從“有限”到“無限”實現數學思維方式的轉變

范利萍

【摘要】本文以幾個簡單的數學問題為例，闡述了數學中從有限到無限這一看似簡單的數量變化而導致的相關結論的根本差異，啟發學生用變化的觀點看待問題，擺脫有限思維的限制，實現數學思維方式的轉變.

【關鍵詞】有限;無限;集合;空間

【基金項目】本文系河南大學本科教學改革研究與實踐項目，編號是HDXJJG2019-106，項目名稱：數學專業分析類課程教學改革與探索

在高等學校的數學課程中，極限思想幾乎貫串了課程的始終，而初等數學到高等數學研究方法的轉變，最根本的就是從有限到無限的思維方式的轉變.無論是初識極限的高中生，還是將要系統學習極限理論的數學或非數學專業新生，都需要先接受從有限到無限這一量變到質變的過程.只有充分了解二者的辯證關系，才能真正理解極限的實質.在進行高等數學的學習之前，教師就這一問題與學生做簡單的分析與探討，不僅能夠提高學生的學習興趣，而且能夠幫助學生理解一些極限求解方法的特點與本質，對極限理論以及后續分析類課程的學習都大有裨益.下面我們就以幾個數學問題及其擴展問題為教學案例對有限與無限的關系進行簡單探討.

一、無窮旅館的故事

無窮旅館的故事能夠很有效地幫助學生理解有限與無窮的本質區別，教學設計中我們可以循序漸進地提出問題，然后逐步引入問題背后的數學原理.

問題引入：希爾伯特在談到“無限大數”的性質時講了一個故事：一家旅館內設無窮多個房間（首先要接受無窮多個房間這樣一個假設）.有一天，所有的房間都住了客人（即旅館已經住滿了）.這時有一位新客，想入住該酒店.如果是現實生活中的情形，房間數量有限，老板當然會說：“對不起，已經住滿了.”可是旅館主人的回答是：“不成問題！”那么他是怎樣解決問題的呢？

學生通常能想到的只有現實生活中常見的將一間分成兩間，騰出一個沙發等非數學問題的解決辦法，幾乎無人從無窮多個房間的角度去思考（有限思維限制了我們的想象）.而該問題的答案正是基于“無窮多”這一特點.事實上，旅館老板的答案是：將1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到3號房間，3號房間的旅客移到4號……依此類推，每一間的旅客都往后移動一間，就空出了1號房間.

有不少同學會提出質疑：最后一間的旅客怎么辦？如此，自然地引入本節問題，說明無窮和有限的最本質區別，即沒有最后一項.因此所有與“最后一間”相關的問題，前提都是不正確的.

進一步，能否騰出任意（有限）間房？答案當然是肯定的，方法同上.

最后再提出問題：能否騰出無窮多個房間？

有了前面的鋪墊，有同學已經能夠想到讓第n號房間的旅客移到第2n號房間的方法，或者類似地n號移到（2n+1）號，或者n號移到3n號，等等.

二、集合的勢

由上一例子的最后一個問題再進一步引申：正整數集和正偶數集所含元素個數是否可以看成一樣多？

簡單地比較，正整數包含正的奇數和偶數，自然是正整數集所含的元素個數多.通過這一例子，可以自然地引出實變函數課程中對于集合勢的定義.

可見，從有限集到無限集，除了元素個數增加這個量變過程，更有質的飛躍.因此，有限情況下成立的結論在無限情況時未必成立.

三、關于數列和無窮級數

數列極限性質中有一條重要性質：增加、去掉或改變數列的有限項，數列的斂散性不變.

無窮級數中也有類似結論：增加、去掉或改變級數的有限項，級數的斂散性不變.

理解這兩條性質的關鍵在于理解“有限項”的含義.事實上，級數的斂散性本質上屬于數列的斂散性.一個數列有無窮多項，而決定數列斂散性的關鍵因素在于從某一項開始后面無窮項的性質，即數列的變化趨勢.改變有限項后，數列或級數本身發生了變化，但是有限項并不能影響后面無窮多項的變化趨勢，因此改變有限項只是對無窮序列的一個擾動，而不改變其收斂或者發散的本質.

