介值定理辨析

李漂星 刁靜琰 朱德剛 李文輝

【摘要】介值定理是微積分中一個重要的定理，它描述了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個重要性質(zhì).不同教材上的表述和一道習題引發(fā)了我們的思考.本文以該習題為例，詳細探討了介值定理的表述和推論，厘清了其條件與結(jié)論之間的關(guān)系，并結(jié)合幾個實例給出了介值定理的若干注記.

【關(guān)鍵詞】介值定理;閉區(qū)間;連續(xù)函數(shù)

【基金項目】南京林業(yè)大學“水杉名師”培養(yǎng)計劃;南京林業(yè)大學大學生創(chuàng)新訓(xùn)練計劃項目（2019NFUSPITP1048）

介值定理是高等數(shù)學中的一個重要定理，它刻畫了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個重要性質(zhì).但一些教材在定理內(nèi)容的表述上并不完全一致，這給初學者造成了極大的困擾.更重要的是，這些表述上的差異，還造成了應(yīng)用該定理去證明一些結(jié)論時出現(xiàn)偏差.因此，有必要對介值定理的內(nèi)容和結(jié)論做更深層次的分析.目前，有文獻對介值定理的證明和應(yīng)用做過討論和分析[1-3]，但是關(guān)于介值定理內(nèi)容本身的辨析，尚未見報道.這更突顯出對該定理做深入分析的必要性.

本文以教材上的一道習題入手，探討介值定理的深刻內(nèi)涵，并結(jié)合幾個實例，給出了介值定理的若干注記.

一、不同版本教材對介值定理的敘述

1.教材[4]對介值定理的敘述

【參考文獻】

[1]于美，徐子健，閆帥.微分中值定理在介值問題中的應(yīng)用與推廣[J].高等數(shù)學研究，2016，19（05）：21-23.

[2]王峰，張芳.單位單調(diào)函數(shù)的介值定理[J].高等數(shù)學研究，2011，14（05）：15-17.

[3]程碧輝.介值定理的證明及其應(yīng)用[J].數(shù)學學習與研究，2018（07）：10，12.

[4]同濟大學應(yīng)用數(shù)學系.高等數(shù)學本科少學時類型第二版上[M].北京：高等教育出版社，2001：74.

[5]王凱捷，李勇智.高等數(shù)學：第2版[M].北京：高等教育出版社，2008：38.

[6]桂子鵬，駱承欽，邱伯駱等.高等數(shù)學習題集習題選解上冊[M].北京：人民教育出版社， 1980：180-181.

[7]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學同濟第七版上冊[M].北京：高等教育出版社，2014：70.

[8]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學習題全解指南上冊[M].北京：高等教育出版社，2014：39-40.

[9]Greg Oman. The converse of the intermediate value theorem： From conway to cantor to cosets and beyond [J]. Missouri Journal of Mathematical Sciences， 2014， 26（2）：134-150.

[10] Kenneth A. Ross. Elementary Analysis. The Theory of Calculus [M]. SpringerVerlag New York， 2013：236.