磁場中軸向變速運動載流梁的參強聯合共振

胡宇達 戎艷天

燕山大學河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，秦皇島,066004

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磁場中軸向變速運動載流梁的參強聯合共振

胡宇達 戎艷天

燕山大學河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，秦皇島,066004

研究磁場環境中軸向變速運動載流梁在簡諧激勵作用下的參強聯合共振問題，應用彈性力學理論、電磁場基本理論以及哈密頓變分原理，得到軸向變速運動載流梁的非線性磁彈性耦合振動方程。利用伽遼金積分法對其進行時間變量和空間變量的離散化，進而運用多尺度法以及坐標變換的方法求得系統主共振-主參數共振的幅頻響應方程。通過算例，得到了系統隨不同參數變化的幅頻響應曲線圖、時間歷程圖、相軌跡圖、龐加萊映射圖和共振系統的動相平面軌跡圖，分析了軸向速度、軸向拉力、磁感應強度、電流密度及強迫激勵對系統主共振-主參數共振特性的影響，結果表明系統呈現典型的非線性振動特征和復雜的動力學行為。

載流梁；主共振-主參數共振；磁場；軸向運動

0 引言

近年來，軸向運動導電導磁結構被廣泛應用于航空航天、交通運輸等領域的重要設備中，如電磁驅動、電磁發射及磁懸浮運輸等設備，而工程實際中相關構件因受到外部機械力、電磁力作用及運動系統參數變化的影響，會產生振動，振動會影響設備的正常運行，甚至帶來重大的安全隱患和經濟損失。因此研究復雜運動條件下磁彈性多場耦合系統非線性共振問題具有重要理論意義和實際意義。文獻[1]以變速運動黏彈性Timoshenko梁為模型，研究了其在外部諧波激勵作用下的非線性動力學特性。文獻[2]基于Timoshenko梁理論和幾何非線性因素的作用，推導出了磁場環境中軸向運動導電導磁梁的磁彈性振動方程。文獻[3]研究了軸向變速運動黏彈性梁的主參數共振問題，并以偏微分和積分-偏微分這兩種非線性模型為例，針對其穩態響應性質和穩定性進行了比較分析。文獻[4]針對非線性運動梁在不受外激勵和受到外激勵兩種不同情況下的參數激勵問題進行了研究。文獻[5] 基于弗洛凱理論，分析了橫向磁場環境中四邊簡支約束下的軸向運動導電矩形薄板的參數振動問題。文獻[6]以Timoshenko梁為基本模型，研究了其做軸向變速運動時的參數共振問題。文獻[7]運用伽遼金法和多尺度法分析了磁場中軸向變速運動薄板的非線性參數振動問題，并對其穩定性進行了討論。文獻[8]以軸向變速運動黏彈性梁為模型，利用勞斯-赫爾維茨判據分析了參數共振的動態穩定性。文獻[9]分析了單自由度非線性系統的參數振動。文獻[10]利用平均法針對梁的黏彈性阻力對其穩定性的影響進行了分析。文獻[11]研究了懸臂梁受到周期性變化的軸向拉力和磁場等參數共同作用下的非線性參數振動問題。本文針對磁場環境中軸向變速運動載流梁的主共振-主參數聯合共振問題進行研究，重點推導軸向變速運動載流梁的磁彈性耦合振動方程，并對系統的非線性參強聯合共振問題進行解析求解，同時通過數值算例，分析了電磁、運動、力等參量對系統動力學特性的影響。

1 軸向運動梁基本方程

研究在恒定磁場B=(0,B0,0)(B0為磁感應強度)環境中受均布軸向拉力F0x和均布橫向載荷Pz作用的載流梁，該梁沿形心軸x方向以速度C=(C,0,0)做軸向變速運動。如圖1所示，梁長為l，寬為b，高為h，密度為ρ，通入電流的電流密度矢量Je=(J0x(t),0,0)，記w(x,t)為梁的橫向位移，t為時間變量。

圖1 磁場中軸向運動梁力學模型

1.1 軸向運動梁動能

軸向變速運動梁的橫向速度為

(1)

則梁的動能可表示為

(2)

式中，A為梁的橫截面積,A=bh。

1.2 軸向運動梁勢能

梁的勢能由軸向拉力作用下引起的應變勢能U1、梁的彎曲應變勢能U2以及梁的中面應變勢能U3三部分組成。則梁的總勢能U可表示為

(3)

