概率統計課程模型化教學方法的實踐

周宗好

（黃山學院 數學與統計學院，安徽 黃山245041）

概率統計課程模型化教學方法的實踐

周宗好

（黃山學院 數學與統計學院，安徽 黃山245041）

為了更有效的對概率統計課程的使用模型化教學方法，從概率統計課程模型化教學模型的選擇、模型的實用性、時代性及計算3個角度，通過實例闡述概率統計課程模型化教學的要點，為概率統計模型化教學推廣提供參考。

模型化教學；概率統計；探討；實例

0 引 言

數學建模是通過運用數學符號、公式、程序、圖表等刻畫現實問題的抽象的本質屬性和內在規律，再通過數學計算求解來解釋和解決實際問題。數學模型應用廣泛，小到生活中購物、路線設計；大到投資理財、尖端的科學研究都離不開數學模型分析。近些年來，幾乎所有高校都開設數學建模校級公選課，并且鼓勵大學生參加全國大學生數學建模競賽和全國大學生統計建模大賽，希望以此提高大學生數學素養和分析問題能力。

概率統計課程作為一門應用性最強的數學課程之一，數學課程模型化教學方式也越來越受到重視的同時，討論概率統計課程的模型化教學方法旨在解決大學生理解隨機數學的難點；有利于提高大學生學習抽象理論知識的能力，因此具有重要的理論和現實意義。

雖然模型化教學在數學類課程教學方法改革中被廣泛的應用，但是也有許多問題存在，比如教學中使用的模型的選擇，模型的計算等問題都是模型化教學過程中難點，本文就概率統計課程的一些特點，總結模型化教學中的應該把握的幾個要點，以期提高概率統計課程的模型化課堂教學效果。

1 教學內容的模型化

概率統計課程的模型化教學的設計首先要把握的一個難點是概率統計模型的選擇。教師在教學內容的模型設計的過程中要把握好難度和對理論內容的貼切性。概率統計課程中的一些概念、性質、理論具有很強的抽象性，理解和應用對于初步接觸隨機數學的大學生來說確有難度，在模型化教學方法中可以通過精選例題、構造適合的概率統計模型，使得選擇的模型有效的融入了概率統計的理論知識同時形成實際問題有效的解決方案,讓學生能對概率統計課程的內容有全面而又深刻的理解。在生活和書本里雖然有許多例子，但是很多時候有些例子由于模型背景冗長而耽誤教學時間，或者不是很貼切需要學習的理論造成學生理解上的困難，這樣的例子都不適合作為概率統計課程模型化教學的例題。模型設計對教學內容要簡潔實用、貼合實際又能有效反映概率理論的應用價值。例如學習n個獨立隨機事件加法公式P（A1∪A2∪…∪An）=1-P可以舉例如下：

例1：如果做某事每做一次成功的概率為0.05，且相互獨立，則獨立重復做50次成功的概率是多大？

解：設事件Ai表示做某事成功，則Ai表示A做某事不成功，i=1,2,…50。A為獨立重復做某事成功，則A=A1∪A2∪…∪An，則有獨立事情和事件概率計算公式：

該模型是我們生活中常用來激勵人們不畏艱辛，不怕失敗的做某事的鼓勵語言，但是結論的得出需要我們的概率模型建立與求解。該模型在課堂教學中的使用，讓學生生活和實際中隨機數學無處不在，同時借此激勵學生好好學習。

2 模型的實用性和時代性

教學中模型的可選擇一些反映社會經濟生活中的背景與熱點問題，使的概率統計模型化教學課堂能跟上時代步伐，也讓學生感覺到學習隨機數學理論能解決實際問題，同時也讓授課內容實用化程度得到提高，增強課堂教學的趣味性。例如，在學習隨機變量數學期望這個知識點的時候，可以舉例的模型有很多，但是比較實用而且符合時代特性的舉例如下。

例2：某家庭可用于投資股票的資金為10萬元，當前看中一支股票的價格為8元/股，假如半年后該股票價格以概率0.6為12元/股；或者以概率0.4為6元/股。問：

(1)若要使半年后的股票市值最大，則是現在買還是半年后買？

(2)若要使半年后的股票股數最大，則是現在買還是半年后買適合？

解：設X表示股票半年后的售價，則X的分布律為：

(1)若半年后購買股票市值10萬元；而現在買股票半年后的市值為100000X/12，其期望為:

