以解決問題為導向的采樣定理教學設計

賈永興+朱瑩+王淵+榮傳振

摘要：本文從信號與系統課程中采樣定理知識點著手，以教學目標為指引，從教學內容設計和課堂教學實施等方面詳細闡述了如何以解決問題為導向開展課堂教學的過程，并就該知識點需要強調的一些基本思想方法進行了探討，以突出現代高等教育的理念。

關鍵詞：信號與系統；采樣定理；問題牽引

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）46-0171-03

信號與系統是面向電子信息學科的專業基礎課，通過課程的學習，使學生掌握信號與系統分析的基本概念、基本理論和基本分析方法，其概念和分析方法已經滲透到了多個學科領域。采樣定理是在學習了信號頻譜的概念之后，應用頻域分析方法解決工程中模擬信號數字化時的采樣速率選擇問題，其分析過程對理解頻域分析方法有著重要的意義，因此教學內容的優化設計和采取合適的教學方法對提高教學效果至關重要。

一、教學內容設計

（一）明確教學目標

教學內容的設計首先確定教學目標。本節內容教學目標可包括知識目標、能力目標和素質目標三個方面。在知識目標方面，主要通過學習，使學生理解采樣的基本概念，掌握采樣信號的頻譜特點，掌握采樣定理的內容，理解采樣定理在工程中的應用。在能力目標方面，主要培養學生對實際問題的建模能力、分析推理和運算能力，以及初步的工程應用能力。在素質目標方面，主要培養學生科學的思維品質（包括變換法、形象思維與理性思維），以及必要的工程意識（包括理想條件與實際條件的區別與處理、物理器件約束等）。

（二）教學內容設計

圍繞上述教學目標，教學基本內容包括五個方面：（1）時域采樣的基本概念、采樣信號與原信號的關系；（2）采樣過程的數學描述；（3）理想采樣的概念、理想采樣信號頻譜與原信號頻譜之間的關系；（4）采樣定理的內容；（5）工程應用中需要注意的問題。

二、教學模式設計

采樣定理與工程應用有著緊密聯系。學生在學習理論的過程中，對“問題是怎樣從實踐中來，又如何應用到實踐中去”懷有濃厚的興趣，因此，在課堂教學中需要采取必要的措施以符合學生的學習需求，從而充分調動學生的積極性和主動性，提高教學效果。

問題牽引式教學方法是一種建立在建構主義教學理論基礎上，以具體問題作為教學的出發點，通過引入問題、分析問題、解決問題和鞏固知識四個環節，以學生主動學習和教員充分引導相結合為主要特征的教學方法。這種教學方法通過巧妙提出問題，引起學生興趣，利用問題形成的認知沖突，激發學生理解知識、掌握知識、運用知識解決實際問題的主動性，通過問題的展開、分析、補充、解決、深化、引申，幫助學生逐步理清思路、方法和知識脈絡，引導學生通過解決問題的過程來加深其對知識的構建、理解和實踐經驗的積累，培養學生歸納、抽象和創新的思維能力。

本次課采用問題牽引式教學模式，將授課內容分為問題、模型、方法、原理和應用五個階段。具體設計思路如下：（1）提出問題：從學生身邊的現象或事實出發，引出需要解決的問題；（2）建立模型：從采樣的物理過程抽象出數學模型；（3）應用方法：利用頻域方法分析數學模型；（4）導出原理：歸納、總結、升華到一般原理；（5）指導應用：應用一般原理來解決工程問題。

采用這種設計思路，可幫助學生完成從感性認識到理性思維，再結合工程實際上升到理性實踐的認識過程，體現學為主體、教為主導，需求牽引、重在能力、增強素質的教學思想。

三、教學組織實施

（一）問題的提出

問題牽引式教學方法前提在于問題的提出（發現）。如何基于學生的認知基礎，設計出與教學內容相貼切的問題，以激發學生的興趣，往往是課堂教學順利進行的關鍵，同時也是對教師能力的考驗。僅僅熟悉教材內容，已遠遠不能滿足教學要求，作為教師必須有著較為淵博的知識，才能從身邊的現象或事物中提煉出與課程相關的問題。

