n元二次型的一個幾何度量定理

姚云飛, 唐 劍, 王先超, 姚 磊

(1.阜陽師范學院 數學與統計學院,安徽 阜陽 236037; 2.中央財經大學 金融學院,北京 100081; 3.阜陽師范學院 經濟學院,安徽 阜陽 236037)

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n元二次型的一個幾何度量定理

姚云飛1, 唐 劍1, 王先超1, 姚 磊2,3

(1.阜陽師范學院 數學與統計學院,安徽 阜陽 236037; 2.中央財經大學 金融學院,北京 100081; 3.阜陽師范學院 經濟學院,安徽 阜陽 236037)

文章從代數學出發,以分析學為工具,獲得了n元二次型的一個幾何度量定理,并由此將一批幾何度量的問題系統化,且處理方法簡捷,推廣了前人的相關結果。該文的方法與結果對從事金融數學、統計學等研究有一定的參考價值。

二次型;正交變換;幾何度量

0 引 言

設X=(x1x2…xn1)T,XT表示X的轉置,矩陣A的行列式記為|A|,矩陣A的元素aij的代數余子式記為Aij。

1 引 理

引理1 假設如下：

(1) 矩陣

是實對稱矩陣。

(2) 二次型

若

則有：

(Ⅰ) 二次型f(x1,x2,…,xn)經過平移后

其中

(Ⅱ) 二次型f(x1,x2,…,xn)通過兩步正交變換(平移與旋轉)可以化為

其中,λi(i=1,2,…,n)為矩陣B的特征值

證明 (1) 由An+1,n+1≠0及Cramer法則知,方程組

有唯一解

由AT=A和文獻[1]中的定理3知：

而平移后的二次型f(x1,x2,…,xn)的二次項系數不發生變化。事實上,令

即

亦即

故

于是,有

則由(Ⅰ)知：

由文獻[3]中的定理8知,存在正交變換,使得:

于是,有

其中,λi(i=1,2,…,n)為矩陣B的特征值。故引理1(Ⅱ)成立。

在引理1(Ⅱ)中,當n=3時,便得到文獻[1]中結果;但文獻[1]中的d*表達式較繁,不易操作。而由本文引理2可知,d*=|A|/A33,這對于曲面分類的研究,使用更加方便。

引理2 設正交變換σ如下:

若f(x1,x2,…,xn)在有界閉區域Ω上連續,則有：

特別地,在正交變換下,當Ω為球時,Ω=Ω′。

2 定 理

定理1(二次型的一個幾何度量) 設矩陣A為實對稱矩陣,若

(1) 矩陣B是正定矩陣。

(2) |A|<0。

在歐氏空間Rn中的“體積”為：

證明 因為|B|=An+1,n+1且B是正定矩陣,所以An+1,n+1>0。由引理1(Ⅱ)知：

經過兩步正交變換(平移與旋轉)可以化為：

其中,λi(i=1,2,…,n)為矩陣B的特征值。由矩陣B的正定性知λi>0,i=1,2,…,n。于是,由f(x1,x2,…,xn)≤0知：

從而,有

由|A|<0知：

(1)

已知

記

由引理2知：

若設

則由(1)式得：

(2)

其中，Γ(x)為Gamma函數。

文獻[2-5] 中的一些結果均為定理1的特例,且處理方法簡捷、統一。具體的以特例形式表述如下。

特例1 在定理的條件下,若

(1)a1,n+1=a2,n+1=…=an,n+1=0,

an+1,1=an+1,2=…=an+1,n=0。

由特例1知:

上述結果比文獻[3]中問題6的處理方法更簡單。

Ax2+By2+Cz2+2Fyz+2Gzx+2Hxy=1

上述結果比文獻[3]中問題10的處理方法更簡單。

(3) 若a>0,則二次曲面

x2+y2+z2+xy+yz+zx=a2

特例2 在特例1的條件下,當i≠j時,ai,j=0,其中i,j∈{1,2,…,n}。若將

在歐氏空間Rn中的“體積”記為βn,則

由特例2知：

(3) 若

則

即文獻[5]中問題3的結果。

上述結果為文獻[5] 關于λ(B(x,a))的結果。

由特例3知

(1) 在R1中,線段x2≤r2的長度ω1=2r。

(2) 在R2中,圓盤x2+y2≤r2的面積ω2=πr2。

(3) 在R3中,球x2+y2+z2≤r2的體積ω3=4/3πr3。

特例4 設aij=aji,i,j=1,2,3。若矩陣

在歐氏平面R2中的面積為：

上述結果即為文獻[3]中問題7的結果,且比文獻[3]的處理方法更簡單。特例1的(1)、特例2的(1)、特例3的(2)均是特例4的特例。特例4在平面解析幾何、第二型曲線積分等方面都有廣泛的應用。

特例5 設aij=aji,i,j=1,2,3,4。若矩陣

是正定矩陣,

特例1的(2)、(3),特例2的(2)以及特例3的(3)均是特例5的特例。

3 結 論

本文證明了n元二次型的一個幾何度量定理,由特例1～特例5知,一批已有的幾何度量(長度、面積、體積等)都是該定理的特例,由此可將上述幾何度量問題進行統一處理,且處理方法更加簡便。

[1] 北京大學數學系前代數小組.高等代數[M].4版.北京:高等教育出版社,2015:79-394.

[2] 胡適耕,姚云飛.數學分析:定理·問題·方法[M].北京:科學出版社,2007:166-167.

[3] 菲赫金哥爾茨.微積分學教程(第2卷)[M].8版.徐獻瑜,冷生明,梁文騏,譯.北京:高等教育出版社,2014:162-174.

[4] 吉米多維奇.數學分析習題集[M].李榮凍,譯.北京:人民教育出版社,1978:219-389.

[5]JONESF.LebesgueintegrationonEuclideanspace[M].RevisedEdSudbury:JonesandBartlettPublishers,2010:206-207.

[6]POLGAG,SEGOG.Problemsandtheoremsinanalysis[M].Berlin:Springer-Verlag,1972:143-145.

[7] 姚云飛.正交變換在重積分中某些應用[J].數學的實踐與認識,2003,33(9):139-144.

[8] 姚云飛.論二次型與正交變換在重積分中的某些應用[J].工科數學,2002,18(6):90-102.

(責任編輯 朱曉臨)

A theorem of geometric measure aboutn-ary quadratic form

YAO Yunfei1, TANG Jian1， WANG Xianchao1， YAO Lei2,3

(1.School of Mathematics and Statistics, Fuyang Normal University, Fuyang 236037, China; 2.School of Finance, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China; 3.School of Economics, Fuyang Normal University, Fuyang 236037, China)

A theorem of geometric measure aboutn-ary quadratic form is given from the perspective of algebra by means of analytics, which can make a large number of geometric measure problems become systematic in a simple process. It extends some related results. These methods and results have positive reference value among the research of financial mathematics, statistics and other fields.

quadratic form; orthogonal transformation; geometric measure

2016-08-07

國家自然科學基金資助項目(11401104);全國統計科學(重點)資助項目(2015LZ42;2011LY094);國家特色專業資助項目(TS11496)和阜陽師范學院重點學科資助項目(2010XK-03)

姚云飛(1956-),男,安徽合肥人,阜陽師范學院教授.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.11.028

O151.1; O172.2

A

1003-5060(2016)11-1580-05