針對一類非線性系統的多變量線性擴張狀態觀測器及其收斂性分析

劉曉東

針對一類非線性系統的多變量線性擴張狀態觀測器及其收斂性分析

劉曉東1

針對一類非線性不確定系統,構造了一種多變量線性擴張狀態觀測器 (Multi-variable linear extended state observer, MVLESO),用于實時估計非線性系統的不確定動態.采用頻域分析方法,剖析了所構造的MVLESO在非線性系統不確定動態估計方面的收斂性,并推導出不確定動態的頻域估計誤差模型.仿真結果表明,所設計的MVLESO可以較為精準地估計出非線性系統當前的不確定動態,該特性為基于MVLESO魯棒控制方案的有效實施奠定了基礎.

非線性系統,擴張狀態觀測器,自抗擾控制,收斂性,頻域分析

在傳統線性控制算法中,PID控制器在工業控制中占有重要的地位,然而隨著應用廣泛性的增加以及現代工業對控制性能要求的不斷提高,其存在的缺點不斷地突顯出來[1],主要體現在較弱的誤差衰減能力和抗干擾能力方面.為了克服線性PID控制器的缺點,韓京清提出了一種自抗擾控制(Active disturbance rejection control,ADRC)技術[2?3],這是一種可以實時估計并補償系統不確定動態的魯棒控制技術,其不需要精確的對象模型信息,也不需要假設不確定模型為參數線性化或者是有界的,故而可以應對較大范圍的不確定系統.目前,ADRC技術已在許多領域得到廣泛研究和應用,如高精度伺服系統控制[4?5]、機器人控制[6?7]、飛行器制導與控制[8?11]等,并展示出傳統控制方法不可比擬的效果.文獻[12?14]已對ADRC的思想、研究現狀和發展方向進行了較為詳細的綜述和展望.

ADRC控制器主要涉及三個部分的設計問題,分別為安排過渡過程、擴張狀態觀測器(Extended state observer, ESO)設計以及誤差反饋控制律設計,而且我們可以根據工程實際需求獨立地研究和設計各個組成部分[2].其中,ESO作為ADRC等非線性控制的重要組成部分,可以較為精準地估計出系統當前的未知不確定動態,估計量將被補償到控制系統中,從而使控制系統的魯棒性能得到有效提高,同時補償之后的控制系統結構簡單易于進一步的設計與分析.由于ESO在不確定動態估計方面的收斂性將影響到整個閉環控制系統的性能,因此研究其在不確定動態估計方面的收斂性是非常有必要的.

目前,在研究ESO對非線性系統不確定動態估計方面的收斂問題時,大多數文獻所選取的研究對象為某類單輸入單輸出非線性系統[15?18],其系統狀態變量間存在微分關系且其擴展狀態變量是單維的.此類非線性系統的結構相對簡單,故通過時域分析法證明所構建ESO的估計收斂性是可行的.但對于結構更為一般且較為復雜的多輸入多輸出非線性系統例如典型的飛行器一體化制導控制系統[9]、高超聲速飛行器姿態運動系統[11]、航天器姿態動力學系統[19]等,將難以借助時域分析法完成ESO估計收斂性的證明,而目前尚有的時域分析方法和體系也難以發揮其作用,因此針對此類系統有必要從其他思路來探索ESO估計收斂性的分析方法.另一種控制系統的分析方法—頻率分析法,可根據系統傳遞函數得到相應的頻率特性,該頻率特性具有較明確的物理意義,并可作為分析控制系統性能的依據.當系統階數較高時,頻域分析法避免了直接求解高階微分方程帶來的困難,具有更優越的實用性和方便性,故而在實際工程設計中得到廣泛的應用.鑒于此,本文借助于頻域分析方法進行相關問題的探索,研究ESO在一類多輸入多輸出非線性系統不確定動態估計方面的收斂性.

綜合考慮估計精準性、控制平滑性以及算法易于實現性[20],本文構建一種多變量線性擴張狀態觀測器(Multivariable linear extended state observer,MVLESO),用于實時估計非線性控制系統的多維不確定性向量.為了減輕MVLESO的估計負擔,文中將系統已知的內部動態引入其構造過程中.同時,本文研究了MVLESO的估計能力問題,分析了在非線性系統確切模型未知但有界的條件下,所設計的MVLESO對系統不確定動態的估計收斂情況,并給出了頻域內的估計誤差模型.

1 MVLESO設計

針對具有如下形式的非線性系統

假設非線性系統(1)的一部分內部動態是可知的或可測的,且可以近似獲得,則式(1)可以改寫為

于是,針對非線性系統(1),構造一種MVLESO,用于系統不確定動態的實時估計.

圖1 含MVLESO系統結構圖Fig.1 Structure diagram of MVLESO-based system

因此,針對非線性系統(1),可以構造如式(4)所示的MVLESO,用于實時估計非線性系統中的多維不確定性向量.

2 估計收斂性分析

本節通過求解傳遞函數并采用工程上較為實用的頻域分析方法,重點分析設計的MVLESO在非線性系統不確定動態估計方面的收斂性,并給出相應的估計誤差模型.

