曲后承載力不可能再增加；通過有限元后屈曲強度分析該梁在達到臨界載荷后，承載力逐漸降低，后屈曲強度沒有進一步增長，屬于極值點失穩，如圖5所示，與解析分析結果相同。

5 結論

本文通過解析法、有限元分析方法，分別計算了屈曲臨界載荷和考慮初始缺陷情況下的最大承載力，得出以下幾點結論，供機械設計人員參考。

(1)解析解和有限元解均能準確的預測軸心受壓梁的屈曲臨界載荷，其精度十分接近。

(2)適用于歐拉公式的受壓細長桿，屈曲后強度不會有所提高，屬于極值點失穩，不能為結構提供安全儲備。

(3)軸心受壓梁的臨界載荷規范計算值與有限元解和解析解比值位于文獻[9]安全系數的合理范圍1.2～2.5之間。

(4)采用后屈曲分析方法可以考慮材料的初始缺陷和材料的非線性，比較符合工程實際情況，它與臨界值相比更接近規范計算結果。

(5)考慮初始缺陷和材料非線性的后屈曲承載力，有限元解與規范計算值的比值位于文獻[9]安全系數的合理范圍1.2～2.5之間。

(6)通過本文算例可以得出按規范計算的后屈曲承載力要比臨界力更加保守。

[1] 署恒木. 工字形截面外伸梁的側向屈曲[J]. 佳木斯大學學報,1999(4):392-396.

[2] 高旭，崔文好. 振動篩側板強度分析及實驗研究[J]. 重型機械，1999(4):24-27.

[3] 杜平虎，何學華. 地震對塔吊損壞的啟示[J]. 中國特種設備安全，2009(3):65-67.

[4] 地震導致西安塔吊被震斷[J]. 建筑安全, 2008(6):27-27.

[5] Hwon-mo Park, Jae-hyouk Choi. Evaluation on the post-buckling residual strength of H-shaped steel column[J]. Procedia Engineering, 2011,10:3387-3392.

[6] Daniel Y. Abebe, SijeongJeong, Jeonghyun Jang, Jaehyouk Choi, Jeong-Ung Park. Study on inelastic buckling and residual strength of H-section steel column member [J]. International journal of steel structures, 2015,15(2):365-374.

[7] 徐芝綸彈性力學[M].北京：高等教育出版社，2006.

[8] 馮賢貴. 細長壓桿臨界壓力歐拉公式的統一推導[J]. 力學與實踐，2003(4): 65-67.

[9] 茍文選·材料力學[M].北京：科學出版社，2010.

[10]邢靜忠. ANSYS應用實例與分析[M]. 北京：科學出版社，2006.

[11]中華人民共和國建設部. GB50017-2003鋼結構設計規范[S]. 北京：中國計劃出版社，2003.

Research on stability of H-section cantilever beam unber axial load

WANG Wen-hao1，2，GOU Wen-xuan1,YANG Fan1,YAN Wu-zhu1

(1. School of Mechanics, Civil Engineering and Architecture, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710129，China；2.School of Mechanical Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

Compressed H-section beams or columns are widely used as structure members of mechanical equipment, and so it is very important that precisely forecast its bearing capacity. In this paper, the critical buckling load and the post-buckling bearing capacity considering initial imperfection was calculated by analytic method and finite element method (FEM). By analysis the main conclusion is as follows: firstly, the result of post-buckling considering initial imperfection is closer to reality condition than critical buckling load which is not considering initial imperfection; secondly, the post-buckling bearing capacity of slender compression member meeting conditions of Euler formula is not increased, and therefore the post-buckling bearing capacity cannot provide enough margin of strength; lastly, discrepancies between FEM results and code results are that the latter takes account the coefficients of safety.

cantilever beam; buckling; post-buckling

2016-05-10；

2016-06-15

山西省自然科學基金(2013011022-6)

王文浩(1976-)，男，講師，博士研究生，研究方向：先進材料與結構的力學行為，機械設計等。

TU391

A

1001-196X(2016)05-0036-06