新型三自由度多連桿混合驅動機構的運動學分析和工作空間數值求解

朱凱君，蔡敢為，張 林，陳 淵，唐劍波

(1.廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室 廣西大學機械工程學院，廣西 南寧 530004；2.山東交通大學工程機械學院，山東 濟南 250357)

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新型三自由度多連桿混合驅動機構的運動學分析和工作空間數值求解

朱凱君1，蔡敢為1，張 林2，陳 淵1，唐劍波1

(1.廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室 廣西大學機械工程學院，廣西 南寧 530004；2.山東交通大學工程機械學院，山東 濟南 250357)

可控機構是指單自由度機構中的某些結構運動參數或機構輸入運動，和多自由度閉鏈機構中的某些運動可由微機進行實時控制，或以人工方式進行多個固定位置的控制，以達到柔性輸出、改善機構的運動學和動力學特性的目的。基于可控機構理論提出了一種新型三自由度多連桿混合驅動可控機構，并使用Newton-Raphson法對該混合驅動機構進行運動學建模，得到該混合驅動機構的正逆解，然后對該可控機構正解進行了數值求解，最后利用運動學正解和奇異性判斷條件在MATLAB軟件中進行程序編寫，得到該可控機構主要工作空間參數，并且繪制了工作空間示意圖。其結果顯示該混合驅動機構不僅具有靈活度高、微機實時控制、柔性化輸出的優點，而且工作空間符合挖掘作業要求，在工程上具有一定的實用性。本研究為該混合驅動機構后續的動力學分析和控制系統設計提供了基礎。

可控機構；混合驅動機構；Newton-Raphson法；運動學正逆解；工作空間

0 前言

混合驅動機構[1]是可控機構[2]的一個分類，同時采用了常用電機(不可控電機)和伺服電機(適時可控電機)作為動力源。混合驅動機構的概念是在20世紀90年代初由Tokuz[3]首次提出，經歷了20多年的發展研究，各國學者在各個方面對其進行了深入地研究，取得了很多重要的研究成果。

運動學分析[4]是混合驅動機構設計的主要問題之一，包括了工作空間、奇異性、運動學設計等方面，于洪英[5]等推導了五桿機構的運動學正解和運動學逆解方程，并基于Kane動力學方程，對五桿機構進行了動力學分析；王進戈[6]等基于求坐標推導出了具有兩自由度特征的球面五桿機構的速度方程和雅可比矩陣的解析表達式，研究了球面五桿機構奇異位形及其靈活度；鄧嘉鳴[7]等研究一種雙滑塊驅動的平面五桿機構及其運動特征，并且分析了機構末端操作點運動在不同軌跡時兩滑塊驅動的運動規律及特性；Li[8]等對混合驅動七桿機構的運動規律進行了研究，通過仿真建模分析了混合驅動七桿機構的工作。

1 新型混合驅動機構構型

基于可控機構理論[9]，設計出一種新型三自由度多連桿混合驅動機構。如圖1所示，第一主動桿和第二主動桿由伺服電機驅動，可通過微機編程進行實時控制，并且將電機和減速器全部安裝在機架上，減小了動臂、斗桿的轉動慣量，具有良好的動力學特性，并且使用了兩個四桿機構來控制小臂，且將其中一個桿件安裝在大臂上，可以保證滿足各機構奇異性[10]的前提下，使該混合驅動機構具有較大的工作空間。

圖1 新型三自由度多連桿混合驅動機構三維模型圖Fig.1 3-D model of a novel 3-DOF multi-link hybrid driving mechanism

2 混合驅動機構的運動學分析

2.1 混合驅動機構的運動學建模

連桿機構運動學分析方法主要有解析法和數值法[11]，數值法相比于解析法，其優點在于可以高效率的求解桿件數量多、結構復雜的機構以及耦合度高、非線性的運動模型[12]，所以本文利用Newton-Raphson數值算法[13]建立該混合驅動機構的運動學模型。

圖2 混合驅動機構的機構簡圖Fig.2 Schematic diagram of hybrid driving mechanism

圖3 混合驅動機構矢量圖Fig.3 Vector diagram of hybrid driving mechanism

將這些矢量關系式展開，可以得到

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2.2 混合驅動機構位姿的運動學正解

在該混合驅動機構中，主動桿為第一主動桿、第二主動桿和電動推桿，輸出機構為挖掘機大臂、小臂和鏟斗，故該混合驅動機構位姿的運動學正解可描述為：已知機構中各構件的尺寸長度li(i=1,2,…,19)，機架鉸點的位置xB,yB，給定第一主動桿輸入角φ1和第二主動桿輸入角φ4以及電動推桿的長度l13，求解機構中大臂位置角θ1、小桿的位置角θ2以及鏟斗角位置角θ3和鏟斗頂點的坐標xQ,yQ。

