構建有效思維感悟數(shù)學思想
——對三則“反比例函數(shù)的圖象和性質”教學片斷的評析與思考

江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學(215000)

李樹平●

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構建有效思維感悟數(shù)學思想
——對三則“反比例函數(shù)的圖象和性質”教學片斷的評析與思考

江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學(215000)

李樹平●

按照《課程標準》的要求，“讓學生獲得適應末來生存與發(fā)展所必需的數(shù)學思想”是一個重要的課程目標.那么，如何在教學過程中能夠做到這一點，自然成為數(shù)學教學研究的一個重要問題.

筆者2015年4月16日參加了蘇州高新區(qū)八年級教改組的活動，本次活動是以“反比例函數(shù)的圖象和性質”為題，由蘇州高新區(qū)通安中學兩位老師各上了一堂現(xiàn)場研究課.這節(jié)課內容看似簡單，但卻蘊含著豐富的數(shù)學思想方法.在評課環(huán)節(jié)，大家對課堂教學的得失進行了客觀的分析，其中很多老師都提到如何構建有效教學活動，讓學生自然感悟本節(jié)內容中所蘊含的數(shù)學思想方法.本文選取三則教學片斷進行回顧與評析，與同仁一起探究數(shù)學思想方法的教學.

1.三則“反比例函數(shù)的圖象和性質”教學片斷回顧與評析

片斷一：課堂引入環(huán)節(jié)

教師：在研究分式的時候，我們是先從分數(shù)的概念、性質、運算法則來類比學習的，今天我們研究反比例函數(shù)的圖象和性質，誰來說說你準備從哪些知識入手進行類比學習？(學生一臉茫然，經教師多次引導終于說出了正比例函數(shù).)

教師：正比例函數(shù)的圖象是什么？性質有哪些？(學生回答了正比例函數(shù)的圖象和性質)

教師：今天我們就類比正比例函數(shù)的圖象與性質來學習反比例函數(shù)的圖象和性質.

評析 奧蘇伯爾提出：在呈現(xiàn)具體內容之前，先呈現(xiàn)一些密切相關的、包容范圍廣但又非常容易使人理解和記憶的引導性材料——先行組織者.在提供學習材料之前，可向先學習者提供一個研究問題的線索及方法，有利于學習者從整體上把握研究問題的方向.在片斷1中，教者試圖告訴學生用類比正比例函數(shù)的圖象和性質的思想來學習反比例函數(shù)的圖象和性質，這樣的教學也體現(xiàn)了類比的思想，但立意似乎低了些，沒有讓學生真正體會到研究函數(shù)圖象和性質的思想方法，感覺是教者自己貼上了類比的思想方法的標簽.

筆者認為：在給出學習課題后，可以先給學生這樣的先行組織者：在研究反比例函數(shù)圖象之前我們學習過哪些函數(shù)？當時研究了關于這些函數(shù)的哪些問題？通過什么方法研究的？通過這樣的問題，既可以讓學生回顧一次函數(shù)的圖象與性質，也讓學生明確了之前研究了關于一次函數(shù)的哪些方面(定義、圖象、性質及應用)的問題，是通過什么方法研究的.這樣從整體上概括研究的內容和方法，讓學生在學習之前做到心中有數(shù)，心中有法，不僅有利于學生領悟數(shù)學思想方法，也有助于培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和實踐能力.

片斷二：反比例函數(shù)性質探索環(huán)節(jié)

學生1：它們的圖象都分布在一、三象限.

學生2：通過觀察圖象可發(fā)現(xiàn)隨著x值的增大，y的值越來越小.

教師：你能從解析式和圖象兩個方面來說明嗎？

學生1：解析式中的k為正數(shù)時，說明圖象上每個點的橫縱坐標同號，這樣的點在第一或第三象限.

學生2：通過觀察畫圖象所列表格發(fā)現(xiàn)，隨著x值的增大，y的值在減小.

