基于門(mén)限雙冪變差的資產(chǎn)價(jià)格時(shí)點(diǎn)波動(dòng)非參數(shù)估計(jì)

沈根祥

(1.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海 200433；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200433)

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基于門(mén)限雙冪變差的資產(chǎn)價(jià)格時(shí)點(diǎn)波動(dòng)非參數(shù)估計(jì)

沈根祥1,2

(1.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海 200433；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200433)

估計(jì)帶跳資產(chǎn)價(jià)格的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)時(shí)，需要用門(mén)限過(guò)濾方法消除跳的影響。在有限樣本下，門(mén)限過(guò)濾會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)濾偏誤和漏慮偏誤，降低估計(jì)精度。跳錯(cuò)濾產(chǎn)生的偏誤可通過(guò)對(duì)錯(cuò)濾樣本進(jìn)行補(bǔ)足的方法進(jìn)行糾偏，但由于發(fā)生時(shí)點(diǎn)未知，跳漏濾產(chǎn)生的偏誤無(wú)法糾正，只能通過(guò)估計(jì)量設(shè)計(jì)來(lái)減少漏濾偏誤。本文首次提出基于門(mén)限雙冪變差的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量，采用核平滑方法對(duì)資產(chǎn)價(jià)格時(shí)點(diǎn)波動(dòng)進(jìn)行非參數(shù)估計(jì)，有效減少跳錯(cuò)濾導(dǎo)致的偏誤。采用隨機(jī)陣列極限理論，本文證明了估計(jì)量的一致性和漸進(jìn)正態(tài)性，在分析有限樣本偏誤的基礎(chǔ)上，給出估計(jì)量的糾偏方法。蒙特卡洛模擬表明，本文給出的估計(jì)量，漏濾偏誤明顯小于基于二次變差構(gòu)造的估計(jì)量，對(duì)時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)的性質(zhì)具有實(shí)質(zhì)改進(jìn)。采用Kupiec動(dòng)態(tài)VaR精度檢驗(yàn)對(duì)滬深300指數(shù)的實(shí)證分析表明，本文給出的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)更能描述資產(chǎn)收益的波動(dòng)特征。

時(shí)點(diǎn)波動(dòng)；Poisson跳；雙冪變差；核平滑

1 引言

波動(dòng)(Volatility)在金融理論和實(shí)踐起著重要作用。連續(xù)時(shí)間金融認(rèn)為，資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)具有隨機(jī)性和時(shí)變性，是隨機(jī)過(guò)程。波動(dòng)過(guò)程在時(shí)間點(diǎn)上的值稱(chēng)為時(shí)點(diǎn)波動(dòng)(Spot Volatility)。方差的不可觀測(cè)性使波動(dòng)成為隱變量(Latent Variable)，需通過(guò)資產(chǎn)價(jià)格樣本間接進(jìn)行估計(jì)。在較低頻率下(例如周、月等)，可采用ARCH類(lèi)模型和SV模型等參數(shù)模型研究資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)，并采用極大似然方法估計(jì)模型參數(shù)。近年來(lái)，在對(duì)高頻數(shù)據(jù)的研究中，時(shí)點(diǎn)波動(dòng)的估計(jì)和推斷顯現(xiàn)出重要性。鑒于時(shí)點(diǎn)波動(dòng)不可觀測(cè)的特點(diǎn)，人們嘗試采用非參數(shù)方法估計(jì)時(shí)點(diǎn)波動(dòng)并將估計(jì)值作為“樣本”，使波動(dòng)過(guò)程變得“可觀測(cè)”，據(jù)此直接對(duì)波動(dòng)進(jìn)行分析或者以此作為進(jìn)一步分析的基礎(chǔ)，以克服波動(dòng)不可觀測(cè)的限制。Fan Jianqing和Wang Yazhen[1]采用核平滑技術(shù)給出高維隨機(jī)波動(dòng)模型時(shí)點(diǎn)波動(dòng)的一致估計(jì)及其漸進(jìn)分布，Kristensen[2]從RV的性質(zhì)出發(fā)給出擴(kuò)散過(guò)程時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)及其漸進(jìn)分布。Bandi和Reno[3]、Bollerslev和Todorov[4]在研究中把時(shí)點(diǎn)波動(dòng)作為輸入變量，Ait-Sahalia等[5]在研究杠桿效應(yīng)時(shí)，討論了時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)存在的各種偏誤對(duì)研究結(jié)果的影響。用非參數(shù)方法估計(jì)時(shí)點(diǎn)波動(dòng)，對(duì)資產(chǎn)價(jià)格模型的約束少，與GARCH和SV模型相比，能減少模型設(shè)定誤差。

