應用微積分研究對數函數和指數函數及其主要性質

劉曉莉 戎海武 韓曉茹 苗晴

【摘要】對數函數和指數函數是一對描述自然規律的重要基本初等函數，也是可用多種方法定義的數學概念之一.本文應用微積分給出指數函數的定義，再給出對數函數的定義，研究和證明函數的主要性質，助力學生以高視角來認識函數的定義方法和運算性質的推導，了解微積分的更多應用.

【關鍵詞】數學概念;微積分;積分上限函數;對數函數;指數函數

一、引 言

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，數學定義是對事物本質特征的內涵和外延的確切而簡要的說明，其邏輯方法是數學的思維形式的具體表現.數學的基本思維形式的判斷與推理通常以定理、法則、公式等方式表現出來，其基礎是數學概念的嚴格定義.學生正確理解數學定義，靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展論證能力和空間想象能力的前提，也是增強智力的支撐點.

歷史上，對數的發明先于指數.16世紀末到17世紀初的歐洲，隨著天文學和航海的發展，需要處理的數據越來越大，計算也相對越來越復雜，改進和簡化數字計算方法成了當務之急.數學家約翰·納皮爾（John Napier，1550～1617）在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數.恩格斯曾經將對數的發明、解析幾何的創始及微積分的建立稱為17世紀數學的三大成就.

納皮爾在討論對數概念時，并沒有使用指數與對數的互逆關系，主要原因是在當時還沒有明確的指數概念，指數符號也是在20多年后的1637年，由法國數學家笛卡兒開始使用和推廣的.直到18世紀，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉發現了指數與對數的互逆關系.

二、指數函數和對數函數的一般定義

現今，初等數學教材一般是先給出指數函數的定義，再給出對數函數的定義.首先回顧目前我國中學數學教材關于指數函數和對數函數的定義.

四、幾點說明

有許多數學概念可以用多種方法定義，其函數表達式也有多種表示方式.例如，一般函數可以用冪級數表示，也就能以函數的冪級數展開式為基礎，給出函數的定義，并以微積分的相關理論探討函數的特征，推導其性質.又如，常微分方程初值問題也可以確定一個函數關系，以及含參量的積分和含參變量的數列極限都可以確定函數關系等，這些定義函數的新方法都是微積分應用的拓展.

指數函數是重要的基本初等函數之一，其概念和性質無論在中學數學還是高等數學中都具有承前啟后的作用，是應用范圍較廣的基礎內容.關于指數函數的概念，直至大學數學中，也未給出嚴謹的定義，對無理指數冪的情形進行深入探討，分析相關的原理.

大學數學作為一個完整的課程體系，應讓學生在接受數學理論時，了解其背景知識，以及更多的數學分支，并能主動地探索新知識的來龍去脈和實際應用價值.本文應用微積分定義和研究對數函數與指數函數，利用變上限積分對指數函數重新進行定義，以及推導相關性質和運算法則，挖掘出隱藏其中的問題，可使學生對微積分學的應用有一個新的認識，從而提高其思維能力和分析問題的能力.

【參考文獻】

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