一道值得學生探究性學習的習題

馬耀輝

摘要：利用數學教材中的習題資源，積極探索習題中的“變式圖形”，有效地變換題目條件，積極引導學生不斷進行習題創新，得到意想不到的數學創新能力。

關鍵詞：數學習題;變式圖形;習題創新;數學創新能力

中圖分類號：G633.6 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）027-000-01

課本中的習題都是經過編者的深思熟慮、反復斟酌而精心設計的，研究和運用好教材中的習題變式訓練，不但有利于學生思維的提高，而且往往還會收到知一題而通一類的教學效果。筆者在學校“數學興趣小組”教學輔導過程中，通過充分的利用數學教材中的習題資源，引導學生大膽猜象，有效地變換題目條件，積極探索習題中的“變式圖形”，得到了意想不到的數學效果。下面以北師大版九年級（上）聯系拓廣（P25）中的題目為例，體驗課本習題廣闊的探索空間和內在的無窮魅力。

題目1：正方形ABCD 的對角線相交于點O，正方形A1B1C1O 與正方形ABCD 的邊長相等，在正方形A1B1C1O繞點O旋轉過程中，兩個正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關系？請證明你的結論。

解析：在旋轉過程中有△AOE≌△BOF，

所以S四邊形OEBF= S△BOE+S△BOF

= S△BOE+S△AOE=S△AOB=1/4S正方形ABCD。

即得到結論：重疊部分的面積為原正方形ABCD面積的四分之一（定值）。

點評：此題如果僅限于上題結論，對學生探索能力的培養意義不大，教師此時應趁學生的探索熱情，引導學生進行如下探索：

一、題目變式的探索

（一）題目結論的引伸探索

1.在原題目中，猜想OE與OF有何數量關系，并證明你的猜想。

答：OE=OF.

2.在原題目中，當正方形A1B1C1O繞點O轉動到正方形A1B1C1O的邊OA1、 OC1與正方形ABCD的邊分別交于點E、F，猜想線段BE、BF、AB之間有怎樣的數量關系？并證明你的猜想。

答：BE+BF =AB

3.在原題目中，當正方形A1B1C1O繞點O轉動到任意位置時，正方形ABCD的邊被正方形 A1B1C1O覆蓋部分的總長度與OB又有怎樣的數量關系？直接寫出你的猜想不證明。

答：被覆蓋部分的總長度BE+BF =OB

評析：

本題形成上述結論的實質是：OA1 、OC1 是經過正方形ABCD 的對稱中心且互相垂直的兩條直線，正方形的大小以及是否是正方形都是非本質的。只要抓住了問題的本質， 就可以將其改編為若干豐富多彩的新命題。

（二）題目條件的變式探索

若將上述兩個正方形的邊長相等改變為邊長不相等，探索有什么結果？

解析：過O作ON⊥AB，OM⊥BC，垂足分別為N、M，若正方形ABCD的邊長為a，正方形A1B1C1O的邊長為b，在旋轉過程中易發現當b大于或等于a/2時，上述結論恒成立，當b小于a/2時，圖中重疊部分的面積均為b2。

圖形變換不僅是一題多變的一種手段，而且作為探索解題思路、發現解題方法的一種手段，因此在幾何教學中，教師不僅要善于引導學生進行“圖形變式”的訓練，而且還要讓學生在自主探索或合作交流中獲得探索新知的樂趣。

二、題目變式后的應用

題目1：把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉得到正方形AEFG，邊FG與BC 交于點H，（1）若設正方形ABCD 的邊長為3，且旋轉角為300時，HB的長為多少。（2）試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想。（4）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形ABHG）的面積為4/3cm2，求旋轉的角度n。

評析：

此題的設計是將題目的旋轉點作為正方形的一個頂點，旋轉后的圖形具備上述探索題目的基本特征。體現了從特殊到一般，從靜態到動態的圖形變式演變，符合學生的認知規律，能使學生較好地掌握圖形“旋轉變式”中的變量與不變量，培養了學生思考問題和解決問題的能力。

三、題目探究性學習后的反思

從“題目”情境設置來看，它以學生熟悉的兩個邊長相等的正方形在某一定點上旋轉為載體，讓學生在多元化的操作過程中體驗數學問題的演變過程，符合學生從特殊到一般，從靜態到動態的圖形變式認知規律，能使學生較好地掌握“圖形旋轉變式”中的變量與不變量，深刻感悟數學教學中的思想方法，如果教師在教學過程中能創造性地用好“圖形變式”后的這些題目，它不僅具有良好的導向作用，而且對學生的思維及探索精神的培養具有重要的意義。

從“題目”探究性學習方法來看，教師要立足教材，充分利用教材中的習題素材，在學生思維的最近發展區確定教學的起點，把教材上的習題知識點設計成需要學生探索的問題，引導學生進行探索性學習活動，通過教師對“題目”變式訓練的“導”，誘發學生對“題目”變式后的“探”，學生才能真正參與到觀察、分析、綜合、概括等再發現、再創造的思維活動中，才能激發學生的求知欲，從而使學生在探究中獲得新知，在探究中發展思維，在探究中提高數學素質。總之，教師對一些典型題目進行變式設計，這即是對學生探索學習方法的引導，也是學生創新能力的一種培養策略。