根據式(2)～(4),可以得到:

式中,矩陣表達式為而且,In×n表示n階單位矩陣,0n×n表示n階零矩陣.

對具有狀態空間方程形式的系統(6)進行拉氏變化,可以得到傳遞函數表達式

式中,Xa(s)和Ua(s)分別為和對應的拉氏變換向量, I2n×2n表示2n階單位矩陣.

為了求取逆矩陣(sI2n×2n?Aa)?1的解析形式,可以利用如下的矩陣等式:

即 (sI2n×2n?Aa)?1G=I2n×2n,式中,G11(s),G12(s), G21(s),G22(s)均為n階傳遞函數矩陣.

通過求解式(9),可以得到G11(s)和G21(s)的解析表達式,即:

不失一般性,觀測增益矩陣可取為β0=2βs,β1=βs2,其中βs=diag{βs1βs2···βsn},且βsi＞0(i=1,2, ···,n),將其帶入上式可得:

根據式(7)和式(11)可得傳遞函數關系

式中,E1(s),Z2(s)和(s)分別為和對應的拉氏變換向量,各時域/頻域向量定義形式如下:

于是,式(12)可以較為直觀地展現出輸入變量(即實際不確定性向量)與輸出變量(即狀態估計誤差向量與不確定性估計向量)之間的傳遞關系,它也可表示為如下標量形式:

將s=jω帶入上式,可得:

此時,若假設非線性控制系統第i通道所包含動態特性的最大頻率為ωmi(rad/s),故當滿足βsi?ωmi時,有如下關系式成立:

上式說明在滿足一定條件時,構造的MVLESO對非線性系統狀態變量和不確定動態均具有精確的估計能力,即驗證了MVLESO在估計方面的收斂性.值得注意的是,參數βsi的選取將決定著MVLESO對第i通道的估計帶寬.與此同時,因為在實際控制系統中難以絕對實現條件βsi?ωmi,因此必然會存在一定的估計誤差.

下面具體分析MVLESO對不確定動態的估計收斂情況,首先根據式(12)推導出系統不確定動態的頻域估計誤差模型,即

類似地,式(16)可以表示為如下標量形式:

以系統第i通道為例,下面給出不同βsi取值時,頻域估計誤差模型(17)中傳遞函數的幅頻特性曲線圖.

由圖2可以得出,對于特定取值的增益βsi,估計誤差模型傳遞函數的低頻幅值衰減特性較好,表明此時MVLESO的估計能力較強,估計收斂性較好;然而其高頻段的幅值衰減特性較差,直至無幅值衰減,此時MVLESO的估計能力較弱,直至估計輸出為零,即估計收斂性較差.與此同時,當βsi值增大時,估計誤差模型傳遞函數的幅頻特性衰減帶寬也隨之增大,意味著MVLESO的估計能力增強,估計收斂性也得以改善.

圖2 不同βsi取值時估計誤差模型傳遞函數的幅頻特性曲線Fig.2 Magnitude-frequency curves of transfer functions in estimation error models with different βsi

對上式進行拉氏反變換,可得到時域響應表達式

進一步,可以得到時域響應的穩態誤差為

由此可見,對于階躍型干擾信號,MVLESO對其估計誤差將隨時間趨于零.

3 仿真分析

本節通過計算機仿真驗證本文構造的MVLESO在非線性系統不確定動態估計方面的有效性和精準性,并通過方案對比分析展現其設計和性能方面的優勢.

仿真中,選取的非線性系統如下所示:

針對所選取的非線性系統,可構造形如式(4)所示的MVLESO,其中

仿真中,對比方案選取為滑模干擾觀測器(Sliding mode disturbance observer,SMDO),其基本構造形式如下:

式中,狀態觀測增益矩陣為K=diag{k1k2···kn},Q=diag{q1q2···qn},且ki＞0,qi＞0(i=1,2,···,n),向量函數sgn定義為

不失一般性,為了防止符號函數帶來的估計量高頻抖動問題,此處將采用飽和函數代替式(23)中的符號函數,隨之式(22)中的向量函數sgn將替代為向量函數sat,其定義如式(24)和式(25)所示.

式中,邊界層向量定義為δ=[δ1δ2···δn]T.這樣,原始觀測器(22)將轉變為改進型滑模干擾觀測器(Improved sliding mode disturbance observer,ISMDO),它將作為另外一種對比方案,其構造形式如下:

為了驗證MVLESO對時變干擾信號的估計效果,對系統施加控制量

然后,同時加入4個不同的時變干擾信號,并分別選取為

此外,仿真系統的采樣步長為0.001s.

本文MVLESO觀測增益矩陣選取為

對比方案SMDO觀測增益矩陣選取為

下面首先給出SMDO對4個時變干擾信號的估計曲線,如圖3所示.

從圖3可以看出,當SMDO中切換項增益取常值時,其對時變干擾的估計曲線中出現高頻抖動現象,直觀表現出原始SMDO的性能缺陷,進一步體現出引入ISMDO方案的必要性.

