解銳角三角函數(shù)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤

文/李月恬

解銳角三角函數(shù)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤

在解答銳角三角函數(shù)題時(shí)，同學(xué)們要注意避免以下錯(cuò)誤．

一、銳角三角函數(shù)的概念不清

例1（2016年金華卷）一座樓梯如圖1所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為茲．現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要（）

圖1

錯(cuò)解：在Rt△ABC中，

錯(cuò)因診斷：角茲的正切等于對(duì)邊比鄰邊．

∴AC+BC=4+4tan茲（米），

∴地毯的面積至少需要1×（4+4tan茲）=4+4tan茲（米2）.選D．

溫馨小提示：正弦、余弦、正切都是研究直角三角形中銳角與兩邊比值的關(guān)系，已知其中的兩個(gè)量，就可求出第三個(gè)量．

二、誤認(rèn)為直角三角形中∠C一定是直角

例2（2016年蘭州卷）在Rt△ABC中，∠B越90°，sinA越，BC越6，則AB越（）

A.4.B.6.C.8.D.10.

錯(cuò)因診斷：因?yàn)椤螧=90°，所以AC為斜邊.

溫馨小提示：在解題時(shí)要認(rèn)真審題，分清斜邊和直角邊，以防出錯(cuò).

三、混淆了正弦（正切）與余弦函數(shù)的增減性

A．30°＜琢＜45°.B.45°＜琢＜60°.

C．60°＜琢＜90°.D.30°＜琢＜60°.

錯(cuò)因診斷：當(dāng)琢為銳角時(shí)，正弦和正切值隨著角度的增大而增大，余弦值隨著角度的增大而減小．

故45°＜琢＜60°．選B．

溫馨小提示：要熟記三種三角函數(shù)的增減性和特殊角的三角函數(shù)值．

四、未說(shuō)明直角三角形就應(yīng)用三角函數(shù)的概念解題

例4（2016年威海卷）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（）

圖2

錯(cuò)解：連接BF.疫BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，亦BE=3，

錯(cuò)因診斷：用三角形邊的比表示銳角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中，必須先證明△BCF是直角三角形,才能應(yīng)用三角函數(shù)的概念來(lái)解題.

正解：連接BF，疫BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，亦BE=3，又∵AB=4，∴AE=由折疊可知，AE垂直平分BF，又∵∠ABE=90°，亦∠CBF=∠BAE，∴sin∠CBF=

∵FE=BE=EC，亦∠BFC=90°，∴sin∠CBF=選D.

溫馨小提示：在應(yīng)用三角函數(shù)概念解題時(shí)，一定是在直角三角形中，若不是直角三角形，則需證明或構(gòu)造出直角三角形.

五、在非直角三角形中應(yīng)用銳角三角函數(shù)求值

例5（2016年福州卷）如圖3，6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知菱形的一個(gè)角（∠O）為60°，A，B，C都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值是．

錯(cuò)解：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，則AC=2a.由題意∠O=60°，可知BC=a，∴

圖3

圖4

錯(cuò)因診斷：銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的,但△ABC顯然不是直角三角形，必須將∠B放在直角三角形中，才能應(yīng)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)來(lái)求解.

正解：如圖4，連接EA，EC，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，由題意

溫馨小提示：在非直角三角形中，不能直接用三角函數(shù)的概念求值.網(wǎng)格中，格點(diǎn)圖形的角度、邊長(zhǎng)都可利用勾股定理計(jì)算出來(lái)，這是隱含條件，要充分利用.

六、思考問(wèn)題不全面而漏解

圖5

圖6

錯(cuò)解：如圖5，設(shè)CD越x，由BD∶CD越2∶1得BD越2x，BC越BD垣CD越3x越6，解得x越2，BD越4.

錯(cuò)因診斷：高AD不一定在△ABC的內(nèi)部，應(yīng)分兩種情況：（1）高AD在△ABC內(nèi)部；（2）高AD在△ABC外部.錯(cuò)解沒(méi)有考慮第（2）種情況.

正解：設(shè)CD越x，由BD∶CD=2∶1得BD越2x.（1）若高AD在△ABC的內(nèi)部，如圖5，解法同上；（2）若高AD在△ABC的外部，如圖6，BC越BD原CD越x越6，BD越12，由tanB越故△ABC的面積為8或24．

溫馨小提示：對(duì)于沒(méi)有確定三角形高的位置的“涉高”問(wèn)題，要對(duì)高的位置分類討論，謹(jǐn)防漏解.

七、忽視三角函數(shù)值的取值范圍

例7已知銳角A滿足關(guān)系式2sin2A-7sinA+3越0，則sinA的值為．

錯(cuò)解：由2sin2A-7sinA+3越0，即（sinA-3）（2sinA-1）＝0．

∴sinA-3越0或2sinA-1越0，即sinA越3或sinA越

錯(cuò)因診斷：由于A為銳角，所以本題隱含著0＜sinA＜1，0＜cosA＜1的條件，因此sinA越3應(yīng)舍去，只有一個(gè)值sinA越．（正解略）.

溫馨小提示：對(duì)于銳角三角函數(shù)有結(jié)論：（1）sin2A+cos2A=1（平方關(guān)系），tanA=商的關(guān)系）；（2）0＜sinA＜1，0＜cosA＜1（正弦和余弦的有界性），tanA＞0（正切的非負(fù)性）．

責(zé)任編輯：王二喜