式中，E為彈性模量;I為截面慣性矩。

1.3 外力虛功

(1)機械力虛功。外加橫向均布強迫激勵Pz在虛位移上所做的虛功為

(4)

(2)電磁力虛功。這里研究的是良導體，略去磁化及位移電流的影響，并設J為梁內電流密度矢量。利用磁彈性線性化假設[12]，可得Lorentz力的表達式為

(5)

式中，i、j、k為各坐標軸的單位向量；Jx為由于外加磁場作用而在導電梁內產生的沿x軸方向的感應電流密度分量,Jx=-σ0v0zB0；σ0為電導率。

由式(5)可得梁單位長度所受電磁力

(6)

從而得電磁力虛功為

(7)

1.4 應用哈密頓原理建立振動方程

哈密頓原理是著名的力學積分原理之一，根據哈密頓原理有：

(8)

其中，t1、t2為兩個時間點；δT為動能變分表達式;δU為勢能變分表達式。

將式(2)～式(4)及式(7)代入式(8)中，經過變分運算，得到軸向變速運動梁的非線性磁彈性振動方程：

(9)

2 振型函數的假設與伽遼金積分

對于兩端鉸支軸向運動梁，在考慮一階模態的情況下，設滿足兩端鉸支邊界條件的位移解為

(10)

同時，取軸向運動速度、軸向拉力、橫向強迫激勵以及電流密度分別為

(11)

式中，C0為軸向運動恒定速度；C1為軸向時變速度擾動量；F0為軸向運動恒定拉力；F1為軸向時變拉力擾動量；P0為橫向均布強迫激勵的幅值；J0為電流密度的幅值；ω1為速度參數頻率；ω2為拉力參數頻率；ω3為橫向均布強迫激勵頻率；ω4為電流密度頻率。

將式(10)、式(11)代入式(9)，并應用伽遼金積分法，最終得到以位移形式表示的量綱一化的振動微分方程：

(12)

式中，ω0為系統固有頻率。

3 主共振-主參數聯合共振理論分析

為了研究參強聯合共振問題，在式(12)的阻尼項、參數激勵項、非線性項和強迫激勵項前引入小參數ε，這樣將式(12)的振動微分方程轉化為

(13)

下面采用多尺度法[13]求解振動微分方程的近似解，選用兩個時間尺度T0=τ，T1=ετ來討論系統微分方程的一次近似解，則可將系統的參強聯合共振的一次近似解析解表示為

q(τ,ε)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)

(14)

將式(14)代入式(13)中展開，令ε的同次冪項的系數相等得

(15)

(16)

零次近似方程式(15)的解可表示為如下復數形式：

(17)

(18)

式中，cc表示等號右端項的共軛復數部分。

當Ω1≈2，Ω2≈2，Ω3≈1，Ω4≈1，即滿足速度參數頻率和拉力參數激勵頻率與系統固有頻率的2倍相近，并且外界強迫激勵頻率和電流密度頻率與系統固有頻率相近時，系統發生主共振-主參數共振。

在對非線性系統共振問題進行求解時，令

(19)

式中，σ1、σ2、σ3、σ4為頻率調諧值。

將式(19)代入式(18)中，整理得

(20)

為了避免久期項出現，消除式(20)中久期項的條件為

(21)

取復函數A0表示為如下形式：

(22)

其中，a和φ都為T1的實函數。

將式(22)代入式(21)中，并分離實部和虛部，則實部a′、虛部aφ′可分別表示為

(23)

(24)

β1、β2、β3、β4對T1求導分別為

(25)

φ′=σ1/2=σ2/2=σ3=σ4=σ

(26)

進一步考慮式(23)～式(26)，最終求得

(27)

(28)

為便于對式(27)、式(28)進行求解，采取變量變換方法，設

m=a(T1)cosβ4(T1)

(29)

n=a(T1)sinβ4(T1)

(30)

由式(29)、式 (30)并考慮式(23)～式(26)，可得

(31)

(32)

同樣，對于穩態運動(m′=0，n′=0)有

(33)

(34)

解得

(35)

(36)

又因m2+n2=a2，則可得系統主共振-主參數共振下的幅頻響應方程為

(37)

