上鄰及弱上鄰

王娣，盧 濤

（淮北師范大學數學科學學院，安徽 淮北 235000）

上鄰及弱上鄰

王娣，盧 濤

（淮北師范大學數學科學學院，安徽 淮北 235000）

首先給出了弱完全交既約元、余dcpo及way-up的概念；然后結合way-up關系和新的輔助關系定義了弱上鄰的概念；最后,借助弱完全交既約元討論了上鄰及弱上鄰在交半格、完備格及余dcpo不同背景下的性質.

way-up；弱完全交既約元；余dcpo；弱上鄰；插入關系

既約元是格論中的一種特殊元素，具有一些很好的性質，在格論中占有重要的地位.Crawley等首先提出了完備格中完全并既約元的概念[1].文獻[2]定義了一種新的并既約元：連續并既約元，并討論了它的一些基本性質.文獻[3]在完全并既約元和連續并既約元的基礎上引入了弱完全并既約元的概念，討論了各種既約元、素元和緊元的關系.文獻[4]詳細地給出了way-below、輔助關系的概念及其相關性質，其中包括way-below的插入性質.文獻[5]和文獻[2]引入了新的輔助關系:上鄰和下鄰.文獻[6]提出了弱下鄰的概念.受以上文獻啟發，本研究對偶地給出了弱完全交既約元、余dcpo及way-up的概念，并結合way-up關系和新的輔助關系定義了弱上鄰的概念，然后借助弱完全交既約元討論了上鄰及弱上鄰在交半格、完備格及余dcpo不同背景下的性質.

1 預備知識

定義1[5]設P為偏序集，對任意a、b∈P，如果a＜b，且對任意x∈P，a＜x＜b不成立，則稱b是a的上鄰，記作b?a.

定義2[7]設L為交半格，對任意x、y、z∈L，如果z=x∧y蘊含x=z或y=z，則稱z為L的交既約元.記M（L）={z∈L|z為交既約元}.

定義3[4]設L為完備格，a∈L，如果對于任意S?L，由a=∧S可推出a∈S，則稱a為L的完全交既約元.記Q（L）={a∈L|a為完全交既約元}.

定義4[7]設L是偏序集，對于a∈L與S?L，規定

當S=↑S時，稱S為上集；當S=↓S時，稱S為下集.

定義5[7]設L為偏序集，F是L的非空子集，若F是余定向的上集，則稱F為偏序集L的濾子.偏序集L的全體濾子組成的集合記作Fil（L）.

定義6 設L為余定向完備偏序集（以下簡記為余dcpo)，a∈L，如果對于任意F∈Fil（L），由a=∧F可推出a∈F，則稱a為L的弱完全交既約元.記RQ（L）= {a∈L|a為弱完全交既約元}.

由定義4可知1?RQ（L），且在完備格中，完全

交既約元是弱完全交既約元.

定義7 設L為偏序集，x、y∈L，對任意余定向集M?L，當∧M存在，且y≥∧M時，存在m∈M，使得x≥m，則稱x way-up于y，記作x?y.當x?x時，稱x是L的余緊元.記K（L）={x∈L|x?x}為L的所有余緊元.

注1 在偏序集L中，x?y一定有x≥y，反之不然，見圖1.

圖1 x≥y，而x?y不成立Fig.1 x≥y but not x?y

引理1 設L是偏序集，對任意x、y、z、w∈L，“?”為L上的輔助關系，則下列結論成立

證明 （1）由于x?y，任取余定向集M?L，如果∧M存在，且y≥∧M，存在m∈M，使得x≥m，故可取y=m，則有x≥y.

（2）由于x?y，任取余定向集M?L，當∧M存在，且y≥∧M時，存在m∈M，使得x≥m，又w≥x?y≥z，從而w≥x≥m，且由（1）可知w≥x≥y≥z，故可取y=m，當z≥∧M時，存在m∈M，使得w≥m，從而w?z，再由（1）可得w≥z.

（3）假設命題不成立，則存在a∈L，使得x>a>y成立.又由（1）知x≥y，從而與x>a>y矛盾，故假設不成立，命題得證.

引理2 設L是交半格，對任意x、y、z∈L，若x∧y?z，則x?z且y?z，從而有：若x∧y?z，則x?z且y?z.

證明 假設當x∧y?z時，x?z或y?z不成立，則由定義，存在a∈L，使得x>a>z或y>a>z.不妨設x>a>z成立，則x∧y≥a∧y≥z，這與x∧y?z矛盾，從而假設不成立，命題得證.

2 主要結果

定義8 設L為偏序集，a、b∈L，?為L上的輔助關系，若a?b，且對任意x∈L，a?x?b不成立，則稱a為b的弱上鄰，記作a′?b.

注2′?實際上是不滿足插入性質的輔助關系的特殊情況，規定a′?b時，有a≥b.

定理1 設L是交半格，對任意x、y、z∈L，若x′?z，y′?z，則x∧y′?z.

證明 假設x∧y不是z的弱上鄰，則存在a∈L，使得x∧y?a?z成立.于是x?a?z，y?a?z，這與x′?z，y′?z矛盾，從而x∧y′?z.

定義9 設L為完備格，對任意x∈L，若x′?x，則稱x為′?-余緊元.記K′（L）為L的全體′?-余緊元組成的集合，即K′（L）={x∈L|x′?x}.

定理2 設L為格，對任意x、y∈L，若存在a∈L，使得x?a，y?a，則x‖y（x與y不可比較）.

證明 若x?a，y?a，則對任意x，有y>x>a不成立，對任意y，有x>y>a不成立，從而x‖y.

