淺談教科書拓展性內容的結論在解題中的應用>——以人教A版高中《數學(選修2-1)》為例

秦曉燕

(河南省漯河高中，漯河 462000)

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淺談教科書拓展性內容的結論在解題中的應用
>——以人教A版高中《數學(選修2-1)》為例

秦曉燕

(河南省漯河高中，漯河 462000)

近幾年數學高考的命題已經越來越多地來源于教科書，有些命題是教科書例題或習題的變式，有些命題能運用教科書中例題或拓展性內容的結論簡化解題過程．因此，在教學中，教師應以教科書為藍本，讓學生把教科書中的問題徹底學懂、學透，不僅要會解、會證明，還要能舉一反三、靈活運用．本文，筆者以人教A版高中《數學(選修2-1)》為例來談談拓展性內容的結論在解題中的應用．

應用1 橢圓、雙曲線定義相關結論的應用

【教科書鏈接1】(第41頁例3)

圖1

圖2

【教科書鏈接2】(第55頁探究)

深挖教科書，我們可以將上面兩題拓展到一般情況，從而得出了以下兩個結論．接著我們就利用這兩個結論來解題．

【答案】B

【解析】如圖3，由題知C(1，0)，A1(-2，0)，A2(2，0).

圖3

設B1(1，y1)，B2(1，y2)(y1>0,y2<0).

∴S△A1B1C=S△A2B2C.

即 3y1=-y2.

①

②

【點評】在求解這兩道例題時，如果運用了上面雙曲線定義的相關結論，就可以大大減少運算量，這對解答高考題中的選擇、填空題能起到事半功倍的效果．

應用2 截口曲線是橢圓相關結論的應用

【教科書鏈接】(第42～43頁)

如圖4，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.那么，為什么截口曲線是橢圓呢？

圖4

歷史上，許多人從純幾何角度出發對這個問題進行過研究，其中數學家Germinal Dandelin的方法非常巧妙．

在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切．兩個球分別與截面相切于點E，F，在截口曲線上任取一點A，過點A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點C，B．由球和圓的幾何性質，可以知道

AE=AC，AF=AB．

于是

AE+AF=AB+AC=BC．

由切點B，C的產生方法可知，它們之間的距離BC是定值．這樣，截口曲線上任意一點A到兩個定點E，F的距離之和為常數．

由橢圓的定義可知，截口曲線是橢圓．

我們仿照上面這個問題的證明過程不難得出以下的結論，接下來我們再利用這個結論解題．

結論 用一個與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，得到一條截口曲線也是橢圓.

圖5

【考題鏈接】例3 (2016 河南省漯河高中4月模擬)如圖5所示，一個圓柱形乒乓球筒，高為20 cm，底面半徑為2 cm.球筒的上底和下底分別粘有一個乒乓球，乒乓球和球筒底面及側面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不計).一個平面與兩個乒乓球均相切，且此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，則該橢圓的離心率為( )

【答案】A

圖6

又由于O1O∥A1H，所以△O1OB1∽△OA1H，其中∠O1OB1=∠OA1H，

而乒乓球的直徑為橢圓的短軸長，2b=2r=4，即b=2.

【點評】本題中的一個平面與兩個乒乓球均相切，此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，在此背景下求橢圓的離心率，難度較大.解題的關鍵是求出橢圓的長軸長A1A2，短軸長2r=4；通過兩個相似的直角三角形建立角和邊長關系，從而求得了a=8. 在解題時，一定要明白三類接觸點A1和A2、B1和B2、C1和C2是不重合的.

應用3 圓錐曲線的光學性質的應用

【教科書鏈接】( 第75～76頁)

拋物線有一條重要性質：從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸，如圖7.

圖7

【答案】y2=4x

【點評】本題的解決方法是建立在光學的一條重要性質的基礎上，而這條性質在教科書中是屬于閱讀材料的內容，命題人認為這是一個常識，學生應該掌握. 但事實上，不少學生根本就不了解這個常識，覺得這道題缺少條件，殊不知，是自己忽視了教科書中的知識點.

由此我們發現教科書中的探究性內容實用性很強，既在基礎知識上進行了拓展，又突出了數學知識與時代發展

的聯系.探究性內容引導了學生主動去思考，并對所學的知識舉一反三.不僅考慮了學生數學發展的不同需求，還為不同的學生提供了適合自己的發展空間.因此教師在教學中應重視教科書中的探究性內容的學習，并把它們都分析透徹，掌握清楚．

隨著社會的進步和文化的發展，教師和學生手中有著越來越多的教學資源和復習資料.于是不少學生甚至教師都丟掉了教科書，整天埋在參考資料中.而事實上，教科書才是根本，才是精髓，只有先學透了，才能在此基礎上舉一反三，向更深層次發展．作為高中的數學教師，我們應讓學生先吃透教科書中的基礎知識，把其中的定義、性質定理及其證明都搞清楚，然后再把相應的例題、結論、課后作業、閱讀材料等拓展性內容進行整合并牢牢掌握.只有先把基礎知識學扎實了，才能更好地去運用相關參考資料加深和鞏固．這樣，學生的眼界拓寬了，從中體會到了數學的魅力和價值，就能更自主地學習數學.

人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學(選修2-1 A版)[M]. 北京：人民教育出版社，2013.

(責任編輯：李 珺)