如圖所示，根據正解的已知條件，對式(1)～(5)中所含的待求參數進行分析：

(1)在式(1)中，位置角φ1為已知參數，位置角φ2,φ3為待求參數；

(2)在式(2)中，位置角φ4為已知參數，且位置角φ6=φ3+∠GAD也為已知參數，則位置角φ5,φ7為待求參數；

(3)在式(3)中，位置角φ8=φ7為已知參數，且位置角φ11=φ3+π-∠JDA-∠DJG也為已知參數，位置角φ9,φ10為待求參數；

(4)在式(4)中，位置角φ14=φ10，且位置角φ12=φ10+∠KIM為已知參數，位置角φ13,φ15為待求參數；

(5)在式(4)中，位置角φ18=φ10，且位置角φ16=φ15-∠LMN為已知參數，位置角φ17,φ19為待求參數。

通過上述分析可得到所有待求參數：φ2,φ3,φ5,φ7,φ9,φ10,φ13,φ15,φ17,φ19，將所述上式整理成關于這些待求參數的10維非線性方程組。即

(6)

(7)

寫成矩陣形式

JPδ=F

(8)

其中，

(9)

(10)

(11)

a1,1=-l2sinφ2,a1,2=-l3sinφ3

a2,1=l2cosφ2,a2,2=l3sinφ3

a3,2=l6sin(φ3+∠GAD),a3,3=-l5sinφ5,a3,4=l7sinφ7

a4,2=-l6cos(φ3+∠GAD),a4,3=l5cosφ5,a4,4=-l7cosφ7

a5,2=l11sin(φ3+π-∠JDA-∠DJG),a5,4=-l8sinφ7，a5,5=-l9sinφ9,a5,6=-l10sinφ10

a6,2=-l11cos(φ3+π-∠JDA-∠DJG)，a6,4=l8cosφ7,a6,5=l9cosφ9,a6,6=l10cosφ10

a7,6=-l12sin(φ10+∠KIJ)+l14sinφ10，a7,7=-l13sinφ13,a7,8=-l15sinφ15

a8,6=l12cos(φ10+∠KIJ)-l14cosφ10，a8,7=l13cosφ13,a8,8=l15cosφ15

a9,6=l18sinφ10，a9,8=-l16sin(φ15-∠MLN),a9,9=-l17sinφ17,a9,10=l19sinφ19

a10,6=-l18cosφ10,a10,8=l16cos(φ15-∠MLN),a10,9=l17cosφ17,a10,10=l19cosφ19

上式中的矩陣J為一階偏導數矩陣，又稱Jacobian矩陣，矩陣δ為校正矢量。將式(8)兩邊同乘以J-1，可得

δ=J-1F

(12)

φ(1)=φ(0)+δ

(13)

由此得到了迭代方程

φ(k+1)=φ(k)+δ(k)+δ(k)(k=1,2,3,…)

(14)

直到|δ(k)|≤ε，其中ε表示收斂精度。當經過k次迭代后，得到的校正矢量的模小于收斂進度ε時，即得到的φ(k+1)為滿足精度要求的非線性方程(2～6)的數值解。則挖掘機構動臂位置角θ1、斗桿位置角θ2、鏟斗的位置角θ3，以及鏟斗齒尖的坐標可由下式得出

(15)

2.3 混合驅動機構位姿的運動學逆解

混合驅動機構位姿的運動學逆解是正解的逆向過程，故其位姿的運動學逆解可描述為：給定大臂、小臂和鏟斗的位置角位參數θ1,θ2,θ3，求解第一主動桿位置角φ1、第二主動桿位置角φ4以及電動推桿的長度 。

由式(15)可得：

(16)

聯立式(1)～(5)與(16)。

根據逆解的已知條件，對式(1)至(5)中所含的待求參數進行分析，可得到上式中所有待求參數：φ1,φ2,φ4,φ5,φ8,φ9,φ13,φ16,φ17,l13，且有

φ6=φ3+∠GAD,φ7=φ8，φ11=φ3+π-∠JDA-∠DJG,φ12=φ10+∠KIM，φ14=φ10,φ15=φ16+∠LMN,φ18=φ10

將所述上式整理成關于這些待求參數的10維非線性方程組

(17)

J1δ=F

(18)

其中

(19)

(20)