定理3 設L為交半格，對于x、y∈L，x≠y，x、y至少有一個是余緊元，若存在a∈L，使得x?a，y?a，則x‖y.

證明 由條件，不妨設y∈K′（L）.

（1）若x>y，則x>y?y≥y?a，進而有x?y?a，即x?y?a，矛盾.

（2）若y>x，則y>y?y≥x?a，從而有y?x?a，即y?x?a，矛盾.

綜上可得x‖y.

定理4 設為L格，a∈M（L），則a至多有一個上鄰.

證明 設a∈M（L），若a有2個上鄰x、y，且x≠y，則由定理2得x∧y=a，而x>a，y>a，這與a∈M（L）矛盾.所以a至多有一個上鄰.

定理5 設L為余dcpo，a∈M（L），則a至多有一個弱上鄰.

證明 設x′?a，y′?a，則x?a，y?a且x∧y= a.因為a∈M（L），故有x=a或y=a.不妨設x=a，則y′?x′?a，于是y?x?a.由弱上鄰的定義，有y?x?a，與x′?a，y′?a，矛盾，從而a至多有一個弱上鄰.

定理6 設L為余dcpo，對任意a∈L，若a∈RQ（L），則a至少有一個弱上鄰.

證明 設a∈RQ（L），則a≠0，且B={b∈L| b?a}-{a}≠.因為L為余dcpo，則B也為余dcpo，進而∧B存在，∧B≥a.

（1）若∧B=a，對任意x∈B，及a∈RQ（L），則B不是余定向集，于是對任意b∈B，存在x、y∈B，使得x與b無關，且b?a，y與b無關，且b?a，則x、y中至少有一個是B中的極小元，即x、y中至少有一個是a的弱上鄰.

（2）若∧B>a，不妨設∧B=b>a，設x∈L，使得b?x?a，則x∈B，從而x≥∧B=b，與x>b矛盾.故b是a的弱上鄰.

綜上，a至少有一個弱上鄰.

推論 設L為余dcpo，若a∈RQ（L），則a有唯一弱上鄰.

證明 先證存在性.由定理6知，對任意a∈L，若a∈RQ（L），則a至少有一個弱上鄰.

再證唯一性.因為a∈RQ（L），從而a∈M（L），由定理5知此時a至多有一個弱上鄰.故由存在性知a有且僅有一個弱上鄰.

定理7 設L是完備鏈，則對任意a∈L，a沒有弱上鄰.

證明 設x∈L且x′?a，則x≥a.由于L是完備鏈，故x?a，于是存在y∈L，使得x?y?a，矛盾.從而命題成立.

3 結語

本研究在引入了弱上鄰概念的基礎上，探討了弱上鄰在交半格、完備格及余dcpo不同背景下的性質，并研究了上鄰與弱上鄰之間的本質特征.但關于上鄰與弱上鄰之間的聯系及它們之間的等價刻畫還未做深入研究，這將是今后該方面研究的一個方向.

[1]CRAWLEY P，DILWORTH R P.Algebraic Theory of Lattic[M].Englewood：Prentice Hall，1973.

[2]王學平，屈小兵.連續并既約元及其在刻畫Fuzzy關系方程解集中的應用[J].數學學報，2006，49（5）：1171-1180. WANG X P，QU X B.Continuous join-irreducible elements and their applications to describing the solution set of fuzzy relational equations [J].Acta Mathematica Sinica，2006，49（5）：1171-1180（in Chinese）.

[3]姜廣浩，韓貴文，蔡錦.弱完全并既約元及其應用[J].模糊系統與數學，2012，26（2）：160-164. JIANGGH，HANGW，CAIJ.Weakcompletejoin-irreducibleelements and some applications[J].Fuzzy Systems and Mathematics，2012，26（2）：160-164（in Chinese）.

[4]BIRKHOFF G.Lattic Theory[M].3rd ed.New York：Amer Math Soc Colloq Public，1979.

[5]GIERZ G，KEIMEL K，SCOTT D S，et al.Continuous Lattices and Domains[M].Cambrige：Cambridge University Press，2003.

[6]馬晶晶，盧濤，杜銀玲，等.弱下鄰及其性質[J].淮北師范大學學報：自然科學版，2013，34（3）：4-5. MA J J，LU T，DU Y L，et al.Weak adjoin and its properties in different conditions[J].Journal of Huaibei Normal University：Natural Science，2013，34（3）：4-5（in Chinese）.

[7]鄭崇友，樊磊，崔宏斌.Frame與連續格[M].北京：首都師范大學出版社，2000. ZHENG C Y，FAN L，CUI H B.Frame and Continuous Lattices[M]. Beijing：Capital Normal University Press，2000（in Chinese）.

（責任編校 馬新光）

Adjacent and weak adjacent

WANG Di，LU Tao
（School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，Anhui Province，China）

The concepts of weak complete intersection irreducible elements,co-dcpo and way-up are introduced.Then the concept of weak adjacent is given based on way-up and new auxiliary relation.Finally，the properties of adjacent and weak adjacent are discussed by using weak complete irreducible elements in semilattices，complete lattices and co-dcpo.

way-up；weak complete intersection irreducible elements；co-dcpo；weak adjacent；interpolation property

O153

A

1671-1114（2016）05-0017-03

2016-03-30

國家自然科學基金資助項目（11171156）；安徽省高校自然科學研究重點資助項目（KJ2015A064）.

王 娣（1991—），女，碩士研究生.

盧 濤（1974—），男，副教授,主要從事拓撲學和范疇論方面的研究.