談“極限”思想及其求速度加速度的應用

肖 文

(望江縣第二中學 安徽 安慶 246200)

陳 澤

(江蘇省鹽城中學 江蘇 鹽城 224005)

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談“極限”思想及其求速度加速度的應用

肖 文

(望江縣第二中學 安徽 安慶 246200)

陳 澤

(江蘇省鹽城中學 江蘇 鹽城 224005)

結合物理學科知識，介紹了物理學中的“極限”思想，并通過運動學中的兩個典型例題,詳細分析了“極限”思想求解物體的瞬時速度、瞬時加速度的方法與思路.這種方法只需要學生具備初等數學的知識，就能加深對物理量瞬時值的理解；同時，對學生今后學習導數的概念也具有重要的啟發意義.

極限思想 運動學 瞬時值

在高中物理學習過程中,經常遇到求解物體的瞬時速度、瞬時加速度(通常簡稱速度、加速度)的問題，但多數都集中在勻變速直線運動中，因而可以應用勻變速直線運動的基本公式、牛頓第二運動定律來求解，這屬于典型的動力學問題的求解思路.還有一些則是非勻變速運動的問題，通常應用“微元法”、“矢量分解法”來求解，這種方法的過程較為復雜，也很難使學生真正地理解，針對這種方法的難理解性，很有必要尋找其他思想方法來解決這一問題.而“極限”思想求解物體的速度、加速度雖然過程略顯復雜，但由于具有較強的數理邏輯性，也更符合高中學生的認知，因此，相對而言更容易被學生理解；從本質上講，“極限”思想求解物體的速度、加速度立足于速度、加速度的原始定義，因此，這種思想方法對于深入理解速度、加速度的概念是非常重要的；另一方面，這一方法涉及的數學知識也是中學生物理競賽要求掌握的數學基礎知識[1].

以下將結合物理學科知識，介紹物理學中的“極限”思想，著重就運動學中的兩個典型例題，詳細分析、介紹 “極限”思想求解物體的速度、加速度的方法與思路.

1 物理學中的“極限”思想

理解了“極限”思想，非常有利于深化對物理概念的認識與理解，對于什么是瞬時速度、什么是瞬時功率這樣的問題，也許不少學生會熟練地回答：物體在運動過程中某一時刻或某一位置時的速度；力與物體的瞬時速度的乘積.由此可見，學生對瞬時速度還是停留在字面上的理解，而對瞬時功率的理解則是“翻譯”了公式“P=Fv”，從本質上講，學生并沒有真正理解這些概念[2].

由此可見，某一時刻的瞬時速度就是包含該時刻的極短時間間隔內的平均速度在Δt→0時的極限.在實際的物理問題中，這樣的極限當然是存在的，可能還有學生會問，Δt→0時，則Δx→0，這樣的比值到底是什么呢？學生提出這樣的疑問應該值得肯定，說明學生已經深入思考過這個問題， 對于Δt→0時，則Δx→0這樣的結論是完全正確的，但兩者趨向于零的速率未必是相同的.舉例來說，如

x(t)=kt

則

Δx=k(t+Δt)-kt=kΔt

那么Δx趨于零的速率是Δt→0的k倍，再如

x(t)=kt2

Δx=k(t+Δt)2-kt2=2ktΔt+kΔt2

忽略二次項kΔt2，則

Δx=k(t+Δt)2-kt2=2ktΔt

同理也可以用“極限”思想來定義瞬時加速度與瞬時功率，即

上面兩個公式分別表示：物體在某一時刻的瞬時加速度(簡稱“加速度”)就是包含該時刻的極短時間間隔內的平均加速度在Δt→0時的極限；外力在某一時刻的瞬時功率(簡稱“功率”)就是包含該時刻的極短時間間隔內的平均功率在Δt→0時的極限.對于瞬時功率的定義式還可以進一步寫為

若F與v方向相同時，cosθ=1，P=Fv(v為瞬時速度).

在物理學中，還有許多含時間t的物理量，往往都是先從平均值談起，只有當Δt→0時的極限才是對應的該物理量的瞬時值.采用類比的思想，還可得到某一時刻的角速度、電流、感應電動勢的瞬時值.表1為中學物理中常見物理量的瞬時值的定義.

表1 高中物理中應用“極限”思想定義的常見物理量瞬時值一覽表

物理量定義式Δt為有限值時的含義Δt→0時的含義v=ΔxΔtΔt內的平均速度t時刻的速度a=ΔvΔtΔt內的平均加速度t時刻的加速度P=ΔWΔtΔt內的平均功率t時刻的功率ω=ΔθΔtΔt內的平均角速度t時刻的角速度I=ΔqΔtΔt內的平均電流t時刻的電流E=ΔΦΔtΔt內的平均感應電動勢t時刻的感應電動勢

2 “極限”思想求速度和加速度的應用

2.1 滑輪組和繩類連接體問題

【例1】如圖1所示，滑輪組由3個尺寸完全相同的小滑輪與一尺寸較大的大滑輪組成，物體A和B分別具有向下的加速度aA和aB，物體C具有向上的加速度aC，求aA，aB，aC之間的關系.

