解直角三角形的應用

文/嚴云海

解直角三角形的應用

文/嚴云海

解直角三角形的應用是銳角三角函數的重要內容.近年來運用解直角三角形的知識解決與生活相關的應用題成為中考命題的熱點.解題的關鍵是建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題求解.下面以2016年中考題為例，歸納這類問題的解法.

解直角三角形涉及各種圖形，熟悉基本圖形及其對應線段之間的關系是解題的前提.

一、基本圖形

二、典型應用

1．仰角、俯角問題

例1（2016年昆明卷）如圖1，大樓AB右側有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測得障礙物邊沿點C的俯角為30°，測得大樓頂端A的仰角為45°（點B，C，E在同一水平直線上），已知AB=80m，DE=10m，求障礙物B，C兩點間的距離（結果精確到0.1m.參考數據：≈1.414，≈1.732）.

圖1

分析：如圖1，過點D作DF⊥AB于點F，過點C作CH⊥DF于點H援解Rt△AFD可得到DF的長度，解Rt△DCE可得到CE的長度，則BC=DF原CE援

解：如圖1，過點D作DF⊥AB于點F，過點C作CH⊥DF于點H，則DE=BF=CH=10m.

在Rt△ADF中，疫AF=80m-10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．

在Rt△CDE中，疫DE=10m，∠DCE=30°，

答：障礙物B，C兩點間的距離約為52.7m．

方法歸納：仰角、俯角問題通常涉及多個仰角或俯角，解題時，利用三角函數的定義分別在仰角或俯角所在的直角三角形中求出相應線段的長度，從而求解.當題中的關系比較復雜時，可先設未知數，用同一個未知數表示問題中不同的量，列方程求解.

2．坡度、坡角問題

例2（2016年濟寧卷）某地的一座人行天橋如圖2所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1，為了方便行人推車過天橋，有關部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1∶

（1）求新坡面的坡角琢；

（2）原天橋底部正前方8米處（PB的長）的文化墻PM是否需要拆除？請說明理由．

圖2

答：新坡面的坡角琢為30°.

（2）文化墻PM不需要拆除．理由如下：

過點C作CD⊥AB于點D，則CD=6.

∴文化墻PM不需要拆除．

方法歸納：解答這類問題，需要作高構造直角三角形.根據坡比的定義，將坡比轉化為線段的長度比是解題的關鍵.

3．方位角問題

例3（2016年常德卷）南海是我國的南大門.如圖3所示，某天我國一艘海監執法船在南海海域進行常態化巡航，在A處測得北偏東30°方向上、距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行，便迅速沿北偏東75°的方向前往監視巡查，經過一段時間后，在C處成功攔截不明船只.問：我海監執法船在前往監視巡查的過程中行駛了多少海里（最后結果保留整數）？

（參考數據：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659， tan75°=3.732，=1.732，=1.414）

圖3

分析：過B作BD⊥AC，在Rt△ABD中，可求出BD與AD的長，在Rt△BCD中，可求出CD的長，從而求出AC的長．

解：過B作BD⊥AC，

疫∠BAC=75°-30°=45°，

∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，

答：我海監執法船在前往監視巡查的過程中行駛了67海里．

方法歸納：要掌握方位角的表示方法，將實際問題抽象成數學問題，轉化為解直角三角形.當不是直角三角形時，通過作高轉化為直角三角形求解.

4．其他問題

圖4

例4（2016年山西卷）太陽能光伏發電因其清潔、安全、便利、高效等特點，已成為世界各國普遍關注和重點發展的新興產業．如圖4是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼AB的長度相同，均為300cm，AB的傾斜角為30°，BE=CA=50cm，支撐角鋼CD，EF與底座地基臺面接觸點分別為D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于點E．兩個底座地基高度相同（即點D，F到地面的垂直距離相同），均為30cm，點A到地面的垂直距離為50cm.求：支撐角鋼CD和EF的長度各是多少cm（結果保留根號）？

分析：過A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，連接FD并延長與BA的延長線交于H，在Rt△CDH中，根據三角函數的定義得到CH=90，在Rt△EFH中，根據三角函數的定義即可得到結論．

解：過A作AG⊥CD于G，則∠CAG=30°.

∵GD=50-30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45.

連接FD并延長與BA的延長線交于H，則∠BHF=30°，

∴EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290，

方法歸納：這類問題的背景往往是某一個生活用品(或其剖面圖)，文字較長，概念較多，解題時，要邊閱讀題干邊看圖形，將實物（或剖面圖）抽象成數學圖形求解.

責任編輯：王二喜