有效值都是最大值除以槡2嗎
——— 關于正弦式交流“兩值”關系成立條件的討論

劉保華

(江西上饒中學 江西上饒 334000)

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物理問題討論

有效值都是最大值除以槡2嗎
——— 關于正弦式交流“兩值”關系成立條件的討論

劉保華

(江西上饒中學 江西上饒 334000)

正余弦式交流電 有效值 推導 追根溯源

1 問題

【例題】如圖1所示，面積為S的矩形線圈共N匝，線圈總電阻為R，在磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場中以豎直線OO′為軸，以角速度ω勻速旋轉，圖示位置C與紙面共面，位置A與位置C成45°角．線圈從位置A轉過90°到達位置B的過程中，下列說法正確的是

圖1

D.在此轉動過程中，電流方向會發生改變

圖2

筆者認為此法不對.

為了弄清這個問題，我們有必要推導一下正弦式交流電有效值與最大值的關系.

2 有效值與最大值的關系

正弦式交流電有效值與最大值之間關系的推導許多版本的教材[1]、期刊[2]都有方法介紹，但這些推導多考慮高中數學知識局限，采用初等數學或技巧性更強的方法，沒有去追根溯源探究，筆者認為不能從本質上解決問題.由于新課改后，高中數學已經引入了初等微積分，為此用積分方法，不失為一種根本解決問題之道.

2.1 有效值的推導

正弦式交流電的瞬時值為

i(t)=Imsinωt

u(t)=Umsinωt

該交流電的瞬時功率也隨時間變化

P(t)=ui=Umsinωt·Imsinωt=

(1)

通常功率在一個比較長的時間內才有意義，對一個隨時間變化的函數來說，它在某段時間里的平均值應該等于該函數對時間積分后，除以時間間隔.因此該交流電一個周期T內平均功率

如果讓該交流電通過電阻R，在一個周期T內產生的焦耳熱Q可以表示為

(2)

(3)

即

(4)

根據交流電定義，此時如果讓一直流電通過同一個電阻R，在一個周期T內產生的焦耳熱也同為Q，則

(5)

對比式(4)、(5)兩式，可得該交流電的有效值

所以時間段Δt=t2-t1內，必須

(6)

2.3 問題中C選項的正解

(7)

(8)

對比式(7)、(8)，可得這段時間內該交變電流的有效值

3 結束語

1 張大同.(創新班和理科班) 物理 高中(下冊).上海:上海教育出版社,2013. 194～195

2 許文.探究正弦交流電有效值與最大值的關系.物理通報，2011(5)：29～30

3 人民教育出版社,課程教材研究所,物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書 物理·選修3-2 教師用書. 北京：人民教育出版社，2011.100～103

劉保華(1980- )，男，中教一級，主要從事高中物理教學工作．

2015-09-09)