采樣概念的引入可從模擬信號的數字化著手。如圖1所示。從時域波形上可以直觀看出采樣之后的信號是原信號中一些離散的樣值點。比較原始時域波形和采樣信號波形，引導學生思考，提出第一個問題：能否從采樣信號中恢復原信號？從時域波形的角度直觀理解，采樣信號只保留了原信號的部分內容，由于信息的損失是難以恢復原信號。但是可以引導學生，在實際應用中，例如QQ語音聊天中，是可以聽到對方的聲音的，這也就是意味著實際上是可以恢復原信號的。這與學生的感性認識產生了沖突，激發了學生的求知欲。

引導學生思考第二個問題：如果能恢復原信號，那么需要什么條件？學生們會從直觀上得出采樣點要足夠多的結論。哪些到底多到什么程度？難以直接得到準確的結論。

這兩個問題從時域上不便分析和解釋，可引導學生轉換思路，采用變換的思想，從頻域分析的角度思考問題，分析采樣信號的頻譜有什么特點。

（二）問題的分析

分析和解決問題是課堂教學內容實施的主體。在這個過程中，需要關注兩個方面。一是如何緊緊圍繞提出的問題，通過層層遞進的邏輯關系，使得教學內容得以展開和貫徹，在這個過程中還可能會產生新的問題，通過問題的分析、深化和解決，使學生深入理解概念、掌握知識。二是在教學過程中體現現代高等教育理念，不僅教知識，更重要的是教方法、教思想，培養能力和素質，充分體現大學課堂的特質，為培養學生終身學習能力打下良好的基礎。

1.啟發思維，從物理過程建立數學模型。為了深入分析采樣信號的特點，就要從采樣的物理過程建立其數學模型。采樣的物理過程如圖2（a）所示，可以看作周期控制開關的通斷，所以其數學模型可以抽象為一個乘法運算，如圖2（b）所示，即采樣信號fs（t）是連續時間信號f（t）與周期采樣脈沖p（t）的乘積。

2.應用頻域分析方法。為了便于討論，可從理想采樣著手，這也是科學研究的常用方法，即從特殊到一般。理想采樣在時域上是原信號與周期沖激序列的乘積，頻域上就是原信號的頻譜與周期采樣脈沖的卷積。對于采樣信號的頻譜可以從兩個方面分析。

（四）指導工程應用

采樣定理是在理想條件下得出的結論，在實際應用中還存在很多問題。課堂中重點引導學生針對兩個工程實現問題進行討論：（1）許多實際信號頻譜不滿足帶限條件；（2）理想低通濾波器物理不可實現的。針對第一個問題，引導學生聯系課程前面所講述過信號有效帶寬的概念，采用抗混迭濾波器限制輸入信號的頻帶范圍，再進行采樣。在允許一定失真的情況下，可近似恢復原始信號。針對第二個問題，在實際工程應用中通常采用采樣頻率大于信號最高頻率的兩倍來解決。

（五）內容總結和提升

課堂的總結是教學內容的一個重要環節，是學生學完本次課后，對總體內容的一個歸納。本次課的課堂總結中包括四個部分：（1）內容要點回顧。引導學生回顧本次課的整個流程，針對什么問題，建立什么模型，采用什么方法，得到了什么原理結論，如何應用等，即回顧“問題—模型—方法—原理—應用”的教學內容思路。（2）突出解決問題的思想。本次課采用了變換分析域的思想，利用頻域分析方法解決了時域不便分析的問題。（3）強調理論分析與工程實現的關系。對于理想情況下的理論分析，可以用抗混疊濾波器限制信號頻帶，可以用自然采樣代替理想采樣，可以用實際低通代替理想低通，從而使得采樣從理論走向工程，體現了理論對實踐的指導意義。（4）知識拓展。提示本次課討論的低通采樣定理，它是無損采樣的充分條件，但不是必要條件，后續專業課會學到對于帶通信號，還存在帶通采樣定理，包括最新的壓縮感知技術，采樣頻率都可以低于信號最高頻率的兩倍。

四、結束語

大學教育不僅是教知識，更需要教方法、教思想，為學生終身學習打下良好的基礎。信號與系統課程作為一門專業基礎課程，需要培養學生必要的工程意識、應用數理基礎解決工程問題的能力，其蘊含的思想和方法為后續課程的學習非常重要。在日常教學中，如何設計、組織和實施好教學內容，以達到預設的教學目標，是教師在授課過程中必須十分關注的問題。教師要充分發揮“導”的作用，真正為人才培養質量的提高服務。

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