同時，正是因為無限的概念和無限項求和的運算，才產生了數列和無窮級數的概念，以及后續對函數項無窮級數的運算性質的討論.在高等數學的基本運算中，極限、導數和積分運算都具有線性性質，有限個可導函數和的導數就等于每一項求導以后求和，即可以逐項求導，但是對無窮多項求和卻未必成立，而需要進一步考慮一致收斂等性質.

我們在初等數學中所討論的最大值、最小值問題擴展到無限多項求最值或函數最值問題時也是需要先討論其存在性問題.對于數列中的有限項，我們可以準確地求出最大值和最小值，而無窮多項卻未必能取到最值，因此數學中有了確界的概念，以代替最值進行討論.而收斂數列有界性的證明過程中用到的截尾法，正是運用了前有限項取最值和后面無窮項逼近的思想.

另外，受初等數學運算習慣的影響，數列極限運算中常用到的一個結論“有限個無窮小的和是無窮小”，也常常被初學者誤用于無限項求和的情形而導致錯誤結論.容易判斷出“有限”這個前提條件必不可少，因為無窮多個無窮小的和未必是無窮小（甚至可能是無窮大）.例如：

由上面的例子可以看出，在集合運算中，有限項和無限項集合的運算，其結果也是截然不同的.

在積分運算中，我們也常對相關的函數提出有限這一條件，例如，在一元函數可積性的討論中，可積的充分條件之一就是：若函數在區間[a，b]上有界，且至多有有限個間斷點，則該函數在[a，b]上可積.對于二元函數的可積性，則要求有界函數在平面閉區域上除有限個點或有限條光滑曲線外均連續.這里的“有限”即是為了保證不連續的點不能“太多”，以防這些點集所構成的長度或體積（嚴格來說，稱為測度）不等于零.

可積性條件中，有限這一限制條件并非必須，但卻是最簡單直觀的表述，對于非數學專業的學生而言更容易接受和掌握.在實分析的學習中，可以將有限這一約束條件放寬為對應集合為零測度集.當然，測度為零的集合可能是有限集，也可能是無限集，因此使用零測度集的概念就可以避免對有限與無限的討論，也是對相應結論的擴展.

五、關于空間維數

我們常用的微積分和代數運算都是在有限維空間，主要是歐氏空間上進行的，對于無窮維空間上的相關運算，則需要另外討論.例如，在有限維空間上成立的幾個重要性質，如空間上距離的定義、完備性、可分性、緊性及區間套定理，在無限維空間中則可能不成立.有限維賦范線性空間與歐氏空間具有類似的結構，具有與后者等價的范數，最常用的結論“集合A為緊集當且僅當A是有界閉集”也是一致的.從有限維空間到無窮維空間，最本質的差別在于緊性概念的變化.無窮維空間中緊集仍然是有界閉集，但有界閉集未必是緊集[2]，可見，空間維數為有限或無窮對空間本身的性質起著決定性作用，由此學生可理解泛函分析課程的目標與意義.

莊子說：“吾生也有涯，而知也無涯.”有限的生命可以容納無限的知識，可以承載我們對于科學無限的探索，因此從有限到無限的認識不僅是對數學概念的認識，也是對生命意義的認識.詹姆斯·卡斯的著作《有限與無限的游戲》中，也有些非常有趣的探討[5]可供大家參考.類似的例子在數學中不勝枚舉，關于有限和無窮的探討在社會生活和思想文化等領域也頗有意義.此文僅就數學學科中的幾個例子簡單討論，初步展示從有限的相對固定到無限的不斷變化之間的區別與聯系，啟發學生運用變化的眼光看待問題，擺脫有限思維的限制，實現有限到無限的思維方式的轉變，進而更順利地完成初等數學到高等數學思想方法的轉換和知識體系的有效對接.

【參考文獻】

[1]Walter Rudin.實分析與復分析Real and Complex Analysis：第三版[M]. 北京：機械工業出版社，2004.

[2]張恭慶.泛函分析講義[M]. 北京：北京大學出版社，2011.

[3]華東師范大學數學系.數學分析：第四版[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[4]同濟大學數學系. 高等數學：第七版[M]. 北京：高等教育出版社，2015.

[5]詹姆斯·卡斯. 有限與無限的游戲：一個哲學家眼中的競技世界[M]. 北京：電子工業出版社，2013.