(21)

a1,1=-l1sinφ1,a1,2=-l2sinφ2

a2,1=l1cosφ1,a2,2=l2cosφ2

a3,3=-l4sinφ4,a3,4=-l5sinφ5，a3,5=l7sinφ8

a4,3=l4cosφ4，a4,4=l5cosφ5,a4,5=-l7cosφ8

a5,5=-l8sinφ8,a5,6=-l9sinφ9

a6,5=l8cosφ8,a6,6=l9cosφ9

a7,7=-l13sinφ13,a7,8=l15sin(φ16+∠LMN)，a7,10=cosφ13

a8,7=l13cosφ13,a8,8=-l15cos(φ16+∠LMN),a8,10=sinφ13

a9,8=-l16sinφ16,a9,9=-l17sinφ17

a10,8=l16cosφ16,a10,9=l17cosφ17

根據正解過程中的數值算法，即可求出φ(φ1,φ2,φ4,φ5,φ8,φ9,φ3,φ16,φ17,l13,)滿足精度要求ε的數值解，進而得到第一主動桿位置角φ1、第二主動桿位置角φ4以及電動推桿長度l13。

3 混合驅動機構工作空間數值求解

工作空間[14]是機構的工作區域，是衡量機構性能和實用性的重要指標。在該混合驅動機構中，輸出的構件是鏟斗，故可用鏟斗頂點Q的可達區域當作該混合驅動機構的工作空間。

從圖2所示的機構簡圖可以看出各個桿件之間的容易發生奇異性的位置，如圖3所示的機構矢量圖所示，機架鉸點B點在的坐標為：xB=100 mm，yB=-300 mm,大臂長度：LAJ=1 600 mm，小臂長度：LJN=1 000 mm，鏟斗長度：LNQ=450 mm，如表1所示的各構件尺寸參數，并基于所得到的運動學正解并添加奇異性判斷條件編寫MATLAB程序[15]，可以求出Q點的可達區域，得到該混合驅動機構工作空間的主要參數，如表2所示，以及工作空間示意圖，如圖4所示。

圖4 混合驅動機構工作空間示意圖Fig.4 Sketch diagram of hybrid driving mechanism’s working space

桿件l1l2l3l4l5l6l7l8l9桿長/mm2508007202508008002503501000構件l10l11l12l14l15l16l17l18l19桿長3501003201250170180150100130

表2 混合驅動機構工作空間的主要參數

4 結束語

本文基于可控機構理論提出了一種新型三自由度多連桿混合驅動機構，基于Newton-Raphson法對該混合驅動機構進行運動學位姿分析，得到了其運動學的正逆解，在其正解結果的基礎上，添加機構奇異性的判斷條件，用MATLAB軟件對其進行了程序編寫，得到了該機構工作空間的主要參數，并且繪制工作空間示意圖，由此可知該機構可以應用在挖掘作業上，驗證了該混合驅動機構在工程上的實用性。

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Kinematic analysis and working space numerical solution of a novel three degree of multi-link hybrid-driven mechanism

ZHU Kai-jun1, CAI Gan-wei2, ZHANG Lin1, CHEN Yuan1, TANG Jian-bo1

(1.Guangxi Key Laboratory of Manufacturing System & Advanced Manufacturing Technology, College of Mechanical Engineering of Guangxi University, Nanning 530004, China; 2.College of Engineering Machinery of Shandong Jiaotong University, Jinan 250357, China)

Controllable mechanism refers to a single degree of freedom mechanism with some structures’ motion parameters or input motion, and multi-degree of freedom linkage mechanism with some motion can be real-time controlled by computer or multiple fixed position be controlled by hand, in order to get flexible output and improve the kinematic and dynamic characteristics of mechanism. According to the controllable mechanism theory, a novel three degree of multi-link hybrid-driven mechanism was developed , and established the kinematic model of hybrid-driven mechanism based on Newton-Raphson method, and obtained the forward and inverse solution of hybrid-driven mechanism’s position, and numerical solution of the forward solution. According to the kinematic forward solution and the singularity judgment condition, the program was wrote in MATLAB, then obtained the working space main parameters and sketch map of hybrid-driven mechanism. The results show the hybrid-driven mechanism is favorable flexible, all-time control, flexible output and practicable, and the working space meets mining operation. This study provides a basis for the subsequent dynamic analysis and control system designing of the hybrid-driven mechanism.

controllable mechanism; hybrid-driven mechanism; Newton-Raphson method; kinematic forward and inverse solution; working space

2016-03-04；

2016-04-17

國家自然科學基金項目(51075077)

朱凱君(1990-)，男，廣西大學機械工程學院碩士研究生。

TH112.2

A

1001-196X(2016)05-0061-07