淺談數(shù)學(xué)課堂中直覺思維的培養(yǎng)
——以初中幾何教學(xué)為例

首都師范大學(xué)教育學(xué)院(100048)

宋偉強●

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淺談數(shù)學(xué)課堂中直覺思維的培養(yǎng)
——以初中幾何教學(xué)為例

首都師范大學(xué)教育學(xué)院(100048)

宋偉強●

直覺思維是數(shù)學(xué)創(chuàng)造和發(fā)明的源泉，因此在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中進行直覺思維的培養(yǎng)具有重要意義.教師在初中幾何教學(xué)過程中進行直覺思維的培養(yǎng)，要注重基礎(chǔ)知識整體性和系統(tǒng)性的培養(yǎng)，注重直觀材料的使用，提倡猜想，創(chuàng)設(shè)直覺情境,對邏輯步驟進行不斷簡約.

初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)直覺；幾何

數(shù)學(xué)直覺思維是指以一定的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系進行的敏銳、迅速的判斷和領(lǐng)悟的一種心智活動形式.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》強調(diào)：要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系；學(xué)生應(yīng)該有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維.其中，直觀、觀察、猜測等行為與直覺思維直接相關(guān).彭加勒說:“邏輯用于論證，直覺可用于發(fā)明.” 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維既是數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，更是社會創(chuàng)新發(fā)展的必要.但在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，特別是幾何部分，教師過于重視邏輯思維的作用，忽略了直覺思維的培養(yǎng)和運用.由此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解產(chǎn)生偏離，認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥無趣的，逐步對數(shù)學(xué)喪失了興趣.徐利治教授指出:“數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的.實際上每個人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的.”如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺？下面筆者將以初中幾何的教學(xué)為例，闡述數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)策略.

1．培養(yǎng)扎實的知識基礎(chǔ)，注重知識的整體性和聯(lián)系性

數(shù)學(xué)直覺不是憑空創(chuàng)造出來的，而是以一定知識結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗方法積累為基礎(chǔ)的，脫離上述條件直覺是不會發(fā)生，例如六歲兒童無法依靠直覺思維解決高中數(shù)學(xué)中的問題.獲得直覺的過程必定是一個從表面到深化，從外在到內(nèi)化的過程.

作為初中數(shù)學(xué)課程中的一部分，幾何課程新概念多、邏輯性強，形式上具有多樣性.在幾何的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，既要注重幾何基礎(chǔ)知識的培養(yǎng)，對于基本概念、公理等要有準(zhǔn)確的理解，同時不能忽視幾何對于發(fā)展邏輯思維能力的重要作用，以邏輯思維積累促進直覺思維的發(fā)展，因“量變”達“質(zhì)變”.同時，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)注重知識的整體性，既要把握數(shù)學(xué)各個有機部分之間的練習(xí)，又要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容與所內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想方法的整體性，讓學(xué)生能夠透過問題抓住本質(zhì)，激發(fā)直覺思維的產(chǎn)生.

初中幾何的知識聯(lián)系性較強.例如，梯形的性質(zhì)與三角形、平行四邊形有諸多聯(lián)系，因此在梯形部分的教學(xué)過程中則應(yīng)體現(xiàn)知識之間的聯(lián)系和整體性，為培養(yǎng)學(xué)生幾何直覺奠定基礎(chǔ).下圖為有關(guān)梯形的題目常見的幾種輔助線的做法，均是通過補或者割組合成三角形或平行四邊形，然后利用平行四邊形或者三角形的知識解決問題.

2.注重直觀材料的使用，創(chuàng)設(shè)直覺情境

直觀雖然與直覺有所不同，但是直觀材料的使用對于創(chuàng)設(shè)直覺情境，培養(yǎng)直覺思維起著重要作用.學(xué)生在初中階段才真正學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，對于圖形的掌握還僅限于日常生活，因此教師首先要做的是讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)圖形，建立初步的幾何直覺，即在認(rèn)識不同幾何圖形的基礎(chǔ)上，還能指出不同幾何圖形的特點，這就需要直觀材料的輔助.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意：一是要多向?qū)W生展示圖形，充分使用畫圖軟件，并且引導(dǎo)學(xué)生多動手畫圖，讓學(xué)生在視覺上受到?jīng)_擊；二是要利用好數(shù)學(xué)模型，也可指導(dǎo)學(xué)生制作數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生可以觸摸到幾何圖形；三是要用形象的直觀性語言表述幾何圖形的特點，引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想.通過上述方法，教師可將幾何問題“圖形化”、“模型化”，通過視覺、聽覺、觸覺等方面刺激學(xué)生的直覺思維.圖2為筆者前往美國加州中學(xué)訪問期間，在課堂上觀察到學(xué)生用牙簽盒泡沫制作的圖形模型，通過自己動手操作，學(xué)生能夠更加清楚地理解點與線、線與線的位置關(guān)系以及所組成圖形的特點.

3.改變題型設(shè)置，增加探索性題目

初中幾何部分的練習(xí)題多是直接給出結(jié)論要求證明，學(xué)生需要根據(jù)結(jié)論尋找相關(guān)證明，思維過程被倒置，邏輯推理引導(dǎo)了學(xué)生的學(xué)習(xí)思路，而直覺的作用卻難以體現(xiàn).加上大量的練習(xí)，使得幾何的學(xué)習(xí)變成了邏輯演繹形式的堆砌，因此學(xué)生的興趣難以被激發(fā)出來，幾何自然也就變成了困住學(xué)生思維的枷鎖.

