圖形相似中的數學思想

文/朱廣科

圖形相似中的數學思想

圖形相似是初中數學的重要內容.它包含著幾種數學思想.現以2016年中考題為例,把圖形相似的常見數學思想歸納如下,供你學習時參考.

一、方程思想

例1（2016年安順卷）如圖1，矩形EFGH內接于△ABC，且邊FG在BC上，若AD⊥BC，BC=3，那么EH的長為．

解：疫四邊形EFGH是矩形，亦EH∥BC，亦△AEH∽△ABC，

點評：根據相似三角形的性質得到對應邊成比例，設未知數，利用比例式作為相等關系建立方程.

圖1

圖2

二、函數思想

例2（2016年泰安卷）如圖2，正△ABC的邊長為4，點P為BC邊上的任意一點（不與點B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于點D援設BP=x，BD=y，則y關于x的函數圖象大致是（）

解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=60°，

∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，∴∠BPD=∠CAP，

∴△BPD∽△CAP，亦BP∶AC=BD∶PC，

∵正△ABC的邊長為4，BP=x，BD=y，

點評：利用相似三角形的性質建立了y與x的二次函數關系式，問題化難為易，要注意自變量的取值范圍.

圖3

三、轉化思想

例3（2016年齊齊哈爾卷）如圖3，在△ABC中，AD⊥BC，

BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點F援

（1）求證：△ACD∽△BFD；

（2）當tan∠ABD=1，AC=3時，求BF的長．

解：（1）證明：疫AD⊥BC，BE⊥AC，

亦∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，

亦△ACD∽△BFD．

（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°，∴AD=BD，

又∵△ACD∽△BFD，亦△ACD≌△BFD，亦BF=AC=3．

點評：全等是特殊的相似，它的相似比是1，在相似問題中添加條件，可轉化為全等問題求解.

四、分類討論思想

例4（2016年河南卷）如圖4，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，點E為射線BC上一個動點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B憶處，過點B憶作AD的垂線，分別交AD，BC于點M，N援當點B憶為線段MN的一個三等分點時，BE的長為．

解：由翻折的性質，得AB=AB憶，BE=B憶E．

圖4

點評：當圖形的形狀或圖形的位置不確定時，需分類討論.本題由于三等分點的位置關系不確定，需要討論，謹防漏解.

責任編輯：王二喜