賞析兩道高考解幾壓軸試題及備考建議

福建省龍海第一中學新校區(363100)

蘇藝偉●

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賞析兩道高考解幾壓軸試題及備考建議

福建省龍海第一中學新校區(363100)

蘇藝偉●

眾所周知,解析幾何是高中主干知識,屬于重點考查內容,每年高考必考小題和一道解答題.解答題從宏觀上來講,就是創設平面幾何及解析法解決圓錐曲線有關問題的環境,使得解析幾何的思想方法在解答中得以完整體現.代數問題幾何化,幾何問題代數化是解析幾何的核心,有效實現著兩個轉化是解決解析幾何問題的關鍵.

下面筆者以兩道2016高考試題為例進行說明.

賞析1:2016年高考北京卷理科

(1)求橢圓C的方程;

賞析2:2016年全國丙卷第20題

已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點.(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ;(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.

試題分析 該題避開了高考解幾傳統的命題視角,以直線和拋物線為載體考查兩條直線平行的證明以及求中點軌跡方程.主要考查考生的數學素養,探究能力,對考生的推理論證能力,邏輯思維能力要求較高.考生有沒有深度地思考,能不能找到轉化策略,成為解答本題的分水嶺.多考想,少考算,正是該題的突出特點.本題具有一定的探索性和開放性,較好地體現了新課改理念.

解法分析

1.對第一步的分析

化簡得ab=-1.

除了運用高中方法來證明出AR∥FQ,還可以采用初中平面幾何知識.如圖(3)所示,連接PF,RF.

故∠PFQ=90°,即三角形PFQ是直角三角形,PF⊥FQ.

此時在四邊形APRF中,AP2+FR2=AF2+PR2,則對角線PF⊥AR.

因此有AR∥FQ.

簡評 上述解法借助了重要的平面幾何知識,如“直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半”,“四邊形對邊平方和相等等價于該四邊形的對角線互相垂直”,“和同一條直線垂直的兩條直線平行”等等.從平面幾何知識的角度來闡述本步更能凸顯思維品質,給人耳目一新的感覺.

綜合上述分析不難發現,第一小步試題表述平實質樸,入口寬,解法多樣,能夠讓不同的考生都有所收獲,體現了課程理念中的“人人學有用的數學,有用的數學應當為人人所學,不同的人學不同的數學”.同時也啟發我們在教學中要重視初中平面幾何知識的復習以及拓展.

2.對第二步的分析

第二步的已知條件是△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,要求線段AB中點(設為E)的軌跡方程.聯想到高中階段學過的求軌跡方程的方法,由于點E的運動是由線段AB運動引起的,故可采用相關點法來求出點E的軌跡方程.而對于條件兩個面積之間的關系該如何運用?關鍵在于準確寫出面積的表達式.觀察圖形易知△ABF的面積可以看成兩個同底的小三角形面積之和.

故線段AB中點的軌跡方程為y2=x-1.

解得ab=-2.

故線段AB中點的軌跡方程為y2=x-1.

簡評 上述解法的巧妙之處在于運用三角形的面積坐標公式,將△ABF的面積表示成坐標的形式,再結合兩個面積關系得到ab=-2.和上述解法相比,解題過程一氣呵成,避開了較為復雜的計算,頗有“柳暗花明又一村”的快感.

綜合上述分析,可以看出第二步較之第一步難度明顯加大,體現了本道試題具有梯度性,層次性.第二步綜合性較強,對考生的數學思維水平和數學素養都有較高的要求,發揮了很好的選拔區分功能.這就啟發我們在圓錐曲線的復習中既要重視基礎知識的講解又要著重培養學生邏輯思維能力,解題能力.

通過上述兩道高考試題的分析,不難發現,高考解幾壓軸題以能力立意,重視知識的發生發展過程,增大思維容量,突出理性思維.而重視知識形成過程,在知識網絡的交匯點設計問題,則是高考解析幾何命題創新主體.基于此,我們在備考中要注重做到以下幾點.

1.注重平面幾何知識的運用

平面幾何知識在高中階段仍然有著重要而廣泛的應用.高考試題尤其是解析幾何的試題往往可以運用平幾知識來解答,效果往往出乎意料.解析法借助平面直角坐標系,將點,線等幾何元素代數化,通過代數運算來研究幾何元素間的位置關系或數量關系,體現了程序性,簡潔性等優勢.幾何法借助幾何定理,性質等來演繹論證幾何元素間的位置關系或數量關系,體現了邏輯性,簡約性等獨特的魅力.在解題時,如果將這兩種解法有機地結合起來,讓兩者比翼雙飛,那么可能會有許多意外且巧妙的收獲.

2.從整體上把握解幾教學

解析幾何的教學要關注形與數的有機結合,形的直觀與數的抽象的有機結合可以使問題簡單化.因此在函數的教學中對于一些基本函數的概念,性質,圖象等要較全面地掌握,并且能夠靈活地加以應用,熟練掌握研究函數的基本方法.有了基本知識和基本方法，才能靈活地解決解幾綜合性問題.

3.加強基礎知識和基本技能的訓練

在平時的教學與備考中,一定要重視基礎知識,基本方法,基本技能的形成與運用.對基本概念,基本原理,基本方法不僅要知其然,而且要知其所以然.熟練掌握解析幾何的基礎知識與解決問題的通性通法,打好堅實的基礎.如用定義法,直接法,動點轉移法,交軌法,參數法常用方法求軌跡方程.用定義研究焦點弦;用韋達定理,判別式,根的分布來研究直線與圓錐曲線的位置關系;用坐標運算去處理向量與圓錐曲線的交匯問題,用參數法或運用曲線的性質研究最值問題等.只有堅實的基礎和技能操作,才能順利攻克解幾難題.否則一切都是無源之水無本之木.

4.加強思維能力的培養,提升核心素養

新課程改革后的高考命題是以“能力”立意,在未來的高考改革中有可能還會以“素養”立意.基于此,我們必須著力發展學生的思維,提升學生的核心素養.在課堂上,要促進學生積極思考,做到學有所思,學有所悟.通過學習使學生能夠舉一反三,觸類旁通,并且能夠將問題推廣到一類,得到一般情況,唯有如此,才能不斷提高學習效率 ,培養思維能力和創新能力.

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1008-0333(2016)31-0029-03