4 算例及結果分析

下面以兩端鉸支軸向變速運動銅制梁為例進行分析。主要參數取值：梁長l=0.3 m，寬b=0.02 m，高h=0.01 m，軸向恒定拉力F0=40 kN，彈性模量E=108 GPa，密度為ρ=8920 kg/m3，泊松比ν=0.33，電導率σ0=5.7143×107S/m。圖2～圖29分別給出了共振幅值與調諧參數、時變拉力擾動量幅值、強迫激勵力幅值以及磁感應強度幅值的關系曲線。

圖2～圖17為振動幅值a隨調諧參數εσ的變化規律圖。由圖可見，在給定的調諧參數εσ的取值范圍內，隨著磁感應強度和電流密度的增大，多值區域也會逐漸變小。與此同時，曲線也會出現跳躍現象，而這些跳躍現象正是幅頻響應曲線多值性的表現，這也是非線性問題的重要特征之一。

圖2 C1=0的幅頻響應圖

圖3 C1=2 m/s的幅頻響應圖

圖4 C1=3 m/s的幅頻響應圖

圖5 C1=5 m/s的幅頻響應圖

圖6 F1=0的幅頻響應圖

圖7 F1=1 kN的幅頻響應圖

圖8 F1=2 kN的幅頻響應圖

圖9 F1=2.5 kN的幅頻響應圖

圖2～圖9中取C0=80 m/s，B0=0.01 T，P0=50 N/m，J0=2 A/mm2。當F1=1 kN時，由圖2～圖5可見，在給定的調諧參數εσ的取值范圍內，隨著時變速度擾動量C1從零開始增大，系統的穩態解個數由五個變為三個，當時變速度擾動量繼續增大時，穩態解的個數又變為五個，兩共振峰值間的區域先減小后增大。由圖6～圖9可見，當C1=6 m/s時，在給定的調諧參數εσ的取值范圍內，時變拉力擾動量F1從零開始增大時，系統的穩態解個數由五個變為三個，當時變拉力擾動量繼續增大，穩態解的個數又變為五個，兩共振峰值間的區域先減小后增大。

圖10～圖17中取C0=80 m/s，C1=6 m/s，F1=1 kN。當J0=2 A/mm2，P0=50 N/m時，如圖10～圖13所示， 在給定的調諧參數εσ的取值范圍內，磁感應強度的大小對振幅曲線的變化規律的影響比較明顯，初始階段，隨著磁感應強度的增大，系統的穩態解個數由三個變成五個，當磁感應強度繼續增大，系統穩態解的個數由五個變為三個，兩共振峰值間的區域先增大后減小，并且隨磁感應強度的增大，多值區域逐漸減小。當B0=0.042 T，P0=0時，如圖14～圖17所示，在給定的εσ的取值范圍內，隨著電流密度的不斷增大，系統穩態解的個數由五個變為三個，兩共振峰值間的區域以及系統多值區域逐漸減小，振幅有隨電流密度的增大而增大的趨勢，可以通過控制電流密度以達到減小振幅的目的。

圖10 B1=0的幅頻響應圖

圖11 B1=0.01 T的幅頻響應圖

圖12 B1=0.02 T的幅頻響應圖

圖13 B1=0.05 T的幅頻響應圖

圖14 J0=0.1 A/mm2的幅頻響應圖

圖15 J0=0.5 A/mm2的幅頻響應圖

圖16 J0=1.0 A/mm2的幅頻響應圖

圖17 J0=2.5 A/mm2的幅頻響應圖

給定C0=80 m/s，C1=6 m/s，J0=2 A/mm2，圖18～圖25為取不同磁感應強度時共振振幅隨時變拉力擾動量F1和強迫激勵載荷幅值P0的變化規律曲線圖，如圖所示，振幅曲線的多值性對磁感應強度的大小比較敏感。

圖18 B0=0的振幅-參數激勵曲線圖

圖19 B0=0.02 T的振幅-參數激勵曲線圖

圖26～圖29中取參數值C0=80 m/s，C1=6 m/s，F1=1 kN，P0=50 N/m，其中實線為J0=0下的振幅-磁感應強度曲線，虛線為J0=2 A/mm2下的曲線。如圖所示，調諧參數εσ的大