在高頻交易數(shù)據(jù)中，資產(chǎn)價(jià)格經(jīng)常發(fā)生跳躍[6]。跳的存在嚴(yán)重影響波動(dòng)的估計(jì)準(zhǔn)確性，包括積分波動(dòng)(Integrated Volatility)和時(shí)點(diǎn)波動(dòng)。文獻(xiàn)中采用雙冪變差和門(mén)限二階變差兩種方法消除跳的影響。沈根祥[7]借助門(mén)限方法[8]，采用截尾收益平方構(gòu)造時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量來(lái)消除跳的影響，并允許資產(chǎn)價(jià)格存在杠桿效應(yīng)，推廣了Fan Jianqing和Wang Yazhen[1]和Kristensen的結(jié)論。門(mén)限截尾基于連續(xù)資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程在很短時(shí)間內(nèi)的改變量已接近1的概率不超過(guò)某個(gè)門(mén)限值，并將超過(guò)臨界值的觀測(cè)值作為跳過(guò)濾掉。門(mén)限方法在跳過(guò)濾時(shí)會(huì)產(chǎn)生的兩類(lèi)錯(cuò)誤：錯(cuò)濾和漏濾。將不是跳的超過(guò)門(mén)限值價(jià)格改變量作為跳濾掉會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)濾，錯(cuò)濾導(dǎo)致估計(jì)量的下偏誤，而不能將小于門(mén)限值的跳過(guò)濾掉會(huì)產(chǎn)生漏濾，漏濾導(dǎo)致估計(jì)量的上偏誤。給定門(mén)限值后，兩類(lèi)偏誤此消彼長(zhǎng)：過(guò)大(小)的門(mén)限值在減少(增加)錯(cuò)濾偏誤的同時(shí)，將增加(減少)漏濾偏誤。門(mén)限值給定后，哪些價(jià)格改變量被濾掉是知道的，可采用不同的方法對(duì)錯(cuò)誤過(guò)濾掉的樣本進(jìn)行補(bǔ)足以減少錯(cuò)濾偏誤。Corsi等[9]采用價(jià)格改變量的條件數(shù)學(xué)期望補(bǔ)充被濾掉的樣本，沈根祥[7]則采用鄰近未被濾掉的價(jià)格改變量均值補(bǔ)充錯(cuò)濾樣本。采用門(mén)限方法對(duì)跳進(jìn)行過(guò)濾時(shí)，未被濾掉跳的位置是不知道的，因此不能進(jìn)行修正以減少漏濾偏誤。錯(cuò)濾造成的估計(jì)偏誤大于漏濾造成的偏誤，往往取較大門(mén)限值以減少錯(cuò)濾偏誤，這勢(shì)必增加漏濾偏誤[7]。如何減少跳漏濾導(dǎo)致的估計(jì)偏誤，是時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)需要解決的問(wèn)題。本文將消除跳影響的兩種方法結(jié)合起來(lái)，首次采用門(mén)限雙冪變差構(gòu)造時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量，以減少跳漏濾帶來(lái)的估計(jì)偏誤。

