矩陣行最簡形在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探討

張旻嵩+池召艷+呂鳳云

摘要：矩陣行最簡形是貫穿《線性代數(shù)》知識(shí)體系的核心之一，本文給出了簡便易行的標(biāo)注方法，總結(jié)了矩陣最簡形的四個(gè)主要運(yùn)用，便于學(xué)生掌握和運(yùn)用，從而提升了教育效果.

關(guān)鍵詞：最簡形；階梯型；矩陣

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）46-0193-02

《線性代數(shù)》是大學(xué)數(shù)學(xué)中一門重要基礎(chǔ)理論課，它廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域.尤其是計(jì)算機(jī)日益發(fā)展和普及的今天，使線性代數(shù)成為工科學(xué)生所必備的基礎(chǔ)理論知識(shí)和重要的數(shù)學(xué)工具.

線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容具有明顯的特點(diǎn)：內(nèi)容抽象、邏輯性強(qiáng)、概念多、定理多、方法多、證明方法獨(dú)特不易理解，造成了學(xué)生“學(xué)不會(huì)，用不了”的尷尬局面.如何引導(dǎo)學(xué)生采用更加有效的學(xué)習(xí)方法和技巧，熟練掌握《線性代數(shù)》的理論知識(shí)，并應(yīng)用到實(shí)踐中，是《線性代數(shù)》教學(xué)改革的主要任務(wù).在學(xué)習(xí)中總結(jié)，在總結(jié)中學(xué)習(xí).

矩陣行最簡形是對(duì)矩陣作初等行變換之后得到的一類特殊矩陣，它凸顯了原有矩陣的核心性質(zhì).矩陣行最簡形不僅在矩陣運(yùn)算中使用廣泛.借助它，可以更好地解決向量組的線性相關(guān)性問題和線性方程組的基礎(chǔ)解系.矩陣行最簡形的特點(diǎn)為：

1.可畫出一條階梯線，線下方的所有元素全為零.

2.每個(gè)階梯只有一行，階梯數(shù)即為非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后的第一個(gè)元素為非零元.

3.每一階的第一個(gè)非零元為1，此列剩余元素全部為零[1].

為便于學(xué)生分清哪些是選定的量值，筆者在教學(xué)過程中要求學(xué)生按照右圖所示，表明選定的最簡列元素，以便后續(xù)工作的開展.

在教學(xué)過程中，經(jīng)常有學(xué)生問：《線性代數(shù)》知識(shí)點(diǎn)多，又零碎.不知道如何把握思路和解題方法.本文就矩陣行最簡形在《線性代數(shù)》中的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)，幫助學(xué)生理清學(xué)習(xí)思路，整理解題方法.矩陣行最簡形是矩陣運(yùn)算中使用最頻繁的式子，它貫穿了整個(gè)《線性代數(shù)》的知識(shí)體系.

一、求矩陣的秩

將矩陣經(jīng)過有限次初等行變換將矩陣化為行最簡形，則最簡形中非零的行（列）數(shù)即為矩陣的秩.陣的秩是矩陣重要的性能指標(biāo)之一，在整個(gè)《線性代數(shù)》理論體系中非常重要.

從上述例子可以發(fā)現(xiàn)，利用矩陣最簡形可以將有關(guān)的運(yùn)算進(jìn)行明確的指標(biāo)化處理，便于學(xué)生實(shí)際掌握和運(yùn)用，達(dá)到提升教學(xué)效果的根本目的.同時(shí)，不同的研究問題都通過一種方法解決，也正體現(xiàn)了“萬流歸宗”的哲學(xué)思想，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和工作提供一定的借鑒.

參考文獻(xiàn)：

[1]姚慕生.高等代數(shù)[M].第2版.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007.

[2]李書剛，等.線性代數(shù)[M].華中師范大學(xué)出版社，2013.

[3]周勇，朱礫.線性代數(shù)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2015.