圖20 B0=0.03 T的振幅-參數激勵曲線圖

圖21 B0=0.06 T的振幅-參數激勵曲線圖

圖22 B0=0.01 T的振幅-強迫激勵曲線圖

圖23 B0=0.02 T的振幅-強迫激勵曲線圖

圖24 B0=0.03 T的振幅-強迫激勵曲線圖

圖25 B0=0.05 T的振幅-強迫激勵曲線圖

圖26 εσ=0.0082的振幅-磁感應強度曲線圖

圖27 εσ=0.01的振幅-磁感應強度曲線圖

圖28 εσ=0.035的振幅-磁感應強度曲線圖

小對振幅曲線變化規律的影響比較明顯。在J0=0，即不通電流情況下，所有曲線均呈左右對稱分布形式，對稱軸位于B0=0處；起初在給定的B0的取值范圍內，磁感應強度的增大對振幅的影響不是很明顯，但當磁感應強度增大到一定值時，振幅值會急劇下降，由此可得，在保持軸向運動速度、軸向拉力、強迫激勵以及電流密度等參量不變的情況下，可以通過控制外加磁場的磁感應強度的大小來實現控制振幅的目的。在J0=2 A/mm2，即通電流情況下，圖形不再對稱，并發生扭轉變形，對應之前不通電流的單解區域，現在出現多解。

圖30、圖31所示為給定參數的固定值為C0=80 m/s，C1=6 m/s，F1=1 kN，B0=0.01 T，P0=50 N/m，J0=2 A/mm2，在不改變系統物理參變量的情況下，一些初始條件發生變化時得到的動相平面軌跡，圖中箭頭方向指示軌跡的運動方向。當選取不同的調諧參數εσ值時，對應的系統穩態解的個數不相同，穩態解對應的振動幅值(a表示)一般也不相同。圖30中有兩個穩定的焦點S1(a=0.0565)和S3(a=0.1603)，一個不穩定的鞍點S2(a=0.093)；圖31中有三個穩定的焦點，分別是S1(a=0.0455)、S4(a=0.1225)和S5(a=0.1683)，兩個不穩定的鞍點S2(a=0.108)和S3(a=0.112)。圖30、圖31中穩態解的大小與圖7中的大小一致，并且可以看出，圖7中上面兩分支曲線及最下面分支曲線是穩定的，而中間部分的兩分支曲線是不穩定的，其他幅頻特性曲線也有相類似的性質。由圖可得，改變系統的初始條件，對系統穩態響應的影響很大。

圖29 εσ=0.05的振幅-磁感應強度曲線圖

圖30 εσ=0.01的動態平面軌跡圖

圖31 εσ=0.012的動態平面軌跡圖

圖32、圖33所示為在不改變初始條件的情況下，物理參量發生變化時得到的動相平面軌跡圖，圖中箭頭方向指示軌跡的運動方向。由圖可見，當選取不同的物理參量時，對應的系統穩態解的個數也不相同(圖中選取的參數的固定值為C0=80 m/s，F1=1 kN，B0=0.01 T，J0=2 A/mm2)。圖32為當P0=50 N/m時選取不同的時變速度擾動量時對應的兩個穩定焦點，其中時變速度C1=0時對應焦點S1，其共振幅值大小a=0.1454；C1=5 m/s時對應焦點S2，其共振幅值a=0.1492。圖33為當C1=6 m/s，選取不同的強迫激勵幅值時對應的三個穩定焦點，激勵幅值大小P0=30 N/m時對應焦點S1，其共振幅值a=0.0322；P0=70 N/m時對應焦點S2，其共振幅值a=0.1658；P0=150 N/m時對應焦點S3，其共振幅值a=0.1797。從圖中可得，改變系統物理參量的大小，對系統的穩態響應的影響也很明顯。

圖32 C1=0 m/s,C1=5 m/s動相平面軌跡圖

圖33 P0=30 N/m，P0=70 N/m,P0=150 N/m動相平面軌跡圖

圖34～圖42中,軸向拉力F0=10 kN，時變拉力擾動量F1=1 kN，電流密度J0=2 A/mm2時，選取不同的軸向恒定速度C0，磁感應強度B0和強迫激勵幅值P0，從而得到反映系統具體運動形式的時間歷程圖(時程圖)、相軌跡圖以及龐加萊映射圖。圖34～圖36為取C1=8 m/s，B0=0.02 T，

(a)時程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖34 軸向速度C0=65 m/s時的系統單周期響應

(a)時程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖35 軸向速度C0=80 m/s時的系統二倍周期響應

(a)時程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖36 軸向速度C0=95 m/s時的系統單周期響應