即半年后買股票的市值大。

(2)若現在購買則股票股數 100000/8=12500股；而半年后買股票半年后的股數為100000/X，其期望為:

即現在買股票股數多。

本例題主要是討論期望的比較功能，從而找出最佳投資方案，從本題來看，若想超過半年的更長期的股票投資顯然是現在購買股票，因為現在買比半年后購買股數多。若要一個短期的投資，選擇半年后購買適合。

3 模型實驗性教學

概率統計課程教學除了要求學生掌握書本的概率統計理論，對于理論應用的模型計算隨著信息技術日益發達而要求越來越高,現在新版的很多概率統計教材中對大量的模型計算均由軟件實現,例如MATLAB,SAS、R、SPSS等數學與統計軟件,當然除了課堂教學外，在當前這個大數據時代實際工作中大量數據的處理也離不開各種數學和統計軟件的使用。因此在概率統計課程的模型化教學中可以根據內容的特點利用數學或者統計軟件進行建模，開展實驗教學。現在統計實驗室建設和使用已經非常普遍，可以將課堂建立的概率統計模型代入實驗室結合統計理論進行實驗，增強學生對知識的理解，同時為今后的應用打下基礎。例如，在介紹大數定律在蒙特卡羅 (Monte Carlo)隨機模擬法中的應用，不妨介紹以下這個例題。

分析：我們知道函數ex2的原函數不是初等函數，則微積分基本公式在這里不能使用，該定積分值計算是高等數學中的難點，不妨利用隨機模擬法求其近似值。設二維r.v.(X,Y)服從矩形區域D={（x,y）|0≤x≤2,0≤y≤e4}上的均勻分布，記事件A={Y≤ex2},則其概率為：

解：利用Monte Carlo法在矩形區域D={（x,y）| 0≤x≤2,0≤y≤e4}投點20000個，其事件A發生的頻率和矩形面積的積部分數據統計如下：

Columns1993through2000

16.4205 16.2316 16.2399 16.2263 16.1361 16.3139 16.4805 16.6743

而Monte Carlo法的隨機投點圖和計算如圖1和圖2。

則蒙特卡羅法計算的積分值為：

圖1 隨機投點圖

圖2 蒙特卡羅法計算圖

4 總 結

模型化教學方法是當前概率統計及數學課程的主要教學方法，但是在具體的應用過程中，把握好以上幾點可以有效地提高課堂教學效果，提高學生的學習興趣和知識應用及創新能力。當然本文限于篇幅僅僅對幾個知識點進行舉例建模分析，而概率統計課程中其他很多知識點都可以通過結合生活實例進行模型化建模分析，讀者可以根據上面介紹的原則尋找模型設計內容進行模型化教學。另外，多年來作者根據模型化教學方法對多個班級進行實踐教學，在數學相關的學科競賽培訓中進行推廣均取得了良好的教學效果。

[1]劉衛鋒，周長芹.數學建模融入概率統計教學存在的問題與對策[J].高師理科學刊,2013,33(2):85-87.

[2]張玲，徐偉，趙冬霞.淺析概率統計思想融入數學建模[J].哈爾濱師范大學：自然科學版,2014,30(2):5-8.

[3]柴中林,銀俊成.蒙特卡羅方法計算定積分的進一步討論[J].應用數學與計算數學學報,2008,22(1):125-128.

[4]劉瓊蓀,鐘波.將數學建模思想融入工科“概率統計”教學中[J].大學數學,2006,22(2):152-154.

[5]李曉毅,徐兆棣.概率統計教學與數學建模思想的融入[J].沈陽師范大學學報：自然科學版,2008,26(2):245-247.

責任編輯：胡德明

The Practice of Model Teaching Method for Probability and Statistics

Zhou Zonghao
(School of Mathematics and Statistics,Huangshan University,Huangshan 245041,China)

In order to more effectively use model teaching method,this paper elaborates on the main points of its application in the teaching of probability and statistics in terms of teaching model selection, the practicality and modernity of the model and model calculation through some examples,which provides a reference for promoting the method in probability and statistics teaching.

model teaching;probability and statistics;discussion;examples

G642

A

1672-447X(2016)05-0079-03

2016-05-27

安徽省教育廳自然科學研究重點項目(KJ2015A166)；黃山學院教學研究項目(2014JXYJ21)；黃山學院科研啟動項目(2014xkjq006)

周宗好(1978-),安徽無為人,博士,黃山學院數學與統計學院副教授,研究方向為概率統計及應用。