國(guó)內(nèi)對(duì)金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的研究大多以離散時(shí)間GARCH模型和SV模型為主，近年來(lái)出現(xiàn)的基于高頻數(shù)據(jù)的研究多為RV和IV的估計(jì)并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行含跳資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程的建模。陳浪南和孫堅(jiān)強(qiáng)[10]采用GARCH跳模型對(duì)上證指數(shù)的實(shí)證研究表明，指數(shù)中的Poisson跳存在時(shí)變特征和群集效應(yīng)，劉志東和陳曉靜[11]使用無(wú)限活躍Levy純跳CGMY模型研究上證綜指的跳規(guī)律，采用GMM方法估計(jì)模型參數(shù)，發(fā)現(xiàn)上證綜指中跳活躍BG指數(shù)小于1。王春峰等[12]基于BN-S方法對(duì)上證綜指已實(shí)現(xiàn)方差進(jìn)行分解，研究跳躍性方差的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，采用HAR-RV-CJ模型對(duì)已實(shí)現(xiàn)方差進(jìn)行預(yù)測(cè)，陳國(guó)進(jìn)和王占海[13]將滬深300指數(shù)的已實(shí)現(xiàn)方差分解為連續(xù)性方差和跳躍性方差并分別建立模型，楊科和陳浪南[14]用門(mén)限雙冪變差估計(jì)積分方差對(duì)BN-S方法進(jìn)行改進(jìn)后對(duì)上證綜指5分鐘高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行跳存在性檢驗(yàn)，并使用ACD模型和ARCH模型對(duì)波動(dòng)率中的跳行為進(jìn)行研究。沈根祥[6]采用門(mén)限雙冪變差改進(jìn)Lee和Mykland[15]的方法，對(duì)滬深300指數(shù)中泊松跳躍行為進(jìn)行了逐時(shí)點(diǎn)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)分析。楊科等[16]將波動(dòng)分解為跳波動(dòng)和積分波動(dòng)，并構(gòu)造包含跳的AHAR-RV-CJ模型對(duì)中國(guó)股市的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與其它波動(dòng)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較。時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)方面，沈根祥[7]采用以門(mén)限二階變差為基礎(chǔ)，采用核平滑技術(shù)構(gòu)造了跳擴(kuò)散過(guò)程的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)非參數(shù)估計(jì)。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)均以?xún)r(jià)格過(guò)程的二階變差為基礎(chǔ)進(jìn)行構(gòu)造，本文首次以雙冪變差為基礎(chǔ)，結(jié)合跳過(guò)濾的門(mén)限方法構(gòu)造跳擴(kuò)散過(guò)程時(shí)點(diǎn)波動(dòng)的非參數(shù)估計(jì)，以最大程度減少跳漏濾帶來(lái)的估計(jì)偏誤。采用隨機(jī)陣列極限定理證明了估計(jì)量的一致性和漸近正態(tài)性。為更有效減少跳錯(cuò)濾帶來(lái)的估計(jì)偏誤，本文采用跳發(fā)生點(diǎn)附近價(jià)格改變量的中位數(shù)作為被濾跳樣本的補(bǔ)充。蒙特卡洛模擬顯示，本文構(gòu)造的估計(jì)量能顯著減少跳漏慮帶來(lái)的估計(jì)偏誤，采用動(dòng)態(tài)VaR精度檢驗(yàn)對(duì)滬深300指數(shù)的實(shí)證分析表明，本文給出的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)更能描述資產(chǎn)收益的波動(dòng)特征。

2 資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程模型設(shè)定

dpt=μtdt+σtdwt+dJtt∈[0,T]

(1)

資產(chǎn)價(jià)格模型大多為右連續(xù)左極限存在的隨機(jī)過(guò)程，滿(mǎn)足條件A1.[17]。本文中的估計(jì)量基于核平滑非參數(shù)方法，對(duì)核函數(shù)和帶寬作如下假設(shè):

K1. 核函數(shù)K(·)為非負(fù)實(shí)值連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)數(shù)有界，并滿(mǎn)足：

∫RK(z)dz=1, ∫RzK(z)dz<∞, ∫RKm(z)dz≡Km<∞, m=2,4

K2. 帶寬(Bandwidth)h滿(mǎn)足：(i)h→0；(ii)當(dāng)n→∞、h→0時(shí)，nh→∞，nh2log(1/h)→0。

3 時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量及其性質(zhì)

3.1 具有杠桿效應(yīng)的擴(kuò)散過(guò)程時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量

對(duì)任意時(shí)點(diǎn)t∈(0,T)，設(shè)Kh(s)=h-1K[(s-t)/h]為平滑核。首先定義資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程不存在跳的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量：

(2)

定理1：設(shè)pt為連續(xù)過(guò)程，dJt=0。如果條件(A1.)、(K1.)和 (K2.)滿(mǎn)足，對(duì)?t∈(0,T)，有：

(3)

