從魯班發明鋸子談起

馮回祥

魯班不僅是一名能工巧匠，而且是鋸子的發明者。有一次，魯班的手不小心被一片小草割破，他驚奇地發現，小草葉子的邊沿布滿了密集的小齒，原來是這些小齒把自己的手劃破了，于是他便產生了聯想，根據小草邊沿的結構發明了鋸子。在這里，魯班用到的就是類比推理思想。類比在各種邏輯推理方法中是最富有創造性的一種方法，它在小學數學教學中有著十分廣泛的應用。

一、類比的意義及其作用

所謂類比是根據兩個或兩類事物具有某些相同或相似的屬性，其中一個（類）事物已知還具有另一屬性，從而推出另一（類）事物也可能具有這一相同或相似的屬性。可見，類比是用以推理的一種思維方法，用這樣的思維方法進行推理通常就叫類比推理，有時簡稱類比或類推。

類比是理性思維的一種本能，它使人預感到經驗所發現的某種事物具有某種特性，可以推論到同類的別的事物也具有同樣的特性。因此，類比是一種從已知到未知，探求和發現新知識的富有成效的思維方法。人們類比水壓發明了電壓，類比人腦發明了電腦，類比水波發明了光波……正如貝弗里奇所說，“獨創性常常在于發現原來認為沒有關系的兩個或兩個以上的研究對象或設想之間的聯系或相似之點”。在小學數學教學中，教師有意識地培養以至強化小學生的類比思維能力，使他們體驗到發現和創新的快樂，對于發展他們的智能，激發他們學習數學的興趣無疑是很有意義的。

《數學課程標準》（2011年版）中明確“歸納和類比是合情推理的主要形式”，并指出：第一學段“初步學會選擇有用的信息進行簡單的歸納和類比”；第二學段“進行歸納、類比與猜測，發展初步的合情推理能力”；第三學段“體會證明的必要性，發展初步的演繹推理能力”。其目的是有序地培養學生的推理能力。

作為一種由特殊到特殊，由已知到未知，探索和發現新知識的主要的推理方法，類比推理是發現數學概念、推導定理、定義、運算法則的有效途徑，是數學學習探索問題、分析問題、解決問題的重要思維方法。它可以幫助學生深入理解知識，進行發散性思維，培養合情推理能力。然而，筆者發現，在小學數學教學實踐中，有些教師認為小學數學教學內容簡單，沒有運用什么數學思維方法，因此，他們在課堂教學時主要局限于解題的技能與技巧層面。雖然從知識層面來看，小學數學的教學內容是比較簡單，但那里面處處蘊含著數學思維方法，在教學中需要教師去挖掘和滲透。

二、類比的方法策略

進行類比推理時，教師首先要引導學生在思維對象間進行比較，盡可能多地找出它們的相同點或相似點，從而確定兩個（類）思維對象賴以進行類比的方向，然后以此為依據，推理出其中一個（類）對象。這是一個由特殊到特殊、由一般到一般的推理過程。它以比較為基礎，同時也和抽象概括、歸納演繹等思維方法緊密相關，交叉應用。其次，我們要掌握類比的兩個要領。

一是要善于觀察。進行類比推理所依據的兩種對象間的相同屬性數量越多，結論的可靠程度越大。因此，要善于觀察事物的特點，注意發現對象間的共同點或相似之處。

二是要善于聯想。聯想就是從一事物聯想到與它性質相似的其他事物；從一種方式方法聯想到與其他作用類似的其他方式方法；從一個概念聯想到與它關系密切的一串概念。小學數學教學中有關聯想訓練的分類大致有以下幾種：有定向聯想，如由長方形面積公式推出平行四邊形面積公式；有雙向聯想，如乘法分配律的正用、反用、變用；有接近聯想，如由“下半年的產量是上半年的3倍”，可形成“下半年產量比上半年多2倍→下半年產量是全年產量的[34]→下半年產量與上半年產量的比是3：1→上半年產量是下半年的[13]→上半年產量比下半年少[23]”等聯想；有類比聯想，如從等差數列求和公式（首項+末項）×項數÷2，想到梯形面積公式（上底+下底）×高÷2，從長方形面積公式“長×寬”，想到長方體體積公式“長×寬×高”等；還有對比聯想，如圓周長公式與圓面積公式的對比；有關系聯想，如由“求一個數的幾倍用乘法”聯想具有因果關系的“求一個數是另一個數的幾倍用除法”，如建立“梯形”的概念后可聯系前面學過的四邊形，聯想它們之間的關系是從屬關系等。

