把握本質,觸類旁通
——僅以2016年高考全國卷第23題的解法

◇ 貴州 羅 軒北京 童嘉森(特級教師)

把握本質,觸類旁通
——僅以2016年高考全國卷第23題的解法

◇ 貴州 羅 軒1北京 童嘉森2(特級教師)

雖然新課程實施已經多年,但靠題海戰術學習高中數學的情況還是屢見不鮮.事實上,從近些年的高考試題來看,許多考題的解決是有規律可循的,關鍵在于我們能否揭示其內在規律,并按照一定的解題程序,同時再輔以正確的類比、猜想、發散、推理和運算等.本文從不同角度和方法試圖通過探析2016年高考全國卷第23題選修4-4:坐標系與參數方程,從而揭示出該類問題的相應解法和內在規律.

(1)說明C1是哪種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;

(2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0,其中α0滿足tanα0＝2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.

方法1是在極坐標下,利用2曲線C1、C2的公共點在直線C3上且與C3具有相同極角的特點,借助直線C3已知的極角,從而有效解決了此問題,體現了極徑和極角的幾何意義的重要性.

方法2 將曲線C2:ρ＝4cosθ化為直角坐標方程,即為(x－2)2＋y2＝4,可知曲線C2為以C2(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,則圓C2一定過原點.因為直線C3的極坐標方程為θ＝α0且tanα0＝2,則直線C3的直角坐標方程為y＝2x,該直線過原點.

又由題意知直線C3與圓C2相交,除了原點O外,還有另一個交點,設此交點為A.由于圓C1與圓C2的公共點都在直線C3上,則直線C3是2圓的公交線,2圓相減所得的方程就是直線C3方程,即為(x2＋y2－2y＋1－a2)－(x2＋y2－4x)＝0,化簡得4x－2y＋1－a2＝0.又直線C3方程為y＝2x,所以1－a2＝0,解得a＝±1.經驗證a＝1符合題意,故a＝1.

方法2是在直角坐標系下,利用2圓相交的性質特征,把2圓的方程相減,就得到公共直線的方程.該題的公共直線方程已知,反過來求圓C1中的a,不失為一種重要的解題方法.

方法3是利用圓和直線的參數方程解決問題的,尋求它們參數的幾何意義以及各參數之間的聯系作為解題的突破口,從中理解參數所代表的幾何意義和功能是解題的關鍵所在.

例2 (2016年全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐標原點為極點、x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求圓C的極坐標方程;

(1)將ρ2＝x2＋y2,x＝ρcosθ代入圓C的方程(x＋6)2＋y2＝25中,得極坐標方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.

(2)方法1 在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R).設A、B2點所對應的極徑分別為ρ1、ρ2,將l的極坐標方程θ＝α(ρ∈R)代入C的極坐標方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0中得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是有ρ1＋ρ2＝－12cosα,ρ1ρ2＝11.由極徑的幾何意義|AB|＝|ρ2－ρ1|＝所以直線l的斜率為

方法1充分運用極徑和極角的幾何意義,把求弦長恰好轉化為2極徑之差,體現了極坐標的內在威力.

方法2充分運用直線參數方程中參數t的幾何意義,把求弦長恰好轉化為A、B2點分別對應的參數t1、t2之差的絕對值,即為|AB|＝|t2－t1|,體現了直線參數方程中參數t所代表的形與數的內在轉化規律,所以理解t的幾何意義是解決問題的關鍵,實際上此解法的參數t與方法1中的極徑ρ本質上是一致的.

方法3是在直角坐標系下先考查了直線與圓的位置關系,充分運用圓的幾何性質中的垂徑定理,直接建立弦長、半徑和圓心到直線的距離之間的關系,從而得到了直線的斜率,體現了垂徑定理解決問題的優越性.

例3 (2016年全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(θ為參數),以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為

(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;

(2)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.

本題可按上述方法求解,過程略.

以上3例雖然形式不一樣,但實質是相通的.既可以從極坐標系中利用極徑和極角的幾何意義去解決,也可以用參數方程中參數的幾何意義去解決,還可以在直角坐標下,利用普通方程中所表示的幾何特征去解決,甚至可以把它轉化為函數來解決.考生在通性通法中可擇優選取,以達到做一題通一類的目的,真正做到突破本質,觸類旁通.

(作者單位:1.貴州貴陽實驗三中2.北京市第八十中學)