數學歸納思想在高中數學教學中的應用

江蘇省高郵市第一中學(225600)

耿廣祥●

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數學歸納思想在高中數學教學中的應用

江蘇省高郵市第一中學(225600)

耿廣祥●

正如我們所知，歸納與推理是創造能力的基礎，對歸納思想進行培養，既是使學生獲得新知識的有效途徑，也是對學生演繹思維進行培養的重要手段.高中數學課程中，歸納思維的形成與培養尤為重要，但許多一線教師對歸納思維的培養方式依然不夠了解，接下來筆者將就教學案例談談自己的看法.

一、完全歸納法

在高中階段的數學學習過程中，完全歸納法有著相當高的使用頻率，其核心理念在于對問題進行分類并依此進行研究.接下來筆者將以“同弧所對圓周角的大小是其所對圓心角的一半”這一命題為例進行說明.

如圖1所示，在圓O中，對于弧AC而言，∠AOC與∠ABC分別代表了與其相對應的圓心角與圓周角，那么命題就相當于是證明∠AOC=2∠ABC.從圖中我們可以看出，隨著B點位置的不同，圓周角與圓心的關系可以分為三種情況，即圓心分別在圓周角一條邊上、圓周角內部和圓周角外部.通過這種方式，我們將問題分成了三類，只要分別驗證這三種情況下∠AOC的大小均為∠ABC的兩倍，即證明了命題的成立.

證明過程如下：當圓心在圓周角一條邊上時(如圖a)，連接AO，此時∠AOC相當于是△AOB的外角，因此∠AOC=∠BAO+∠ABC=2∠ABC.

當圓心在圓周角內部時(如圖b)，分別連接CO與AO，并過B作直徑BE.在這種情況下，∠AOE與∠ABE分別成為了弧AE所對的圓心角和圓周角.同理，∠EOC與∠EBC也分別是弧EC所對的圓心角和圓周角，這實際上與圖(a)類似，能夠得到∠AOC=∠EOC+∠AOE=2∠EBC+2∠ABE=2∠ABC.

當圓心在圓周角外部時(如圖c)，分別連接CO與AO，并過B作直徑BE，這一情況實際上與圓心在圓周角內部時類似，能夠得到∠AOC=∠AOE-∠EOC=2∠ABE-2∠CBE=2∠ABC的結論.

到這里，我們就完成了“同弧對所圓周角的大小是其所對圓心角的一半”這一命題的證明.

二、簡單枚舉法

簡單枚舉法是與完全歸納法相比更一般的方法：設A是含有可數元素或有限元素的集合，若發現其中每個經過了驗證的元素都有同樣的性質P，那么就認為A集合中所有元素都有性質P.這一結論顯然是經不起推敲的.簡單枚舉法的特殊性就在于此：并不是A集合中的每個元素都能夠被驗證.盡管這一區別似乎有些不起眼，但實際上卻是本質性的區別，哪怕其中只有一個未經驗證的元素，就無法排除“該元素不具備P性質”的可能性.

當然，推論正確的可能性是隨著集合中得到驗證的元素數量的增加而提高的，這種推理實際上是對可能性的一種依賴.盡管這種推理有一定的道理，但其結論卻沒有必然性，這種推理就是所謂的歸納推理.

三、數學歸納法

一般情況下，在對與正整數n相關聯的命題進行證明時，主要有以下兩個步驟：①當n=k0時，驗證命題成立；②若n=k(k0k)的情況下命題成立，則證明n=k+1時命題也成立即可，這種方法就叫做數學歸納法.在這其中，推理的基礎是步驟①，而推理的依據是步驟②，二者互相依存，不可或缺.

綜上所述，命題在n為正整數時均成立.

四、主次變量轉化

歸納題目中必然存在主次關系，通過轉化主變量與參變量的主次關系，就能將問題轉化為另一種形式，進而得到答案.例如，函數f(x)=x2+(a-4)x+4-2a恒大于0，且a值域為[-1,1]，求x范圍.就題目來看，這是關于x的一個函數，若直接進行變形，然后將值代入求解，題目就會變得十分繁瑣，這時就可以適當地采用主次變量轉化的方法，將原來的函數轉變為與a有關的函數，隨后進行求解.令g(a)=(x-2)a+(x-2)2為與a相關的一次函數，其中x≠2.通過繪制一次函數圖象我們可以得出g(-1)>0，且g(1)>0進而可以得到x>3或x<1.這樣我們就能得到原式中x的值域為{x|x<1，x>3}.

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1008-0333(2016)31-0045-01