由(3)第一式得出：

(4)

為敘述方便，設(shè)：

(5)

(6)

并且求和項(xiàng)均為鞅差序列，便于采用隨機(jī)分析工具。

其中：

關(guān)于Fi可測(cè)。根據(jù)Jacod 和 Shiryayev[19]，需要證明：

由此得出：

將D1變形為：

由條件(A.)可知σt是連續(xù)Ito半鞅[20]。根據(jù)Ito半鞅連續(xù)模得出|σi-1-σi|≤c[δlog(1/δ)]1/2，并根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)連續(xù)模得出：

對(duì)于D2，采用如下分解：

本定理的證明與Corsi[9]、Reno和Bandi[3]等核心定理的證明采用了類(lèi)似的理論工具，但存在區(qū)別。Corsi、Reno和Bandi構(gòu)造的是已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)估計(jì)量，是時(shí)間區(qū)間上波動(dòng)的總和，本文構(gòu)造的是時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量，采用了核平滑方法，需要證明核權(quán)重的隨機(jī)變量部分和的中心極限定理，其中D2收斂于0的證明為新增內(nèi)容。

3.2 含Poisson跳的資產(chǎn)價(jià)格時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量

由Poisson過(guò)程的性質(zhì)可知，[0,1]區(qū)間內(nèi)只有有限次跳躍發(fā)生，當(dāng)n→∞時(shí)，相鄰區(qū)間(ti-1,ti]和(ti,ti+1]中至多有一個(gè)區(qū)間內(nèi)發(fā)生跳。設(shè)跳躍發(fā)生次數(shù)為N，最大跳幅為M。|Δip|和|Δi+1p|只有一個(gè)包含跳，另一個(gè)為連續(xù)擴(kuò)散過(guò)程的增量，不妨設(shè)為|Δip|。對(duì)|Δip|利用擴(kuò)散過(guò)程連續(xù)模性質(zhì)，再根據(jù)核函數(shù)K的有界性，得出：

T. 門(mén)限函數(shù)?(δ)滿(mǎn)足：limδ→0?(δ)=0，limδ→0[δln(1/δ)]/?(δ)=0。

(7)

定理3：設(shè)資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程pt滿(mǎn)足式(1)，且dJt≠0。如果條件(A1.)、(A2.)、(K1.)和(T.)滿(mǎn)足，則對(duì)?t∈(0,T)

∑iKh(ti)|Δip||Δi+1p|I{(Δip)2≤?(δ)}

I{(Δi+1p)2≤?(δ)}=∑iKh(ti)|Δip||Δi+1p|I{(Δip)2≤?(δ)}I{(Δi+1p)2≤?(δ)}I{Ni=0,Ni+1=0}+∑ti≠tKh(ti)

|Δip||Δi+1p|I{(Δip)2≤?(δ)}I{(Δi+1p)2≤?(δ)}I{Ni≠0or Ni+1≠0}=∑iKh(ti)|Δipc||Δi+1pc|+∑ti≠tKh(ti)|Δip||Δi+1p|I{Ni≠0 Ni+1≠0}

設(shè)NT為(0,T)上Poisson跳發(fā)生次數(shù)，根據(jù)泊松過(guò)程性質(zhì)NT<∞ a.s.，因此：

Mancini[8]提出的門(mén)限過(guò)濾技術(shù)多用于區(qū)間上已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的估計(jì)，定理3將這種方法用于時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量中心極限定理的證明，需要證明帶核權(quán)重濾掉項(xiàng)的漸近可忽略性。

定理3中的結(jié)論是δ=n-1→0的漸進(jìn)結(jié)論，當(dāng)n有限時(shí)存在跳過(guò)濾導(dǎo)致的有限樣本偏誤。偏誤有兩種，連續(xù)擴(kuò)散過(guò)程產(chǎn)生的價(jià)格改變量超過(guò)門(mén)限值被當(dāng)做跳錯(cuò)誤過(guò)濾掉，Poisson跳過(guò)程產(chǎn)生的價(jià)格改變量沒(méi)有超過(guò)門(mén)限值而沒(méi)有被過(guò)濾，前一種造成向下偏誤，后一種則造成向上偏誤。

