空間中線線平行關系的尋找

◇ 江蘇 沈永彬

空間中線線平行關系的尋找

◇ 江蘇 沈永彬

空間中的平行關系主要有線線平行、線面平行、面面平行,解題中這3種關系可相互推導、利用,其中線線平行是解線面平行、面面平行問題思維的切入點,對線線平行的尋找常可利用平面幾何中的線線平行關系,如下面的例1.

例1 (2016年北京卷)如圖1所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.

(1)、(2)略.

圖1

(3)設點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由.

本題第(3)問的求解,可取PB的中點F,連接EF.由三角形中位線性質定理可得EF∥PA,再利用線面平行的判定,即可證明欲證結論.

三角形中位線是尋找線線平行最常用的方法,特別是當題中已知某一線段的中點時,常考慮利用三角形的中位線性質證明平行關系.此方法的應用關鍵是構造出中點,構造時可直接選取中點,也可借助平行四邊形的對角線互相平分、等腰三角形三線合一的性質等.

在不同題目類型中線線平行有不同的構造方式,具體還有如下幾種.

1 利用平行的傳遞性

平行的傳遞性,即若直線a∥b,b∥c,則a∥c.

例2 (2016年山東卷)在如圖2所示的幾何體中,D是AC的中點,EF∥DB.

(1)已知AB＝BC,AE＝EC,求證:AC⊥FB;

(2)已知G、H分別是EC和FB的中點.求證: GH∥平面ABC.

圖2

(1)略.

(2)本題的求解可取FC的中點M,連接GM、HM(如圖3),通過證明面面平行來證明線面平行.而面面平行也須從線線平行入手.

圖3

由三角形中位線性質得HM∥BC,GM∥EF,而EF∥BD,所以GM∥BD,即利用平行的傳遞性證明了線線平行.

2 構造平行四邊形

平行四邊形具有對邊平行且相等的性質,因此解題中可通過構造平行四邊形來尋找欲證的線線平行關系.具體操作過程是將所要證的線置于一個平行四邊形中,使這2條線是平行四邊形的2條對邊,進而需要證明另外一組對邊平行且相等.在利用此方法解題中,也常常要用到三角形的中位線性質.

例3 (2016年天津卷)如圖4,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點G為AB的中點,AB＝BE＝2.

圖4

(1)求證:EG∥平面ADF;

(2)求二面角O-EF-C的正弦值;

(1)如圖5,連接OD,由已知條件易知B、O、D3點共線.取AD的中點M,連接GM、FM,結合三角形中位線的性質可證明四邊形EFMG為平行四邊形,進而得到線線平行.

圖5

(2)、(3)略.

3 利用線段成比例

線段成比例的原理,即利用平行線截得線段成比例的逆定理來判斷線線平行.常見的有如圖6、7所示的2種類型.

圖6

圖7

例4 如圖8在四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為菱形,側面ABE為等邊三角形,且側面ABE⊥底面BCDE,O、F分別為BE、DE的中點.

圖8

(1)求證:AO⊥CD;

(1)略.

圖9

設P為AC上靠近A點的3等分點,則

所以PM∥AN.從而可證PM∥平面AOF.

由于BD∥OF,OF?平面AOF,BD?平面AOF,所以BD∥平面AOF,即BM∥平面AOF.因為BM∩PM＝M,所以平面BMP∥平面AOF.因為BP?平面BMP,所以BP∥平面AOF.

綜上,3種平行關系相互轉化是處理空間平行關系的主要途徑,其中線線平行是基礎也是重點.平行的判定和證明中都離不開線線平行,所以尋找平行線成為解決問題的關鍵一步.學習中同學們要善于對不同的題進行歸納總結,快速尋找問題求解策略.

(作者單位:江蘇省寶應縣安宜高級中學)