教師：那你能歸納你的發(fā)現(xiàn)嗎?

學生2：當k>0時，y隨x的增大而減小.

學生3：不對，當x=-1時，y=-6，當x=1時，y=6，隨著x值的增大，y的值在增大.

教師：這又是怎么一回事呢？(學生疑惑不解)

教師：學生2說的結論有成立的條件嗎？

學生4：我發(fā)現(xiàn)在第一象限和第三象限都是成立的，對整個圖象就不成立了.

教師：觀察真仔細，所以在描述反比例函數(shù)圖象性質時應強調在每個象限內.誰來重新歸納一下反比例函數(shù)圖象的性質？……

教師：剛才在發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象的性質時用了什么樣的數(shù)學思想方法?

學生5：數(shù)形結合.

評析 函數(shù)圖象和性質，本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體．通過對函數(shù)圖象的分析與研究，除了關注函數(shù)的性質的知識目標，更要關注研究過程中體現(xiàn)的數(shù)形結合等數(shù)學思想方法.在這個教學環(huán)節(jié)中，教師引導學生先觀察函數(shù)解析式中兩變量的取值特點，及畫圖象過程中所列表格中兩變量的變化規(guī)律，再到函數(shù)性質的探究、歸納，充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的相互轉化的過程.這種從函數(shù)的解析式、表格、圖象、性質相互間關聯(lián)入手的研究方法，使數(shù)學結合思想無聲地滲透到學習過程中，也體現(xiàn)了相互之間的轉化對研究問題的特殊作用，是轉化思想的具體應用，教學效果較好.

片斷三：反比例函數(shù)性質的應用環(huán)節(jié)

教師：你能求y1、y2、y3的值并比較大小嗎？

學生1：y1、y2、y3的值分別為：1、4、-4.所以y3

教師：這里采用代入求函數(shù)值，再進行比較大小的方法，這樣的結果很可靠，但如果所給的自變量的數(shù)值較大，顯然我們再用代入法去求值就會加大運算量，大家看看還有沒有其他的辦法比較大小？

學生2：我覺得可以利用剛學習的反比例函數(shù)的增減性來進行比較大小.

∵反比例函數(shù)y=-4/x，k=-4<0,

∴y隨x的增大而增大.

又∵-4<-1<1,∴y1

教師：這樣思考有點抽象，不仿畫出y=-4/x的圖象，借助函數(shù)圖象找出問題.(學生畫出圖象)

教師：在圖象上描出這三個點的大致位置，仔細觀察，找到問題的答案！(學生畫出各點的位置，并展開了討論.)

學生3：三個點在兩支不同的曲線上，分布在不同的象限內，而反比例函數(shù)的增減性描述的是同一象限內的變化規(guī)律.

教師：反比例函數(shù)圖象是不連續(xù)的兩支曲線，當我們研究它的增減性時，必須考慮所給的點是否分布在同一象限內.如果拋開圖象來直接來進行比較就顯得復雜抽象，而借助圖象描出各點的位置，就可以直觀地比較出函數(shù)的大小關系.

評析 片斷3的教學過程彰顯了教者的教學智慧.關于函數(shù)值的大小比較，學生并不陌生，在八年級一次函數(shù)的學習中已積累了處理問題的經驗.由于一次函數(shù)圖象是連續(xù)的，關于它的函數(shù)值的大小比較可以直接利用增減性比較，或通過求值比較.學生在這樣的已有知識經驗基礎上，對于本例中的問題，自然想到直接代入求值比較或借助增減性比較.這恰是反比例函數(shù)性質與一次函數(shù)性質的關鍵不同之處.教師并沒有急于給出方法指導，而是讓學生自己充分嘗試，發(fā)現(xiàn)不同的結果，讓學生產生思維沖突，激發(fā)了求知欲，再通過巧妙設問，點撥學生畫出圖象，描出點的大致位置，學生從抽象思考的迷茫到對直觀的圖象的明了，豁然開朗，也加深理解了反比例函數(shù)在不同象限內分別描述增減性的內涵.這種把抽象問題通過直觀圖象來研究的過程，使學生進一步感悟了數(shù)形結合思想方法.