3.3 跳過(guò)濾偏誤及其糾正

A1i=|Δipc|Δi+1pc|I{(Δipc)2>?(δ)or(Δi+1pc)2>?(δ)}

A2i=|Δip|Δi+1p|I{Ni≠0 or Ni+1≠0}

I{(Δip)2≤?(δ),(Δi+1p)2≤?(δ)}

其中A1i為錯(cuò)濾項(xiàng)，A2i為漏濾項(xiàng)。對(duì)于A2i，根據(jù)Poisson過(guò)程的性質(zhì)和沈根祥[7]得出：

E(A2i)≤?(δ)P[(Ni≠0)∪(Ni+1≠0)]=ο(δ)

對(duì)于A1i，根據(jù)Holder不等式和沈根祥[7]得出：

錯(cuò)濾項(xiàng)和漏濾項(xiàng)的期望值都是δ的無(wú)窮小量。

盡管錯(cuò)濾和濾漏偏誤都是無(wú)窮小量，但前者趨于0的速度遠(yuǎn)低于后者[7]。為減少偏誤，對(duì)錯(cuò)濾進(jìn)行糾偏。具體做法是當(dāng)(Δipc)2>?(δ)時(shí)，用附近區(qū)間上價(jià)格改變量絕對(duì)值|Δi±kp|,k=1,2的中位數(shù)代替|Δip|。此外，估計(jì)式的權(quán)重項(xiàng)Kh(ti)是核函數(shù)積分的離散化，和并不等于1，為減少偏誤，將(7)式關(guān)于權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)化，得出跳錯(cuò)濾糾偏后時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量：

(8)

其中med表示中位數(shù)。作為濾掉價(jià)格改變量的補(bǔ)足，采用中位數(shù)比采用平均值更穩(wěn)健[7]。

3.4 與其他估計(jì)量的比較

3.5 最優(yōu)帶寬和核函數(shù)

4 蒙特卡洛模擬

本部分通過(guò)隨機(jī)模擬來(lái)評(píng)價(jià)時(shí)點(diǎn)方差估計(jì)量的效果，考察Poisson跳對(duì)時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)的影響以及時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)。

4.1 模擬數(shù)據(jù)

表1 濾偏誤比較

杠桿效應(yīng)通過(guò)價(jià)格過(guò)程布朗運(yùn)動(dòng)w和波動(dòng)過(guò)程布朗運(yùn)動(dòng)B的相關(guān)性來(lái)刻畫(huà)，相關(guān)系數(shù)為ρ。模擬以滬深300指數(shù)日內(nèi)五分鐘交易為對(duì)象，時(shí)間跨度為一年。參數(shù)取值與模擬數(shù)據(jù)產(chǎn)生的步驟與沈根祥[7]相同。

4.2 最優(yōu)帶寬和門(mén)限函數(shù)

本文采用沈根祥[7]中帶寬參數(shù)的確定方法，取帶寬為h=Cn-0.4999。交叉驗(yàn)證表明，對(duì)應(yīng)ρ值-0.25、-0.5和-0.75的最優(yōu)帶寬參數(shù)c0分別為1.70、0.45和0.50，并且不受跳頻度參數(shù)λ的影響。選取合適的門(mén)限函數(shù)有利于減少有限樣本偏誤。本文采用沈根祥[7]的門(mén)限函數(shù)?(δ)=12000-0.99≈8.95×10-4。

4.3 時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)跳漏濾偏誤比較

對(duì)表1中結(jié)果給出如下解釋?zhuān)?/p>

跳頻度對(duì)漏濾偏誤的影響：跳頻度對(duì)漏濾偏誤有顯著影響，頻度越高，漏濾偏誤越大。從表1中看出，λ的值從1/240(每周發(fā)生一次跳)逐漸增加1/24(每?jī)蓚€(gè)小時(shí)發(fā)生一次跳)時(shí)，對(duì)應(yīng)的漏濾偏誤隨之增加。跳頻度增加時(shí)，跳發(fā)生次數(shù)增加，漏濾發(fā)生次數(shù)增加，導(dǎo)致漏濾偏誤增加。