三、類比在數學教學中的應用

1.運用類比，激發學習興趣。

例如，寫出以下奇妙的得數：

2+1×9= 3+12×9=

4+123×9= 5+1234×9=

6+12345×9= 7+12345×9=

這類題組是訓練學生從“類比”前面幾道算式中的運算符號、數據變化規律，推測寫出后面幾道算式的得數，然后可讓學生分組核對結果是否正確。它既可以幫助學生鞏固四則混合運算的順序、運算技能，又可以培養學生類比推理的能力，促使學生猜想，并從中欣賞到“數學美”，從而激發起學生學習數學的興趣，喚起學生強烈的求知欲。

2.運用類比，講清意義。

例如，教學《一個數乘以分數》，教材設計了三幅圖（一桶水有12L），第一幅圖求3桶水有多少升？第二幅圖求[12]桶水有多少升？第三幅圖求[14]桶水有多少升？其編排意圖是要求從“類比”這三幅圖的問題、算式及運算意義之間的聯系中得出一個數乘以分數的意義。

3.運用類比，導出性質。

在教學《比的基本性質》時，學生剛開始接觸比和比例，感覺有些困難，但學生對于除法和分數的性質是相當熟悉的。教師可以讓學生“類比”除法、分數和比之間的關系，見下表：

引導學生根據分數的基本性質導出比的基本性質，會發現學生很自然說出了比的基本性質，即“比的前項和后項都乘以或者除以相同的數（零除外），比值不變”。這樣的講授使新知識不新，舊知識不舊，學生容易理解和接受。學生在學習新知識時，教師如果能合理應用舊知識進行類比，就能使學生學得輕松，學習效果也好。

4.運用類比，得出法則。

如，在教學《三位數乘多位數》時，可以將三位數乘多位數同兩位數乘多位數進行類比，引出“用乘數哪一位上的數去乘，乘得的數的末位就要和哪一位對齊”，從而引導學生類推出三位數乘多位數的法則。又比如將小數四則運算與整數四則運算類比，以小數乘法運算與整數乘法之間的類比為例。如：

6.8×4=（？） 68×4=（？）

6.8 68

×4 ×4

27.2 272

教師先引導學生觀察左右兩個乘法式子的相同點和不同點，發現除了6.8和68不同外，其余都相同，而學生已經學過整數乘法運算法則，會計算68×4，于是教師可以讓學生猜測如果將6.8擴大10倍變成68，那么左邊式子的計算方法與右邊式子的計算方法完全相同，這時應提醒學生注意由于一個因數擴大了10倍，積也相應擴大10倍，要想得到原題的結果，應把所得結果272縮小10倍，即是27.2。這樣的教學將新舊知識類比分析，能讓學生理解新知識更透徹，同時教師也能突破難點，降低教學難度。

5.運用類比，推導公式。

實踐告訴我們，類比推理是人們探索發現、解決問題一種卓有成效的思維方法。人們日常的學習與生活中處處充滿著類比。當學生具備了類比意識，在遇到一個新問題后，就會自然想到用以前解決過的問題進行類比，從中發現內在關聯，找出共同特點，挖掘出事物的本質規律特征。如，在教學圓柱體側面積時，學生已有長方形面積的知識，教師可以先引導學生動手操作，觀察認識圓柱體側面部位，然后展開圓柱體的側面，將曲面轉化到平面上，讓學生感知其側面展開圖是一個長方形。再讓學生類比長方形的長和寬與圓柱體相應部位的關系，由長方形的長（a）相當于圓柱體底面的周長（2πr），長方形的寬（b）相當于圓柱體的高（h），從而由長方形面積公式s=ab推出圓柱體的側面積公式S=2πrh。通過這樣的類比，學生不但加深了對公式的理解，而且也自然記住了公式，根本不需要去死記硬背。

