用Mathematica分析電磁感應類問題的自洽性

陸天明

(南京師范大學附屬中學江寧分校，江蘇 南京 211102)

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用Mathematica分析電磁感應類問題的自洽性

陸天明①

(南京師范大學附屬中學江寧分校，江蘇 南京 211102)

對電磁感應類問題的自洽性進行分析時,一般會碰到超越方程和微分方程,處理這些方程是一件費時耗力的事,如利用Mathematica軟件,則分析過程會顯得非常簡單.Mathematica不僅可以進行符號運算,得到解析解,對于一些無法得到解析解的方程,也會給出令人滿意的數值解.

Mathematica;電磁感應;自洽性

電磁感應類問題常常有著比較強的綜合性,可以很好地考察學生的知識水平和分析解決問題的能力,一直受到命題者的青睞.但這類問題所涉及的運動過程一般較為復雜,對數學的要求常會超出學生的現有水平,命題者為了使題目能夠被高中學生解決,一般會直接或間接給定物理量的數值,這很容易導致題目的科學性錯誤,造成不自洽的問題.所以,在日常教學過程中,常要考察這類題目的自洽性,這時就會碰到超越方程和微分方程,處理這些方程是一件十分費時耗力的事,若能借助Mathematica軟件,則會使工作效率大大提高.Mathematica是美國物理學家Stephen Wolfram設計開發的一款優秀的科學計算軟件,可以進行復雜的符號運算、數值運算和圖像處理,功能非常強大.下面就用Mathematica來分析兩道典型的電磁感應問題的自洽性.

圖1

如圖1所示，在粗糙絕緣水平面上有一正方形閉合金屬線框abcd，其邊長為l=1m、質量為m=2kg、電阻R=1Ω.金屬線框與水平面的動摩擦因數μ=0.8．邊界右側有一足夠大的勻強磁場區域，磁場方向豎直向下，磁感應強度B=2T．開始時金屬線框的cd邊與磁場的邊重合，現使金屬線框以初速度v0=10m/s沿水平面進入磁場區域，線框完全滑入磁場區域后又滑行l距離后停下，求金屬線框進入勻強磁場所經歷的時間t.

在圖1中以邊界上取一點為原點,垂直于邊界建立x軸.

可以看到,用Mathematica求解微分方程顯得很簡潔,特別是在用Mathematica求解線框第1階段運動的未速度的具體數值時,涉及的方程是超越方程,憑借紙筆運算是非常困難的,而這里用Mathematica來處理,顯得非常簡單.

再來研究一道更加復雜的自洽性問題，如圖2所示，質量為m、電阻為R的單匝矩形線框置于光滑水平面上，線框邊長ab=L、ad=2L．虛線MN過ad、bc邊中點．一根能承受最大拉力F0的細線沿水平方向拴住ab邊中點O．從某時刻起，在MN右側加一方向豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小按B=kt的規律均勻變化.一段時間后，細線被拉斷，線框向左運動，ab邊穿出磁場時的速度為v.求：

圖2

(1) 細線斷裂前線框中的電功率P；

(2) 細線斷裂后瞬間線框的加速度大小a及線框離開磁場的過程中安培力所做的功W；

(3) 線框穿出磁場過程中通過導線截面的電量q．

命題者似乎已經感覺到了這類問題會出現自洽性問題，所以沒有給出各物理量的具體數值,但仔細分后還是發現了存在自洽性問題.

在圖2中建立坐標系,以O點為原點,水平向左為正方向.

Clear["Global`*"]

F0=10;L=1;k=1;m=0.2;R=1;t0=F0*R/(L^3*k^2);tt=100*t0;

a=L^2*k^2/(m*R);

ode1={x''[t]+a*t^2*x'[t]+a*t*x[t]-a*L*t==0,x'[t0]==0,x[t0]==0};

A1=NDSolve[ode1,x,{t,t0,tt}]

x=First[x/.A1](*得到插值函數*);

x[tt](*求末時刻線框的位置*)

x'[tt](*求時刻線框的速度*)

x''[t0](*求線框開始運動時的加速度*)

Plot[x[t],{t,t0,tt},Axes->True,PlotRange->{{t0,tt},{0,2}}](*作出位移-時間圖像*)

Plot[x'[t],{t,t0,tt},Axes->True,PlotRange->{{t0,tt},{0,0.2}}](*作出速度-時間圖像*)

運行上述程序可以得到:線框開始運動時的加速度為a=50m/s2，可以求出線框的末位置為:9.89999×10-1<1m，末速度為v=1.0005×10-5m/s.代入不同數值進行驗證,均得到線框沒有離開磁場區域,即原題不自洽，程序給出的位移-時間圖像如圖3，速度-時間圖像如圖4.

圖3

圖4

由以上兩例可以看到,Mathematica在驗證電磁感應類問題的自洽性時顯得特別有力.實際上,中學物理中有很多問題都可以運用Mathematica來處理,不僅可以用來求解各種方程和繪制圖像,還可以用來模擬物理過程,處理實驗數據等.Mathematica功能非常強大,應用極其廣泛,而且簡單、易學、操作方便，是一款值得深入研究的軟件.

褚小坤.電磁感應問題的自洽性探討[J].物理之友,2016,32(7).

①名師簡介：陸天明(1969— ),男,江蘇南京人,南京師范大學附屬中學江寧分校教研部副主任,《物理之友》編委，南京市物理學科帶頭人，南京物理學會理事,南京師范大學物理教育研究所兼職研究員,研究方向為物理課程與教學論.