杠桿效應(yīng)對(duì)漏濾偏誤的影響：杠桿效應(yīng)強(qiáng)度影響漏濾偏誤，杠桿效應(yīng)越強(qiáng)，漏濾偏誤增大。從表1中看出，ρ的大小從0.25增加到0.75時(shí)，對(duì)應(yīng)的漏濾偏誤在大多情況下是增加的，只有在λ=1/24對(duì)應(yīng)的ρ從0.5增加到0.75時(shí)，Bias1有稍微減少，以及λ=1/48對(duì)應(yīng)的ρ從0.5增加到0.75時(shí)，Bias有稍微減少(表1中的下劃線(xiàn)數(shù)據(jù))。

5 實(shí)證分析—基于VaR測(cè)度的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)比較

GED分布為對(duì)稱(chēng)分布，均值為0，β<2時(shí)比正態(tài)分布有更厚的尾部，β=2時(shí)GED分布為正態(tài)分布，β→∞時(shí)，GED的極限分布為[-31/2,31/2]上的均勻分布，據(jù)此可以充分刻畫(huà)金融數(shù)據(jù)的厚尾性。

設(shè)N0為rt序列中LSt取0的個(gè)數(shù)，N1為L(zhǎng)St取1的個(gè)數(shù)，N=N0+N1為序列長(zhǎng)度，τ=N1/N稱(chēng)為失敗率，τ越接近p表明VaR估計(jì)越精確。據(jù)此Kupiec構(gòu)造極大似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量LR：

LR=-2(ln[(1-p)N0pN1]-ln[(1-τ)N0τN1])

在原假設(shè)H0:τ=p下，LR～χ2(1)。

表2 VaR精度比較

**表示已0.01顯著水平拒絕原假設(shè)。

6 結(jié)語(yǔ)

本文以?xún)r(jià)格改變量的雙冪變差為基礎(chǔ)，給出一類(lèi)新的資產(chǎn)價(jià)格時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量，顯著減少跳過(guò)濾帶來(lái)的漏濾偏誤。采用隨機(jī)陣列中心極限定理，本文得出估計(jì)量的一致性和漸進(jìn)正態(tài)性。蒙特卡洛隨機(jī)模擬的結(jié)果表明，無(wú)論是以單路徑累積偏誤均值為標(biāo)準(zhǔn)，還是以平均路徑累積偏誤為標(biāo)準(zhǔn)，本文給出估計(jì)量的漏濾偏誤在所有情況下都顯著小于以二次變差為基礎(chǔ)構(gòu)造的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量，使跳擴(kuò)散過(guò)程資產(chǎn)價(jià)格時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)量的性質(zhì)得到實(shí)質(zhì)性改進(jìn)。基于滬深300指數(shù)的VaR精度kupiec檢驗(yàn)進(jìn)一步表明，與門(mén)限二次變差時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)相比，本文給出的時(shí)點(diǎn)波動(dòng)估計(jì)更能刻畫(huà)資產(chǎn)收益的風(fēng)險(xiǎn)特征。

[1] Fan Jianqing, Wang Yazhen. Spot volatility estimation for high-frequency data[J]. Statistics and its Interface, 2008,1(2):279-288.

[2] Kristensen D. Nonparametric filtering of the realized spot volatility: A kernel-based approach[J]. Econometric Theory, 2010,26(1): 60-93.

[3] Bandi M, Reno R. Time-varying leverage effects[J]. Journal of Econometrics, 2012, 169(1):94-113.

[4] Bollerslev T, Todorov V. Estimation of jump tails[J]. Econometrica, 2011, 79(6):1727-1783.

[5] Ait-Sahalia Y, Fan Jianqing, Li Yazhen. The leverage effect puzzle: Disentangling sources of bias at high frequency[J]. Journal of Financial Economics, 2013, 109(1):224-249.

[6] 沈根祥. 滬深300指數(shù)跳的逐點(diǎn)檢驗(yàn)及動(dòng)態(tài)分析[J]. 中國(guó)管理科學(xué)，2012, 20(1):43-50.

[7] 沈根祥. 帶Poisson跳和杠桿效應(yīng)的資產(chǎn)價(jià)格時(shí)點(diǎn)波動(dòng)非參數(shù)估計(jì)[J]. 數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2012, 29(12):82-96.