P0=5.5 kN/m時，改變軸向恒定速度C0得到的時間歷程圖、相軌跡圖以及龐加萊映射圖。當軸向恒定速度取C0=65 m/s時，龐加萊映射圖表現為一個點，軸向運動系統呈現為單周期運動；增大軸向恒定速度，當C0=80 m/s時，龐加萊映射圖表現為兩個分散的點，系統呈現為二倍周期運動；繼續增大軸向恒定速度，當C0=95 m/s時，龐加萊映射圖又變為一個點，系統進入單倍周期運動的狀態。

圖37～圖39所示為取C0=80 m/s，C1=6 m/s，P0=5.5 kN/m時，改變磁感應強度B0得到的時間歷程圖(時程圖)、相軌跡圖以及龐加萊映射圖。當磁感應強度取B0=0時，龐加萊映射圖顯示為多個點，并呈現為封閉曲線，軸向運動系統呈現為概周期運動狀態；增大磁感應強度，當B0=0.06 T時，龐加萊映射圖顯示為兩個分散的點，系統呈現為二倍周期運動；繼續增大磁感應強度，當B0=0.08 T時，龐加萊映射圖又變為一個點，系統表現為單倍周期運動狀態。

(a)時程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖37 磁感應強度B0=0時的系統概周期響應

(a)時程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖38 磁感應強度B0=0.06 T時的系統二倍周期響應

(a)時程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖39 磁感應強度B0=0.08 T時的系統單周期響應

(a)時程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖40 磁感應強度P0=4 kN/m時的系統單周期響應

(a)時程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖41 磁感應強度P0=5.5 kN/m時的系統二倍周期響應

(a)時程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖42 磁感應強度P0=9.95 kN/m時的系統三倍周期響應

圖40～圖42所示為取C0=80 m/s，C1=6 m/s，B0=0.02 T時，改變強迫激勵幅值P0得到的時間歷程圖、相軌跡圖以及龐加萊映射圖。當強迫激勵幅值取P0=4 kN/m時，龐加萊映射圖為一個點，軸向運動系統表現為單倍周期運動；增大強迫激勵幅值，當P0=5.5 kN/m時，龐加萊映射圖為兩個分散的點，系統表現為二倍周期運動；繼續增大強迫激勵幅值，當P0=9.95 kN/m時，龐加萊映射圖變為三個點，軸向運動系統表現為三倍周期運動。

5 結論

(1)系統的主共振-主參數共振幅頻響應具有跳躍和明顯的多值變化現象，穩態解的數值及穩定性依賴于初始值。

(2)隨著磁感應強度和電流密度的增大，會出現從一個穩態解過渡到多個穩態解的情況，且多值區域呈現右移趨勢。

(3)隨著磁場、速度、激勵力等參數的變化，系統呈現復雜的單倍、多倍周期及概周期運動狀態。

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(編輯 王旻玥)

Combined Parametric and Forced Resonance of an Axially Accelerating and Current-Carrying Beam under Magnetic Field

Hu Yuda Rong Yantian

Hebei Provincial Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures，Yanshan University，Qinhuangdao,Hebei, 066004

Combired parametric and forced resonance of an axially accelerating and current-carrying beam which was subjected to harmonic excitation under magnetic field was investigated. The elastic mechanics theory, electromagnetic field theory and Hamilton variational principle were applied to establish the nonlinear magnetoelastic coupling vibration equation of the axially accelerating and current-carrying beam. The time variables and the space variables were firstly discretized using Galerkin integral method, then multiscale method and coordinate transformation method were utilized and the amplitude-frequency response equation was obtained. Through calculation examples, the corresponding amplitude frequency response curves with different parameters, the time history response diagrams, phase plot, poincare map and dynamic phase trajectory graph of the resonance system were acquired and the effects of axial velocity, axial tension, magnetic induction intensity, electric current density and forced excitation on primary resonance-principal parametric resonance characteristics of the system were analyzed. The results show that the system presents typical nonlinear vibration characteristics and complex dynamics behavior.

current-carrying beam；primary resonance-principal parametric resonance；magnetic field；axial movement

2016-06-16

國家自然科學基金資助項目(11472239)；河北省自然科學基金資助項目(A2015203023)；河北省高等學?？茖W技術研究資助重點項目(ZD20131055)

O322; O442

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.23.013

胡宇達，男，1968年生。燕山大學建筑工程與力學學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為非線性動力學與控制、電磁彈性力學。發表論文100余篇。戎艷天，女，1990年生。燕山大學建筑工程與力學學院碩士研究生。