0劃歸自然數引發的思考

裘靖

0是不是自然數一直是一個很有爭議的話題，世界各國定義不同。前蘇聯數學教材里認為0是整數，而非自然數，自然數即正整數，而歐美教材則把0歸為自然數，自然數即非負整數。新中國成立之后，我國的教材受前蘇聯的影響，一直把0歸為整數，而非自然數，認為最小的自然數是1。隨著改革開放，很多西方國家的觀點滲入進來，于是為了和國際接軌，從1993年起《中華人民共和國國家標準》就把0歸到了自然數的范疇，最小的自然數由1變成了0，我們使用的中小學教材也陸續做了更改。然而幾十年過去了，與0相關的一些問題，如，0是不是合數，最小的一位數是不是0等，教師們仍然很困惑！而筆者認為把0歸不歸為自然數都有道理，說0不是自然數，因為0不是序數，數物體時它沒有辦法與一定數量的物體建立起對應的關系；說它是自然數，因為它有基數的含義，一個物體也沒有就用0來表示。所以0是不是自然數只是一個規定而已，只是一個它所屬類別的問題，并不影響0本身的意義和它的本質屬性。因此要厘清0的相關概念，關鍵是看0是否具備這些概念的本質特征，而不是0的歸屬問題。下面筆者就0成為自然數后對小學數學教學帶來的影響談談自己的看法。

一、教材中“為了方便，在研究因數和倍數的時候，我們所說的數指的是自然數（一般不包括0）”引發的思考。

過去自然數即正整數，教師們在教學因數和倍數時沒有疑議，都認為自然數按是否是2的倍數分為兩類：奇數和偶數，按因數的個數分為三類：1、質數和合數。最小的偶數是2，最小的奇數是1，最小的質數是2，最小的合數是4?？墒钱?歸為自然數后，改版后的教材特別說明“本單元所指自然數一般不包括0”。然而這“一般”二字就給學生和教師帶來困惑，到底什么時候考慮0，什么時候不考慮0？特別是教材明確指出0也是偶數。那大家自然會問：0是偶數，那0是不是質數或合數呢？

剛才說到0是不是自然數，只是一個它所屬類別的問題，并不影響0本身的意義和屬性。下面我們就來研究一下“0”。

1.“0”是不是某些自然數的倍數？

倍數、因數的概念是在整除的前提下產生的，那什么是整除呢？小學的定義： 整數a除以整數b（b≠0），除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a）?；蛘哒f，在整數除法中，如果商是整數而沒有余數，我們就說被除數是除數的倍數，除數是被除數的因數（2013版人教社教材）。初等數論里的概念：對整數a，b（b≠0），若存在整數c，使a=bc，則稱b整除a，a能被b整除。無論哪種解釋，始終只強調了0不能作除數。由于0除以任何非0整數結果都是0，所以0是任意非0整數的倍數，任何非0整數都是0的因數。

2.“0”是不是合數？

有教師認為既然0是所有非0自然數的倍數，那0必定擁有3個以上的因數，所以0是合數。其實不然，0究竟是不是合數，關鍵要看合數的定義。教材中是這樣描述合數的：“一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，那么這樣的數叫做合數。”而0擁有無數個因數，確單單少了它“本身”這個因數。因此，它不具備合數的本質屬性，不能歸為合數。假設0是合數，那么它能用質因數相乘的形式表現出來嗎？這就與“每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式”產生了矛盾。所以，筆者認為0既不是質數，也不是合數。這也許就是新教材把自然數的分類刪掉的原因吧！

3.為什么在因數和倍數單元要強調一般不包括“0”。

因為0歸為自然數后，如果不把0排除，一個數的最小倍數就是0，0的因數有無數個，與我們過去研究的“一個數的最小倍數是它本身”、“一個數的因數的個數是有限的”相矛盾，不便于因數和倍數的對比。另外最小公倍數如果不把0排除，研究它就沒有任何意義了，也不能為后面的通分服務。所以為了研究方便，在這個單元里出現的因數、倍數、公因數、公倍數等，都將0排除在外，這樣就避免了一些不必要的麻煩。

