“月上柳梢頭，人約黃昏后”的數學解釋

侯闊林

黎明職業大學公共教學部，福建泉州，362000

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“月上柳梢頭，人約黃昏后”的數學解釋

侯闊林

黎明職業大學公共教學部，福建泉州，362000

對“月上柳梢頭，人約黃昏后”的天文含義進行了研究，調查了大量的歷法和天文數據，比如月食、各地的日落時刻等。通過定義月亮的角度、黃昏后的時刻、日期序數和基準分差，對數據進行一元線性回歸分析、多元回歸分析，建立月上柳梢頭、人約黃昏后的函數模型。函數揭示，月亮每天自西向東偏移12.191°，月上柳梢頭大約發生在某個陰歷十五左右，而日落時刻與日期呈多項式函數關系，與經度呈線性關系，與緯度呈三角函數關系。計算結果表明，函數是有效的。通過聯立方程組，使用數學軟件預測了北京地區將在2016年2月21日18點23分前后出現黃昏后月上柳梢頭的特殊自然現象。

月相；歷法；數據處理；回歸分析；方程組

“月上柳梢頭，人約黃昏后”出自歐陽修筆下的《生查子·元夕》，它描述一幅美好的畫面——在元宵佳節的花市，黃昏后，當一輪明月升起在樹梢頭時，與佳人相約，兩情相悅?，F代人會從很多不同的角度來鑒賞這首詞，除文學、美學和歷史等角度之外，考慮到“月上柳梢頭，人約黃昏后”是一個特殊的現象，應該只會發生在某些特定的日期和時刻，還可以根據天文學的基本知識，使用數學方法來研究此現象。

1 問題的提出與假設

“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”是兩個不同的自然現象，為確定它們同時發生的時間，需要解決以下問題。

問題一：定義“月上柳梢頭”時月亮在空中的角度和“黃昏后”的具體時刻；

問題二：根據天文學基本知識，在適當簡化的基礎上，建立數學模型，分別確定“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發生的日期和時間，并根據已有的天文資料驗證所建模型的合理性；

問題三：說明如何使用所建立的模型作預測，舉例分析2016年北京地區“月上柳梢頭，人約黃昏后”發生的日期與時刻。

為方便起見，作如下假設：

(1)假設以地球為參照物，由于地球自轉，看到太陽和月亮東升西落；

(2)假設月球繞地球運動時，角速度是均勻的，繞地球一周需29.53天；

(3)若月亮升起時發生月食，假設觀測到月亮升起的角度是0°；

(4)假設地球繞太陽運動時，角速度是勻速的，繞地球一周圍需365天；

(5)假設日期相同、經度相同、緯度遞減的日落時刻越晚。

本文中將使用以下符號：w0表示月球繞地球公轉的相對角速度(rad/h)；θ表示月球上升的角度(rad/h)；Δt表示從日落到天黑所經過的時間；x表示日期序數，即一年的第x天；ω表示月亮升起時的角度；t表示日落時刻；y表示基準分差，即實際日落時刻與18:00的分差；T表示天黑時間；i，j表示經度和緯度。

2 問題一的求解

2.1 月上柳梢頭

由詞意可知，“月上柳梢頭”是指在元宵節時，月亮升起時掛在柳梢頭。陰歷十五前后，月亮大約出現在東方地平線上方，問題是“柳梢頭”這個角度是多少呢？簡單地看，這個角度可以用眼睛、樹梢和月亮三點的連線與地平面的夾角來定義，但是“月上”是一個模糊詞，月亮何時開始在空中出現，角度如何？有很強的主觀性。根據天文知識分析此問題，將更為客觀。通過月球繞地球公轉的角速度w月公以及地球自轉的角速度w地自，可以求出月球繞地球公轉的相對角速度[1]，進一步解出月球從地面升上去的角度。

因為月球的公轉與地球的自轉方向相同，所以其相對角速度為：

w=w地自-w月公≈14.464rad/h

姜益欣指出，月亮出現的時刻，應該介于剛剛天黑的時間t1與完全天黑t2的時間之內[2]。據此，可以計算出這段時間月球轉過的角度為：

θ∈(t1·w0,t2·w0)

考慮到陰歷十五前后，月球、地球和太陽基本處于一條直線上(一般稍有偏差，若完全在一條直線上會發生月食)。而月亮從模糊到清晰的過程，它轉過的角度θ∈(7.232°,12.053°)?！霸律稀笔窃铝脸霈F的意思，角度應在7.23°～12.05°之間。月上柳梢頭取多少度有一定的主觀性，考慮到古人有日上三竿的說法，大概是早上8點前后，過太陽和眼睛的直線與地平面夾角約為30°。而柳樹較低，定義“柳梢頭”為θ=9°。