圖1

分析與解：由于繞在滑輪組上面的繩的長度是固定的，不妨令繩總長度為l，同時整個系統僅涉及到豎直方向上的運動，建立如圖1所示的豎直向下的坐標系Oy，則繩子的總長度可用A，B，C的位置及一些常量表示出來，從圖1中不難看出

l=(yA-lA+πr)+2(yB-lB-lA)+πr+

(πr+yC-lA-lC+πR+yC-yB-lC)

式中yA，yB，yC分別表示物體A，B，C的位置，顯然yA，yB，yC是隨著時間變化的；r，R為小滑輪的半徑和大滑輪的半徑，lA，lB，lC為3個固定距離.因此有

l=(yA+yB+2yC)+(πR+3πr-4lA-

2lB-2lC)=(yA+yB+2yC)+c

其中

c=πR+3πr-4lA-2lB-2lC=const

(“const”表示常量)

在t時刻

l=l(t)=yA(t)+yB(t)+2yC(t)+c

(1)

在t+Δt(Δt→0)時刻

l=l(t+Δt)=

yA(t+Δt)+yB(t+Δt)+

2yC(t+Δt)+c

(2)

式(2)減去式(1)得

[yA(t+Δt)-yA(t)]+[yB(t+Δt)-yB(t)]+

2[yC(t+Δt)-yC(t)]=0

(3)

式(3)除以Δt后兩邊取極限得

根據

得

vA+vB+2vC=0

(4)

同理有

進一步得出

aA+aB+2aC=0

因此有

式中“-”表示物體C的加速度與物體A,B的加速度方向相反.

2.2 桿滑動問題

【例2】如圖2所示，一桿長為l，擱在墻上，其下端端點A以恒定速度v向右滑動，當桿滑到與水平面成角α時，求桿上端端點B沿墻下滑的速度與加速度大小.

圖2

分析與解：這是一道常見的物理題，只是關于桿上端端點B沿墻下滑的加速度大小的求法在習題中較為少見，若利用“極限”思想，學生只需要具備了初等數學的知識，就能順利求出端點B沿墻下滑的加速度大小.由于桿的長度不變，同時整個系統的運動涉及到水平與豎直兩個方向，因此可以建立如圖2所示的二維直角坐標系xOy,在t時刻A,B的坐標分別為xA(t)=xA,yB(t)=yB，桿與水平面之間的夾角為θ，根據題意有

在t時刻

[xA(t)]2+[yB(t)]2=l2

(5)

在t+Δt(Δt→0)時刻

[xA(t+Δt)]2+[yB(t+Δt)]2=l2

(6)

此時，如圖所示A和B的坐標分別變為xA+ΔxA和yB+ΔyB(其中ΔyB<0).

式(6)減去式(5)得

[xA(t+Δt)]2-[xA(t)]2+[yB(t+Δt)]2-

[yB(t)]2=0

(7)

式(7)除以Δt后兩邊取極限得

得

2xAvA+2yBvB=0

即

vB(t)=-vcotθ

當θ=α時

vB(t)=-vcotα

式中“-”表示物體B的速度沿著Oy軸負方向.

如圖2所示,在t+Δt(Δt→0)時刻，θ變為θ+Δθ(其中Δθ<0)得

xA(t)=xA=lcosθ

xA(t+Δt)=lcos(θ+Δθ)

則有

由于

因此

則

當θ=α時

按照上面介紹的這種“極限”思想求解桿滑動問題中的一端點加速的思路也可以用在解決與此類似的物理問題.

3 結語

通過介紹物理學中的“極限”思想，進一步詳細分析了“極限思想”求解物體的瞬時速度、瞬時加速度的方法與思路，學生只需要具備初等數學的知識，就能加深對物理量瞬時值的理解；理解了“極限”思想，對學生今后學習導數的概念也具有重要的啟發意義.

1 全國中學生物理競賽委員會.全國中學生物理競賽專輯2014.北京：北京大學出版社,2014.6,12

2 人民教育出版社課程教材研究所,物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 物理·必修1(第3版).北京：人民教育出版社,2010.4,16

3 王溢然.中學物理思維方法叢書：數學物理法卷 .鄭州：大象出版社,1999.9,177～178

4 張筑生.數學分析新講(第一冊).北京：北京大學出版社1990.1,97～98

2015-09-29)