二、習題中“最小的一位數是什么”引發的思考

在0沒有被納入自然數范疇之前，最小的一位數是1，這個沒有爭議，這首先說明了我們所說的一位數是在自然數范圍內研究的，這樣就不會有最小的一位數是-9的疑議。但是當0也加入了自然數的隊伍，那么最小的一位數是不是該變為0呢？筆者的答案是否定的！

1.最小的一位數是1

要確定0是不是一位數，關鍵要看一位數的概念。九年義務教育六年制小學數學第八冊教師教學用書第98頁“關于幾位數”是這樣敘述的：“通常在自然數里，含有幾個數位的數，叫做幾位數。例如，2，含有一個數位的數，叫做一位數；30含有兩個數位的數，叫做兩位數；405含有三個數位的數，叫做三位數……但是要注意：一般不說0是幾位數。《小學數學問答手冊》（北京師范大學出版社，1993年3月1版，第13頁）是這樣描述一位數和幾位數的：用一個不是0的數字寫出的數叫做一位數。例如：1、3、9……在一個數中，數字的個數是幾（其中最左端的數字不是0），這個數就叫做幾位數。判斷最小的一位數是幾，只能用一位數的定義來判斷，與0是否劃規為自然數無關。從上面的定義中可知，最小的一位數是1而不是0。

2.為什么不說0是一位數呢？

首先為什么要規定一個數的最高位不能是0。因為若沒有這樣的規定，0就是最小的一位數，由此可以得出最小的兩位數是00，最小的三位數是000。不僅如此，若沒有這樣的規定，對一個數也就無法確定它是幾位數了。例如，15是兩位數，“015”就變成了三位數，“0015”就變成了四位數。這樣，同一個數我們可以隨意稱它為幾位數，“位數”這一概念的存在也就沒有必要了。其次，就像小學階段因數和倍數單元不研究“0”一樣，它會給我們帶來一些不必要的麻煩，例如：三位數乘一位數的積是幾位數？如果0是一位數，是不是還要說明積可能是三位數、四位數，還有可能是一位數。完全沒有必要。

3.0不是一位數，是幾位數呢？

如果說0不是一位數，那0究竟是幾位數呢？從數學理論上講0的位數是-∞。一個數的位數不同的進制是不一樣的，拿我們現在學的十進制來說，一個自然數A，如果10n-1≤A<10n則A是一個n位數。例如：101≤18<102 ，所以18是兩位數，再如103≤1000<104，所以1000是四位數。0呢？它是一個極限值，它等于10的無窮大分之1，所以它的位數是-∞。

4.在小學階段，探討0的位數有沒有意義？

筆者認為是沒有意義的。①對于0的認識，教材本身就特殊對待了，一年級上學期的教材從目錄上看，1——5的認識和加減法，6——10的認識和加減法，11——20各數的認識，至于0，教材把它放在第三單元的末尾，并且是從計算中引入，讓學生在計算與圖片中感受，0表示一個物體也沒有。②對于“位數”的概念，教材從頭到尾都沒有，只有數位。那學生對于位數的概念是怎樣建立的呢？在一年級下冊的100以內加減法中首次出現整十數加一位數，后面再陸續出現兩位數加減兩位數，也就是說我們研究位數是為計算找規律，如三位數乘一位數積是三位數或四位數，三位數乘兩位數積是四位數或五位數等。為比較大小找方法，如：整數大小的比較，位數多的數大等。而這些都不需要考慮0。所以我個人認為最好的方式是回避，就像在小學階段研究整除，只在非0自然數里研究一樣，研究位數的時候也不需要考慮0。

就像西紅柿不管是當水果賣還是當蔬菜賣都不影響它的味道一樣，0歸為自然數后，0原有的所有特性全部沒變，0還是0，它就是一個特殊的數，特殊的數就特殊對待，該回避時就回避！

（作者單位：武漢小學）

責任編輯 劉玉琴