[8] Mancini C. Non-parametric threshold estimation for models with stochastic diffusion coefficient and jumps[J]. Scandinavian Journal of Statistics, 2009, 36(2):270-296.

[9] Corsi F, Pirin D, Reno R. Threshold bipower variation and the impact of jumps on volatility forecasting[J]. Journal of Econometrics, 2010, 159(2):276-288.

[10] 陳浪南,孫堅(jiān)強(qiáng). 股票市場(chǎng)資產(chǎn)收益的跳躍行為研究[J]. 經(jīng)濟(jì)研究，2010, (4):54-66.

[11] 劉志東,陳曉靜. 無(wú)限活動(dòng)純跳躍Levy金融資產(chǎn)價(jià)格模型及其CF-CGMM參數(shù)估計(jì)與應(yīng)用[J]. 系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2010, 19(4):428-438.

[12] 王春峰,姚寧,房振明,等. 中國(guó)股市已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的跳躍行為研究[J]. 系統(tǒng)工程，2008, 26(2):1-6.

[13] 陳國(guó)進(jìn),王占海. 我國(guó)股票市場(chǎng)連續(xù)性波動(dòng)與跳躍性波動(dòng)實(shí)證研究[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010, 30(9):1554-1562.

[14] 楊科,陳浪南. 基于C-TMPV的中國(guó)股市高頻波動(dòng)率的跳躍行為研究[J]. 管理科學(xué)，2011, 24(2):103-112.

[15] Lee S S, Mykland P A. Jumps innancial markets:A new nonparametric test and jump dynamics[J]. Review of Financial Studies, 2008,21(6): 2535-2563.

[16] 楊科,田鳳平,林洪. 跳躍的估計(jì)、股市波動(dòng)率的預(yù)測(cè)以及預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)[J]. 中國(guó)管理科學(xué)，2013,21(3):50-60.

[17] Barndorff-Nielsen O E, Shephard N. Econometrics of testing for jumps in financial economics using bipower variation[J]. Journal of Financial Econometrics, 2006, 4(1):1-30.

[18] Mykland P A, Zhang Lan. The econometrics of high-frequency data[M]// Kessler M, Lindner A, Sorensen M. Statistical methods for stochastic differential equations, United Kingdom:Talor & Francis, LLC, 2012.

[19] Jacod J, Shiryaev N. Limit theorems for stochastic processes[M]. Berlin:Springer Science & Business Media, 2003.

[20] Barndorff-Nielsen O, Graversen S, Jocod J, et al. A central limit theorem for realized power and bipower variations of continuous martingales[M]//Kabanov Y, Lipster R, Stoyanov J. From stochastic calculus to mathematical finance. Heidelberg:Springer, 2006:33-68.

[21] Kupiec P. Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models[J]. Journal of Derivatives, 1995, 3(2):73-84.

Nonparametric Estimation for Spot Volatility of Asset Price Using Bipower Variations

SHEN Gen-xiang1,2

(1.School of Econmics,Shanghai University of Finance and Economics,Shanghai 200433,China;2.Key Laboratory of Mathematical Ecnomics(SUFE),Ministry of Education,Shanghai 200433,China)

The threshold jump-annihilating method to estimate spot volatility of jump-diffusion asset price processes can miss the small jumps and bring about upward bias[Corsi & Reno, JoE 2010 ]. In this paper, a new spot volatility estimator of asset prices is proposed based on bipower variation that reduces significantly finite-sample upward bias from jump-filtering-missing. The consistency and asymptotic normality is established. An extensive Monte Carlo simulation shows that the estimator in the paper outperforms the others in literature. The empirical study using Kupiec test based on sample from CSI300 shows that our spot volatility estimator can capture the feather of market risk more accurately.

Spot Volatility; Poisson Jumps; Bipower Variation; Kernel Smoothing

1003-207(2016)01-0021-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.01.003

2014-03-17；

2015-02-14

教育部人文社科研究規(guī)劃基金資助項(xiàng)目(13YJA790095)資助；上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助(201301KF01)

簡(jiǎn)介：沈根祥(1964-)，男(漢族)，河南許昌人，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：金融計(jì)量學(xué)，金融市場(chǎng)數(shù)量分析，E-mail:syxman@shufe.edu.cn.

F830.9

A