又如，在學習圓柱體積時，學生已經熟悉掌握了長方體和正方體的計算公式，已經會用“底面積×高”進行計算。同理類比到圓柱也是柱體，也可用“底面積×高”的公式計算圓柱體積。接下來，教師就可以放手讓學生自己進行“類比——驗證”的探索過程。先將圓柱“切、拼”轉化為長方體，再根據長方體體積的計算公式推導出圓柱體積的計算公式。這樣，不僅降低了新知識的理解難度，而且使公式的推導變得順理成章、簡潔自然。

6.運用類比，總結解題方法。

解決數學問題的教學，如果能用系統論的觀點，按題材、結構、發展變換、互逆及轉化編成題組，讓學生運用類比方法練習解答，效果一定會很好。當然，運用類比法解決數學問題，關鍵在于尋找一個合適的類比對象。

在數學解題過程中，面對一道陌生的題目，人們常常會產生一種“似曾相識”的感覺。兩類不同的應用題總有一些類似的成分。如果我們分析比較這些類似點，找出兩者之間的共同特性，就可能得出令人欣喜的結果和方法。通過比較和聯想，將一類數學問題的解題技巧與方法遷移到另一類數學問題的解決上去，讓學生觸類旁通，巧妙遷移，可以有效提高學生解題能力。

例如，雞兔同籠題和行程問題都是小學數學中常見的應用題。在學完前者后，教師就可以出示下題，引導學生找出兩者之間的共同點。如，某人爬山，早晨7時開始上山，每小時走3km，到了山頂休息1小時。下山每小時走5km，下午1時回到山下，共走了19km。問上山和下山的路程各多少km？這道題表面上看是行程問題，但其實不過是一道典型的雞兔同籠題的變型題。通過分析可以得出二者的相似之處：上山時速為3km，下山5km，與“單只雞與兔的腳的數目”相當。全程除去休息共用13-7-1=5小時，相當于雞兔的總數。全程19km相當于“雞兔的總腳數”。上山和下山所用時間各多少，相當于“雞兔各幾只”。

由此可見，該“行程題”的解答與“雞兔同籠”題的解法完全相同。這樣，通過類比發現問題，引導學生思考探究、應用遷移、歸納總結、自主構建知識。如此，既可激發學生的求知欲，啟迪學生的思維，培養學生自主構建知識的能力，也可以順利實現從“舊知”向“新知”的“知識遷移”。

同理，在小學數學中，“工程問題”中的三個數量有“工作效率×工作時間=工作總量”這樣的關系。而“行程問題”中的三個量也有類似的關系，即速度×時間=路程。因此，工程問題的解法可以類推到行程問題中去。這樣，通過類比溝通了兩類不同的應用題，總結出兩類題目可以用同樣的數學方法解決，從而達到舉一反三的效果，避免陷入題海戰術，使學生的學習變得更加輕松。

類比推理是一種或然推理，依次得出的結論可能是正確的，也可能是不正確的。它的真實性要經過論證和檢驗，才不會造成失誤和差錯。比如，將100增加10，然后再減少10，結果等于100。如果將此整數運算規律類比到分數和百分數的運算，得出“100增加10%，然后再減少10%，結果仍為100”，就成為一個錯誤的結論。但在小學數學中，一般不涉及證明方法。因此，在教學中，既要重視類比推理的應用，又要防止學生亂用類比造成錯誤。對類比推理得到的結論，教師要提醒學生養成檢驗的習慣，學會用實例進行檢查，以提高類比推理的能力。

類比推理不僅使數學知識容易理解，而且使有關定律、法則、公式等有規律的知識記憶變得自然和簡潔，從而有效激發起學生的創造力。正如美籍匈牙利數學家喬治·波利亞所說，“我們應該討論一般化、特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發現的偉大源泉”。

因此，在小學數學課堂教學中，只要我們結合學生實際，優選教學策略，引導學生大膽類比，自主探究，尋找規律，就會點燃學生思維的火花，就能夯實學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，為最終培養學生批判性思維和創新精神打下良好的基礎。

（作者單位：華中科技大學附屬小學）

責任編輯 嚴 芳