一道值得學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的習(xí)題

馬耀輝

摘要：利用數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題資源，積極探索習(xí)題中的“變式圖形”，有效地變換題目條件，積極引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行習(xí)題創(chuàng)新，得到意想不到的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)習(xí)題;變式圖形;習(xí)題創(chuàng)新;數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)識(shí)別碼：A 文章編號(hào)：1001-828X（2016）027-000-01

課本中的習(xí)題都是經(jīng)過編者的深思熟慮、反復(fù)斟酌而精心設(shè)計(jì)的，研究和運(yùn)用好教材中的習(xí)題變式訓(xùn)練，不但有利于學(xué)生思維的提高，而且往往還會(huì)收到知一題而通一類的教學(xué)效果。筆者在學(xué)校“數(shù)學(xué)興趣小組”教學(xué)輔導(dǎo)過程中，通過充分的利用數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題資源，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜象，有效地變換題目條件，積極探索習(xí)題中的“變式圖形”，得到了意想不到的數(shù)學(xué)效果。下面以北師大版九年級(jí)（上）聯(lián)系拓廣（P25）中的題目為例，體驗(yàn)課本習(xí)題廣闊的探索空間和內(nèi)在的無窮魅力。

題目1：正方形ABCD 的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，正方形A1B1C1O 與正方形ABCD 的邊長相等，在正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

解析：在旋轉(zhuǎn)過程中有△AOE≌△BOF，

所以S四邊形OEBF= S△BOE+S△BOF

= S△BOE+S△AOE=S△AOB=1/4S正方形ABCD。

即得到結(jié)論：重疊部分的面積為原正方形ABCD面積的四分之一（定值）。

點(diǎn)評(píng)：此題如果僅限于上題結(jié)論，對(duì)學(xué)生探索能力的培養(yǎng)意義不大，教師此時(shí)應(yīng)趁學(xué)生的探索熱情，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探索：

一、題目變式的探索

（一）題目結(jié)論的引伸探索

1.在原題目中，猜想OE與OF有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

答：OE=OF.

2.在原題目中，當(dāng)正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)到正方形A1B1C1O的邊OA1、 OC1與正方形ABCD的邊分別交于點(diǎn)E、F，猜想線段BE、BF、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想。

答：BE+BF =AB

3.在原題目中，當(dāng)正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)到任意位置時(shí)，正方形ABCD的邊被正方形 A1B1C1O覆蓋部分的總長度與OB又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想不證明。

答：被覆蓋部分的總長度BE+BF =OB

評(píng)析：

本題形成上述結(jié)論的實(shí)質(zhì)是：OA1 、OC1 是經(jīng)過正方形ABCD 的對(duì)稱中心且互相垂直的兩條直線，正方形的大小以及是否是正方形都是非本質(zhì)的。只要抓住了問題的本質(zhì)， 就可以將其改編為若干豐富多彩的新命題。

（二）題目條件的變式探索

若將上述兩個(gè)正方形的邊長相等改變?yōu)檫呴L不相等，探索有什么結(jié)果？

解析：過O作ON⊥AB，OM⊥BC，垂足分別為N、M，若正方形ABCD的邊長為a，正方形A1B1C1O的邊長為b，在旋轉(zhuǎn)過程中易發(fā)現(xiàn)當(dāng)b大于或等于a/2時(shí)，上述結(jié)論恒成立，當(dāng)b小于a/2時(shí)，圖中重疊部分的面積均為b2。

圖形變換不僅是一題多變的一種手段，而且作為探索解題思路、發(fā)現(xiàn)解題方法的一種手段，因此在幾何教學(xué)中，教師不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“圖形變式”的訓(xùn)練，而且還要讓學(xué)生在自主探索或合作交流中獲得探索新知的樂趣。

二、題目變式后的應(yīng)用

題目1：把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC 交于點(diǎn)H，（1）若設(shè)正方形ABCD 的邊長為3，且旋轉(zhuǎn)角為300時(shí)，HB的長為多少。（2）試問線段HG與線段HB相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想。（4）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形ABHG）的面積為4/3cm2，求旋轉(zhuǎn)的角度n。

評(píng)析：

此題的設(shè)計(jì)是將題目的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)作為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形具備上述探索題目的基本特征。體現(xiàn)了從特殊到一般，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的圖形變式演變，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能使學(xué)生較好地掌握?qǐng)D形“旋轉(zhuǎn)變式”中的變量與不變量，培養(yǎng)了學(xué)生思考問題和解決問題的能力。

三、題目探究性學(xué)習(xí)后的反思

從“題目”情境設(shè)置來看，它以學(xué)生熟悉的兩個(gè)邊長相等的正方形在某一定點(diǎn)上旋轉(zhuǎn)為載體，讓學(xué)生在多元化的操作過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的演變過程，符合學(xué)生從特殊到一般，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的圖形變式認(rèn)知規(guī)律，能使學(xué)生較好地掌握“圖形旋轉(zhuǎn)變式”中的變量與不變量，深刻感悟數(shù)學(xué)教學(xué)中的思想方法，如果教師在教學(xué)過程中能創(chuàng)造性地用好“圖形變式”后的這些題目，它不僅具有良好的導(dǎo)向作用，而且對(duì)學(xué)生的思維及探索精神的培養(yǎng)具有重要的意義。

從“題目”探究性學(xué)習(xí)方法來看，教師要立足教材，充分利用教材中的習(xí)題素材，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)確定教學(xué)的起點(diǎn)，把教材上的習(xí)題知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)成需要學(xué)生探索的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過教師對(duì)“題目”變式訓(xùn)練的“導(dǎo)”，誘發(fā)學(xué)生對(duì)“題目”變式后的“探”，學(xué)生才能真正參與到觀察、分析、綜合、概括等再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的思維活動(dòng)中，才能激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而使學(xué)生在探究中獲得新知，在探究中發(fā)展思維，在探究中提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。總之，教師對(duì)一些典型題目進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，這即是對(duì)學(xué)生探索學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，也是學(xué)生創(chuàng)新能力的一種培養(yǎng)策略。