函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學解題中的應用

江蘇省寶應中學(225800)

陸 敏●

?

函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學解題中的應用

江蘇省寶應中學(225800)

陸 敏●

作為函數(shù)中重要的一個性質(zhì)，單調(diào)性在高中數(shù)學某些函數(shù)題目求解中的合理運用，常常可以起到化難為易、化繁為簡的作用，尤其適用于函數(shù)最值以及不等式證明等類型題的求解.本文以函數(shù)單調(diào)性為研究對象，著重探討了其在高中數(shù)學解題中的應用對策，擬為相關教學研究與應用提供指導.

一、在方程求解中的應用

方程求解本身是一種等式求解過程，其涉及到多種數(shù)學知識，相應的求解方法也比較多.在講解函數(shù)單調(diào)性部分數(shù)學知識的時候，學生大都已經(jīng)學習了許多函數(shù)知識和基礎方程方面的知識，所以此時學生對于求解方程題目已經(jīng)具備了基本的求解思路和方法，且能夠自行總結函數(shù)與方程求解之間的關系.但是如果教師可以引導學生將函數(shù)單調(diào)性方面的知識合理應用于方程求解中來，則可以給方程求解提供新的方法，從而進一步擴寬和培養(yǎng)學生的解題思路.

例1 解方程x3+2x+(x+1)3+1=0.

鑒于f(x)=x3+x在區(qū)間(-，+)上為單調(diào)遞增函數(shù)，且為奇函數(shù),那么可以將原方程化為f(x)+f(x+1)=0，即f(x+1)=-f(x)=f(-x).

因為f(x)為單調(diào)函數(shù)，可知x+1=-x，由此可知x=-1/2.

由此可知，通過函數(shù)單調(diào)性的合理應用，可以極大地簡化方程的求解過程，這實際上就是函數(shù)單調(diào)性基本概念及其性質(zhì)在方程求解中的具體應用.

二、在不等式求解中的應用

我們可以借助函數(shù)的單調(diào)性的合理應用來達到求解不等式題目的目的，具體就是借助不等式的分類、數(shù)形結合或者換元法等方式及其綜合運用來達到不等式證明的目的，同時學生也可以在此過程中培養(yǎng)自身的數(shù)學思維能力.

解 視a為變元x,構造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，只需要證明x∈(-1,1)時，f(x)>0恒成立即可.當b+c=0時，f(x)=1-b2>0恒成立；當b+c≠0時，函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈(-1,1)上是單調(diào)的.由于f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0,f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0,所以f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈(-1,1)上恒大于零.

由此可知，通過函數(shù)單調(diào)性的合理應用可以有效地化解復雜的數(shù)學問題，提高學生的解題能力.與此同時，在學生發(fā)現(xiàn)借助概念解題也不會犯錯的時候，他們會自行糾正自己所存在的錯誤觀念和認識，這將大大提升他們的邏輯思維能力.

三、在單調(diào)區(qū)間求解中的應用

在高中數(shù)學函數(shù)教學中，針對函數(shù)單調(diào)性的考查有專門章節(jié)訓練是關于單調(diào)區(qū)間，這類題就是專門考查學生對于函數(shù)單調(diào)性這一性質(zhì)的掌握程度，具體就需要學生對于待求題目進行合理變形處理來達到簡化題目結構，進而達到求解的目的.

四、在參數(shù)取值范圍求解中的應用

針對某些參數(shù)取值范圍的問題，教師可以引導學生將待求問題轉化成不等式恒成立問題，具體就是充分運用題目中的已知條件來找尋解題的突破口，以借此達到解題的目的.

總之，單調(diào)性作為函數(shù)的一種重要性質(zhì)，其在不等式證明以及解方程求解等的數(shù)學題目中的合理應用，往往可以將那些抽象、繁雜的數(shù)學題目簡單化、直觀化，從而可以有助于學生更好地進行求解，同時也可以在此過程中培養(yǎng)和提升學生的解題能力，值得教學上大力關注和應用.

G632

B

1008-0333(2016)31-0044-01