2.對滲透數(shù)學思想方法的教學的思考與感悟

數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的靈魂，是對數(shù)學知識內容的本質認識，是對所使用的方法和規(guī)律的理性認識，如此理性的認識必然隱性地存在于一定的載體中，因此，將問題解決轉化為思維建構是衍生數(shù)學思想方法的有效路徑，讓學生在對比、探索及內化中感悟數(shù)學思想方法，從而讓看不見的數(shù)學思想方法漸次模仿、內化及運用，在有效思維構建活動中自覺地改變個體思維的方法，感悟數(shù)學思想方法.

1.在比對與模仿中感悟數(shù)學思想方法

認知心理學研究表明，數(shù)學思想方法要注意屏蔽“功能固著”，即通過具有不同的問題情境，把那些在解題思想方法上具有相似或相關的問題串聯(lián)起來，在變化中求不變，感悟數(shù)學思想方法的本質.例如：本課例中學習反比例函數(shù)的圖象與性質可類比一次函數(shù)的圖象與性質，一方面是對一次函數(shù)圖象與性質的復習，另一方面也讓學生從整體上明確研究函數(shù)圖象和性質的的基本套路，明確通過什么方法研究，通常研究哪些方面的問題，這對學生終身學習及終身的發(fā)展都有很大幫助.通過對不同類型函數(shù)的研究，逐步理解函數(shù)的內涵，學生對函數(shù)內涵的逐步理解提高的過程，也可以說是一個漸進的比對與模仿的過程.

2.在自主探索與合作交流中感悟數(shù)學思想方法

《課程標準》指出：“數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展及應用過程中，是數(shù)學知識與方法在更高層次上的抽象與概括，學生在參與數(shù)學活動中的過程中，通過自主探索、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想.”因此，數(shù)學思想方法重在悟，悟就需要過程，一個循序漸進、逐步逼近思想本質的過程.例如本課例片斷2中教學設計，通過啟發(fā)式教學，意在讓學生親身經歷觀察、實驗、猜想、歸納的過程，通過巧妙設問，引導學生由“解析式”、“表格”到“圖象”，再到“性質”，將數(shù)的刻畫和形的表達兩者緊密聯(lián)系起來，在一次次由數(shù)到形、由形到數(shù)的思維活動中，讓學生運用觀察、猜測、歸納、表達等多種方式，充分感受數(shù)學問題研究中數(shù)與形兩種方法之間相輔相成.

3.在內化與運用中感悟數(shù)學思想方法

數(shù)學思想離不開具體的數(shù)學內容，只有對數(shù)學內容進行深入的思考，才能逐步感悟其中蘊涵的數(shù)學思想.而一種數(shù)學思想方法的形成往往需要在不同的問題背景中經歷提煉、理解、應用等循環(huán)過程，讓學生切實參與，才能漸次領悟.鑒于此，運用新知識解決問題，恰好能讓學生感悟的數(shù)學思想方法得到有效的順應，讓數(shù)學思想方法由淺層面的認識漸次走向深刻的理解，真正得以內化.例如本課例片斷3中例題的教學設計，學生在已有的知識經驗支持下，通過代入計算比較大小和利用增減性進行函數(shù)值的大小比較進一步強化反比例函數(shù)與一次函數(shù)性質的關鍵不同之處.在教師畫出圖象的點撥下，學生豁然開朗，讓學生在解決問題過程中內化了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，并形成了一定的運用思想方法的意識.

[1]馬復，凌曉牧.新版課程標準解析與教學指導[M].北京：北京師范大學出版社.

[2]馬敏.讓學生在思維建構中“默會”數(shù)學思想方法[J].中學數(shù)學教學參考：中旬，2013(12):14-16

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