在教學(xué)過程中，教師要應(yīng)當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，改變幾何題目多以證明題為主的現(xiàn)狀，增加探索類題目，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想等過程，最終通過邏輯分析證明自己的相關(guān)結(jié)論.這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維，又能提高邏輯分析能力.我們來觀察以下兩道題目：

例1 如圖3，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE.求證： BG=DE,BG⊥DE.

例2 (2008.義烏) 如圖4，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：

(1)①猜想如圖4中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；

②將圖3中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖5、如圖6情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖5證明你的判斷．

對比例1和例2，不難發(fā)現(xiàn)二者在邏輯證明上是相同的，但例1中結(jié)論已經(jīng)給出，缺乏直覺的情境，對于學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)是不利的；例2通過從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生進行猜想和證明，學(xué)生如同完成了一個研究過程，內(nèi)在潛能得到激發(fā)，通過題目體驗到直覺思維和邏輯思維的不同樂趣，思維得到全面發(fā)展.

4.提倡和鼓勵猜想

我們知道，數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開直覺的功勞，更離不開猜想的功勞，哥德巴赫猜想是最佳案例.大膽的猜想是直覺思維的重要形式之一.教師在教學(xué)過程中要鼓勵和提倡學(xué)生進行猜想，在幾何學(xué)習(xí)中，要引導(dǎo)學(xué)生在公理的指導(dǎo)下對相關(guān)的定理、推論等進行猜想，對問題解決中的圖形特點和關(guān)系進行預(yù)測，將猜想作為指導(dǎo)幾何學(xué)習(xí)的輔助工具.值得注意的是，猜想僅為學(xué)習(xí)或解題提供方向，接下來依舊需要邏輯分析加以證明.

以勾股定理的學(xué)習(xí)為例，學(xué)生可以通過邊長為(3，4，5)、(12，5，13)等直角三角形的特點，猜想出直角三角形各邊的數(shù)量關(guān)系，進而通過猜想得到的結(jié)論形式，繼續(xù)猜想可以通過與面積相關(guān)的方法加以證明，最終得出相關(guān)結(jié)論.結(jié)論得出后，學(xué)生可以進一步猜想非直角三角形三邊的關(guān)系，以及三維空間是否存在與勾股定理類似的結(jié)論等，然后逐一進行證明.盡管初中生可能無法獨立完成后續(xù)證明，但猜想得出類似的正確結(jié)論亦能讓學(xué)生獲得成就感.同時，在此過程中，學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題解決的“方向感”得到鞏固，數(shù)學(xué)直覺思維得到發(fā)展.

5.適當(dāng)簡化邏輯步驟，淡化對公理、法則等的記憶

初中幾何的學(xué)習(xí)，最重要的本是邏輯思維的培養(yǎng)，但由于考試的壓力，教師過分追求公理和法則的記憶，過分要求證明過程的嚴(yán)格化、程序化，學(xué)生在問題解決后記憶的更多是邏輯形式，使得幾何變得枯燥無趣，學(xué)生的直覺思維亦被壓制，思維本能無法得到釋放.

在幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，一是要在淡化公理和法則的記憶的同時，加強對公理法則的直覺性理解和運用；二是要在保證邏輯思維嚴(yán)密性的基礎(chǔ)上簡化邏輯步驟，注重證明過程的整體性，使得證明過程更加簡潔易懂，邏輯重點更加突出.

下面是初中生在幾何學(xué)習(xí)中最為常見的證明題目，邏輯步驟如下：

例3 如圖7，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．

證明 延長BA、CE，兩線相交于點F.

∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF和△BEC中,∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC.∴△BEF≌△BEC(ASA),∴EF=EC,∴CF=2CE.

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°.

又∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠ACF.

在△ABD和△ACF中,∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°,∴△ABD≌△ACF(ASA), ∴BD=CF, ∴BD=2CE.

例3中，△BEF≌△BEC的證明較為簡單，證明所需條件較為明顯易得，在學(xué)習(xí)完全等三角形的證明之后解決此問題，對于大多數(shù)學(xué)生已不具難度，因此證明過程中關(guān)于△BEF≌△BEC的證明部分略顯啰嗦，盡管邏輯步驟較為詳盡，但學(xué)生對于該題目的思維起點已經(jīng)能夠達到△BEF≌△BEC，因此再詳盡證明實際價值不大，這里可以有所省略.特別注意的是，上述僅限于完成全等三角形的學(xué)習(xí)后，在新授課階段該內(nèi)容不可省略.最后，教師在幾何的教學(xué)過程中要側(cè)重于思維，而不是過程，只有這樣才能為直覺思維的培養(yǎng)留出時間和空間.

總之，直覺思維和邏輯思維互為補充、互相促進，缺少任何一項，思維發(fā)展的完整性就無從談起.本文強調(diào)直覺思維的重要性，基于直覺思維推動了數(shù)學(xué)的發(fā)明和創(chuàng)新，只有在教學(xué)中注重數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)，學(xué)生才能體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)的美麗，數(shù)學(xué)學(xué)科才能得到更長遠的發(fā)展.

[1]昂利·彭加勒.科學(xué)的價值[M].李醒民譯.北京:商務(wù)出版社,2014.

[2]徐利治.徐利治談治學(xué)方法與數(shù)學(xué)教育[M].大連：大連理工出版社,2008.

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