相似圖形的研究與實踐

江蘇省揚州市江都區吳橋中學(225200)

朱 莉●

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相似圖形的研究與實踐

江蘇省揚州市江都區吳橋中學(225200)

朱 莉●

圖形相似與圖形全等有著十分密切的關系，兩個全等圖形可看成是相似比為1的兩個相似圖形，可類比三角形全等條件和性質來認識相似三角形條件和有關性質及進一步認識位似變化是特殊的相似變化.本文在解決比例線段問題時，借助“中間量”牽扯線搭橋，常見的“中間量”有“中間比”、“中間線段”、“中間等積式”.本文中在實踐應用中提出要注意兩圖形相似關系，找準對應關系.

圖形相似；圖形變換；線段成比例

我們能通過生活中的實例認識圖形的相似，了解相似多邊形和相似比；了解線段的比和成比例的線段；會根據相似多邊形的概念識別兩個多邊形是否相似，并會運用相似多邊形的性質進行相關的計算.

(一)相似圖形的概念確定

(1)兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到.

(2)全等圖形可以看成是一種特殊的相似圖形，即不僅形狀相同，大小也相同.

(3)判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與圖形的大小、位置無關，這也是相似圖形的本質.綜上定義如下：

定義：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

例如，依據圖形相似的定義，某人的側身照片和正面照片是兩個不同角度的照片，它們的形狀不同，因此不是相似圖形.下面再依據圖形性質確定是否相似進行研究.

案例 下列各組圖形：①兩個平行四邊形；②兩個圓；③兩個矩形；④有一個內角是80°的兩個等腰三角形；⑤兩個正五邊形；⑥有一個內角是100°的兩個等腰三角形.其中一定是相似圖形的是____(填序號)

解析 根據相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都是形狀不唯一確定的圖形，而圓、正五邊形、有一個內角為100°的等腰三角形的形狀唯一確定，它們都相似.

答案：②⑤⑥

(二)四條線段成比例

注意：(1)一般地，四條線段a,b,c,d的單位應該一致，有時為了計算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以.

比例的相關性質(拓展)

(1)比例的基本性質

(2)比例的有關性質

判斷四條線段是否成比例，統一單位后，需把四條線段由小到大排列(或由大到小排列)，分別計算前兩條線段和后兩條線段的長度之比是否相等或首尾兩項的積是否等于中間兩項的積.

(三)相似多邊形，判斷與應用

定義：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.

性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例.

注意：判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：

(1)對應角相等；

(2)對應邊成比例.

案例 如圖1所示，小明有一個矩形相框，外框ABCD的長、寬分別是20cm，14cm，邊框的寬度為2cm.矩形ABCD與矩形EFGH相似嗎？若不相似，上、下邊框的寬度與左、右邊框的寬度滿足什么條件時，這兩個矩形相似？

分析 兩個矩形的四個角都相等，關鍵是判斷矩形ABCD與矩形EFGH的對應邊是否成比例.若成比例，則是相似形，否則不是.

我們要注意表面上看，兩個矩形相似，其實不足相似，因為相似必須要具備對應角相等，對應邊成比例這兩個條件，缺一不可.

(四)相似三角形判定與應用

①定義：三個角分別相等，三條邊成比例兩個三角形叫做相似三角形.②性質：相似三角形的對應角相等；對應邊成比例；對應邊上的高線與中線的比等于相似比；對應角平分線的比等于相似比；對應周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方.③判定：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似；兩角對應相等，兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；三邊對應成比例，兩三角形相似；斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似.

G

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