交換環上特殊線性李代數的極大子代數

劉洋，劉文德

（哈爾濱師范大學數學系，黑龍江哈爾濱150025）

交換環上特殊線性李代數的極大子代數

劉洋，劉文德

（哈爾濱師范大學數學系，黑龍江哈爾濱150025）

文章利用有單位元且2，3是單位的交換環的極大理想刻畫了其上特殊線性李代數包含典范環面的極大子代數.確定了特殊線性李代數極大子代數的個數，并證明了每個極大子代數均可通過置換矩陣共軛于標準的極大子代數.

特殊線性李代數；極大子代數；交換環

1 引言

對代數系統如抽象群，李群和李（超）代數等的極大子系統進行刻畫是深入研究該代數系統的重要手段.1952年，文獻［1］給出了某些典型群的極大子群結構，文獻［2］對復數域C上有限維單李代數的極大子代數進行了分類.該結果在表示理論中被廣泛應用.1997年，文獻［3］將文獻［1］的結論推廣到了復數域C上矩陣李超代數中.2004年，文獻［4］中得出了一些單模李代數的極大子代數的結果.2012年，在文獻［5］中刻畫了交換環上一般線性李代數的包含標準Cartan子代數的極大子代數.2014至2015年，文獻［6-7］又確定了Cartan型李超代數的極大Z-階化子代數.2015年，文獻［8］中刻畫了超交換環上一般線性李超代數的極大階化子代數.同年，文獻［9］刻畫了奇Cartan型模李超代數的極大階化子代數.

本文約定R是有單位元且2，3是單位的交換（結合）環.令Mm×n（R）為R上m×n階矩陣構成的集合，記Mn×n（R）為Mn（R）.令sln（R）為Mn（R）中所有跡為零的矩陣構成的集合，即sln（R）=｛A∈Mn（R）|trA=0｝.顯然它是R-模.可以驗證sln（R）關于換位子運算［x，y］=xy-yx作成R-李代數，稱為特殊線性李代數.令eij為第（i，j）位置元素是1，其余位置元素為0的n階R-矩陣.由eijekl=δjkeil，可知［eij，ekl］=δjkeil-δliekj.令tn（R）為sln（R）中全體對角陣關于換位子運算構成的Abel李子代數，稱之為sln（R）的典范環面.

2 極大子代數的構作

3 主要結果

參考文獻

［1］Dykin E.Maximal subgroups of classical groups［J］.Trudy Moskov.Mat.Obsc.，1952，30：39-166.

［2］Dykin E.Semisimple subalgebras of semisimple Lie algebras［J］.Mat.Sb.（N.S.），1952，30（72）：349-462；transl：Amer.Math.Soc.Transl.Ser.，1957，2（6）：111-244.

［3］Shchepochkina I.Maximal subalgebras of matrix Lie superalgebras［J］.In：Leites D.（ed.）it Seminar on Supermanifolds.Reports of Stockholm University.1992，32：1-43.

［4］Melikyan H.Maximal subalgebra of simple modular Lie algebra［J］.J.Algebra，2005，284：824-856.

［5］Wang D Y，Ge H，Liu X W Maximal subalgebra of the general linear Lie algebra containing Cartan subalgebras［J］.Sci.China Math.，2012，55：1381-1386.

［6］Bai W，Liu W D，Melikyan H.Maximal subalgebras of Lie superalgebras of Cartan type over fields of characteristic zero［J］.J.Algebra，2014，404：176-199.

［7］Bai W，Liu W D，Melikyan H.Maximal subalgebras for Lie superalgebras of Cartan type［J］.J.Algebra App.，2015，14（02）：1550013（38pages）.

［8］Li Y，Liu W D Maximal graded subalgebras of the general linear Lie superalgebras over superring［J］.J. Math.Res.App.，2015，35（2）：149-156.

［9］Liu W D，Wang Q Maximal subalgebras for modular graded Lie superalgebras of odd Cartan type［J］. Transform.Groups，2015，20：1075-1106.

Maximal subalgebras of the special linear Lie algebras over commutative ring

Liu Yang，Liu Wende
（Department of Mathematics，Harbin Normal University，Heilongjiang 150025，China）

In this paper，we determine all maximal subalgebras of the special linear Lie algebra containing the canonical torus using maximal ideas over a unital commutative ring with 2，3 be the unit.We also determine the number of maximal subslgebras and prove that each maximal subslgebra is conjugate under a permutation matrix to a standard one.

special linear Lie algebras，maximal subalgebras，commutative ring

O152.5

A

1008-5513（2016）02-0141-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.02.005

2015-12-01.

國家自然科學基金（11171055，11471090，11501151）；黑龍江省自然科學基金（A2015003）；哈爾濱師范大學研究生創新基金（HSDSSCX2015-29）.

劉洋（1992-），碩士生，研究方向：李超代數.

劉文德（1965-），博士，教授研究方向：李超代數.

2010 MSC:17B05