定義1 “月上柳梢頭”指眼睛、柳梢頭和月亮三點一線，和地平線的夾角為9°。

2.2 人約黃昏后

黃昏是指日落以后天黑以前的時候[3]， 由于天黑是漸變的，黃昏也是一模糊詞。 在天文學上，天黑的標準定義為太陽位置低于地平線12°30′，即日落一段時間后[4]，才是天黑時間。這段時間也隨著緯度不同而長短不同。因為太陽與地球的夾角每天都在變化，哪怕在同一地點，每天的日落時刻都稍有不同，但差別不大。以北京天安門為例，冬至日，天黑時刻在日落時刻之后28分鐘，夏至日，天黑時刻在日落時刻之后30分鐘，相差僅兩分鐘。百度百科中，“天黑”是指太陽落入水平線下后過30分鐘為天黑，事實上，此時天還沒有完全黑，稱之為朦影。可以驗證，完全天黑為日落后50分鐘。

考慮到地球的自轉速度：

則地球轉過12.5度所用的時間為：

=50 min

考慮到“月上柳梢頭”，朦影時即會月現，所以定義黃昏后為：

定義2 稱天剛黑的時候為黃昏后，具體時刻取日落往后數第30分鐘。

3 問題二的求解

3.1 月出時刻的角度函數

每天，月亮在星空中自西向東移動一段距離的同時，它的形狀也在不斷地變化著，這就是月亮位相變化，叫作月相。從地球的某個固定地點觀測，月球每天在空中自西向東移動多少距離不好衡量，但是，觀測者的眼睛和月亮的連線，與水平面的夾角變化是可以度量的。為方便起見，假設月球繞地球作勻速圓周運動，運動周期為29.53天?？紤]到月相周期與陰歷關系密切，下面對月相的研究均使用陰歷日期。自陰歷的初一起，月亮每天自西向東偏移12.191°(360°除以29.53°)，現在的問題是，坐北向南看，哪一天這個夾角剛好為0°呢？

在陰歷十五或十六，月亮運行到和太陽相對的方向。這時，如果地球和月亮的中心大致在同一條直線上，月亮就會進入地球的本影，而產生月食。假設在發生月食這天月亮在東方地平線上升起，和地平面的夾角為0°[5]。根據天文資料,2015年4月4日在月亮剛升起后，北京發生了月食。設2015年4月4日(陰歷乙未二月十六)觀測到的月亮升起時和地平面夾角為0°?；诖搜芯吭铝恋拿刻焐饡r的角度，傳統的日期格式，如2015年9月12日，作為變量不利于數學計算。設定一年為365天，1月1日為整數1，1月2日為整數2，如果沒有閏年，12月31日為365等。

定義3 日期序數：以某日期為第1天(一般取元旦)，隨后的第x天，稱為日期序數x。

月亮每天自西向東偏移12.191°，則可以使用數學軟件計算陰歷二月、三月時觀測到的角度，結果見表1。

表1 2015年陰歷二、三月份的月亮角度

根據表1可知，二月份時，月亮的角度ω與日期序數有如下函數關系：

ω=-12.191x+1146

而三月份時，有如下關系：

ω=-12.191x+1506

兩者斜率系數相同，而截距系數不同，可見截距系數與x相關。根據月球運行周期為29.53天，得到2015年北京地區月亮升起時的角度ω與日期序數之間的函數關系為：

(1)

3.2 有關日落時刻的函數模型

3.2.1 有關日落時刻的天文學知識

根據生活經驗，日落時刻和地理位置、四季更替有關，即每一天的日落時刻都稍有不同，一個地方的經緯度也影響日落時刻。取日期序數、經度、緯度為自變量，分析它們之間與日落時刻存在的關系，可以建立函數模型。

首先，確定日期變量的度量方式。為了與陰歷統一，同樣將日期轉化日期序數。

其次，確定時刻變量。為分析方便，將日落時刻精確到分，比如18:54:15精確為18:54分。在格式上，取18:00為基準，小于18:00的分鐘數記為負數，大于18:00的分鐘數記為正數。如15：43分記為-17，19:02分記為62等。

定義4 基準分差：將日落時刻與18:00：00的分鐘差稱為基準分差。

分析歷史數據發現，不同年份的同一地點、同一日期的日落時刻基本相同。天文學上，地球繞太陽公轉一周需要365.25天，表明日落時刻函數是周期函數，最小正周期為365.25天。因此，假設日落時刻不以年份為自變量。

3.2.2 日落時刻與陽歷日期的關系

考慮到問題三要研究北京市的相關問題，在此選擇北京市作為觀測地點。隨機抽取了2014年的部分數據，數據來源于網上的萬年歷。將日期轉化為2014年的第x天，并計算基準分差，得表2。