采用飽和函數替代符號函數之后,為了從一定程度上降低此處理方法造成的魯棒性能下降問題,可以適當地提高矩陣Q的元素值,令

下面將對比ISMDO和MVLESO對4個時變干擾信號的估計曲線,如圖4所示.

圖3 SMDO對各干擾量的估計曲線Fig.3 Estimation curves of different disturbance variables by using SMDO

圖4 ISMDO和MVLESO對各干擾量的估計曲線Fig.4 Estimation curves of different disturbance variables by using ISMDO and MVLESO

從圖4可以看出,相比原始SMDO方案,ISMDO和MVLESO均可保證干擾估計信號的平滑性.然而,相比ISMDO方案,本文設計的MVLESO可以更為快速、精確地估計出當前的干擾信號值.這樣,當采用基于MVLESO干擾補償的控制策略時,這種特性會大大增強非線性控制系統的魯棒性能,從而確保控制方案的有效實施.此外,滑模干擾觀測器方案在設計時需要預先得知或估計不確定性的上界值,其對干擾的估計精準性在很大程度上依賴于對真實上界值的復現水平,但實際上系統不確定性的上界值是很難預先得知的,采用估計策略實時獲取該值也會進一步增加算法的復雜程度和工程實現難度,從而體現出本文MVLESO在設計和性能上的雙重優勢.

根據之前的分析,采用MVLESO的精準估計并非是絕對的,即勢必會存在一定的估計誤差,各干擾量的估計誤差曲線如圖5所示.

此外,仿真還對MVLESO名義估計誤差與實際估計誤差進行差值比較與分析.對于施加的4種干擾信號,兩者的差值結果屬于10?15～10?14量級,說明名義估計誤差與實際估計誤差是完全一致的,進一步體現出不確定動態估計誤差模型的正確性.名義估計誤差是指直接通過估計誤差模型(17)解算出的值,實際估計誤差指真實值與估計值之間的差值.

圖5 各干擾量的估計誤差曲線Fig.5 Estimation error curves of different disturbance variables

4 結論

本文針對一類多輸入多輸出非線性系統,利用系統部分內部動態構建一種MVLESO,用于實時估計非線性系統的多維不確定性向量.然后,分析其在不確定動態估計方面的有界收斂性,同時推導出頻域估計誤差模型.計算機仿真結果體現出構造的MVLESO對非線性系統不確定動態的估計精準性,同時驗證了本文推導出的頻域估計誤差模型的正確性.ESO對不確定動態估計誤差的有界性,將作為基于ESO閉環控制方案穩定性分析的前提條件.此類MVLESO的構造是在非線性系統(1)狀態可測的條件下進行的,當其部分狀態不可測時,還需要進一步研究僅基于系統輸出信息的MVLESO,關于其構造方法及估計收斂性分析可作為后續研究內容.

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劉曉東 北京航天自動控制研究所高級工程師.2013年獲北京航空航天大學博士學位.2013年7月至2015年7月在北京航天自動控制研究所從事博士后研究工作.主要研究方向為飛行器制導與控制,伺服系統控制以及先進控制理論.E-mail:liuxd_aerospace@yeah.net

(LIU Xiao-Dong Senior engineer at Beijing Aerospace Automatic Control Institute.He received his Ph.D.degree from Beihang University in 2013.From July 2013 to July 2015,he was working towards his postdoctoral research at Beijing Aerospace Automatic Control Institute.His research interest covers flight guidance and control,servo control,and advanced control theory.)

Multi-variable Linear Extended State Observer for a Class of Nonlinear Systems and Its Convergence Analysis

LIU Xiao-Dong1

For a class of nonlinear uncertain systems,a multivariable extended state observer(MVLESO)is constructed,and it is employed to estimate the uncertain dynamics of nonlinear system in real time.By means of the analysis method in frequency domain,the convergence property with respect to the estimation on uncertain dynamics of nonlinear system is analyzed.Furthermore,the estimation error model of uncertain dynamics is deduced in the form of frequency domain.Simulation results show that the as-built MVLESO can accurately estimate the current uncertain dynamics in nonlinear systems. This feature lays a foundation for the effective implementation of MVLESO-based robust control scheme.

Nonlinear system,extended state observer(ESO), activedisturbancerejection control(ADRC),convergence, frequency-domain analysis

劉曉東.針對一類非線性系統的多變量線性擴張狀態觀測器及其收斂性分析.自動化學報,2016,42(11):1758?1764

Liu Xiao-Dong.Multi-variable linear extended state observer for a class of nonlinear systems and its convergence analysis.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1758?1764

2015-10-27 錄用日期2016-05-03

Manuscript received October 27,2015;accepted May 3,2016

國家自然科學基金(61403355)資助

Supported by National Natural Science Foundation of China(61403 355)

本文責任編委季海波

Recommended by Associate Editor JI Hai-Bo

1.北京航天自動控制研究所 北京100854

1.Beijing Aerospace Automatic Control Institute,Beijing 100854

DOI 10.16383/j.aas.2016.c150707