表2 2014年北京市日落時刻表

需要確定日落時刻與天數的函數關系。確定兩種或以上變量間相互依賴的定量關系的統計分析方法通常采用回歸分析[6]。它基于觀測數據建立變量間適當的依賴關系，來分析數據內在規律，可用于預報、控制等問題。使用數學軟件，可以作出基準分差隨天數變化的散點圖(圖1)。

圖1 日落時刻隨時間變化的散點圖

觀察散點圖，猜想基準分差與日期的關系式是多項式函數。考慮到趨勢線彎曲程度以及春分到秋分和秋分到春分的對稱性，可以設為4次或者6次多項式函數，使用數學軟件作回歸分析，4次多項式函數為：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4

(2)

其相關系數的平方R2=0.9926。六次多項式為：

y=-68.04455+1.930536x-0.027991x2

+0.000367x3-0.0000021x4

+4.97×10-7x5-4.11×10-12x6

(3)

其相關系數的平方R2=0.999165。

盡管函數(3)的擬合優度更好，但是其5次和6次系數過于復雜。函數(2)擬合優度也很好，并且較為簡單，便于實際應用，因此選用函數(2)。日落時刻可以通過基準分差計算：

3.2.3 日落時刻和經度的關系

日落時刻和經度的關系是非常淺顯的[7]，即和時區有關?？紤]到我國在東半球，僅研究日落時刻與東經度數的關系。選取相同日期，與北京緯度相同但經度不同的地點，觀察其日落時刻，得到表3。

由表3可知，相同日期與北京相同緯度的情況下，日落時刻基準分差與經度大致呈線性關系。作一元回歸分析可得：

y=-4i+406.63

則經度為i的地方日落時刻基準分差與北京的關系為：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)

(4)

則t=18.00+[-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)/60]

表3 相同日期下與北京經度不同、緯度相同的日落時刻表

3.2.4 日落時刻與緯度的關系

由地理學知識可知，當太陽直射北半球時，位置越北晝長越長，日出時間早，日落時刻晚。當地球直射南半球時，南半球緯度越高，日出越晚，日落越早?？紤]到我國的地理位置，本文只考慮北半球的情況。

選取與北京的日期相同、經度相同、緯度不同的地點。觀察日落時刻，得到表4。

表4 與北京緯度不同的地方日落時刻表

表4顯示，不同緯度的日落時刻，呈現的規律性受日期序數的影響，大致呈三角函數關系[8]。基于此，作一元線性回歸，得日落時刻基準分差的計算公式：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)

(5)

則日落時刻與日期、經度和緯度的關系為：

+0.0237x2-0.0001x3+1.94×10-7x4

-4(i-116.408)+(i-39.904)

(6)

為驗證計算公式的正確性，分別計算北京、哈爾濱、上海、武漢、廣州、蘭州、烏魯木齊、昆明、拉薩等地2014年不同日期的日落時刻，將計算結果與往年天文數據進行了比較，如表5所示。

表5 計算結果與往年數據的比較

計算結果與天文年歷中日出日落時刻最多相差2分鐘，可見公式(6)是有效的。

4 問題三的求解

綜上所述，可以得出“月上柳梢頭”發生的日期和“人約黃昏后”發生的時刻滿足如下方程組模型：

(7)

其中：

時間T的整數部分為時，小數部分可以轉化為分，比如19：20，表示19時12分。

根據(7)，可以計算2016年北京地區“月上柳梢頭，人約黃昏后”發生的時間。

通過分段函數的計算[9]，得x=418.095，即2016年的第52天，對應日期是2月21日，即陰歷的正月十四。

然后，使用公式(2)：y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2-0.0001x3+1.94×10-7x4，確定落日基準差y=-7.07，則日落時刻約為t=17:53分，而天黑時間T=t+30=18:23分。

北京地區在2016年會出現“月上柳梢頭，人約黃昏后”，發生的日期和時間為陽歷2016年2月21日18:23。

5 模型評價

為研究方便，應抓住問題的主要因素，忽略次要因素，再作規范假設。模型應用于實際生活時，可能會有一些細小的誤差。模型巧妙的設定日期序數，統一了陽歷日期和陰歷日期。使用回歸分析的方法，研究了月出時間與陰歷日期的關系、日落時刻基準差與陽歷日期、經度和緯度的關系，利用這些函數關系可以確定一個地方“月上柳梢頭、人約黃昏后”發生的具體日期和時間。驗證表明，模型與歷史數據是吻合的，由此推算的近期時間是可靠和準確的。本文是數學模型在天文學和日常生活中的應用，不僅有助于研究此自然現象，也拓寬了數學模型的應用領域。

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(責任編輯：汪材印)

2016-08-30

黎明職業大學博士科研啟動基金“福建省與東盟能源合作機制研究”。

侯闊林(1983-)，安徽蕭縣人，碩士，副教授，主要研究方向：最優化理論及其應用。

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.11.024

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1673-2006(2016)11-0089-05